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新高考数学圆锥曲线62种题型第十一讲 圆锥曲线中的最值与范围问题（原卷版）
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这是一份新高考数学圆锥曲线62种题型第十一讲 圆锥曲线中的最值与范围问题（原卷版），共9页。
题型一 最值问题
角度1 基本不等式法求最值
例1 (12分)(2023·青岛调研)已知椭圆Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，左、右焦点分别为F1，F2，过F2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A，B两点，且△ABF1的周长为4eq \r(6).
(1)求Γ的方程；
(2)若AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，直线AN与BM交于点C，求△ABC面积的最大值．
[满分规则]
❶得步骤分：
由①②③准确运用椭圆定义，求出a，b，c可分别得1分，第一问共4分，由④联立椭圆和直线方程，写出根与系数关系式得1分，⑤设直线方程可得1分；
❷得关键分：
由⑥联立两直线求出C点横坐标得2分，⑦表示△ABC面积得1分；
❸得计算分：
由⑧通过根与系数关系化简面积表达式得1分，由⑨利用换元后，由基本不等式求出最值得3分．
训练1 已知点A(0，－2)，椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq \f(2\r(3),3)，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
角度2 函数法求最值
例2 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2))).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值．
感悟提升 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
训练2 (2023·济南联考节选)已知抛物线C：y2＝4x，F为焦点，点Q在直线
x＝－1上，点P是抛物线上一点，且P点在第一象限，满足FP⊥FQ，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求k1·k2·k3的最小值．
题型二 范围问题
例3 (2023·辽宁省六校联考)在平面直角坐标xOy中，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆：eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦点重合．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)记P(4，0)，若抛物线C上存在两点B，D，且直线BD的斜率存在，使△PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围．
故直线BD的斜率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞)).
感悟提升 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
训练3 (2023·武汉调研)过双曲线Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.
(1)若△ABF2可以是边长4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l，使得AF2⊥BF2，求Γ的离心率的取值范围．
课时训练
一、单选题
1．设点A，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个结论：
① 点P的轨迹方程为；
② ；
③ 存在4个点P，使得的面积为；
④ .
则正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为（ ）
A．与B．与C．与D．与
3．已知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且的最大值是，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（ ）
A．[3,5]B．（0,5]C．[4,5]D．[16,25]
5．已知曲线：，为上一点，
①的取值范围为；
②的取值范围为；
③不存在点，使得；
④的取值范围为.
则上述命题正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．6
8．已知圆过点，且与直线相切，是圆心的轨迹上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ）
A．的最小值为8
B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6
C．为定值
D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为
10．双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则（ ）
A．的渐近线方程为B．
C．过点作，垂足为，则D．四边形面积的最小值为
三、解答题
11．在平面直角坐标系中，已知，分别是椭圆C：的左焦点和右焦点.
(1)设T是椭圆C上的任意一点，求取值范围；
(2)设，直线l与椭圆C交于B，D两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程.
12．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：.
(1)设是椭圆上的一个动点，求的取值范围；
(2)设与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，试问：是否存在满足条件的直线，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
13．已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.
(1)设，求证：是定值；
(2)求的取值范围.
14．已知双曲线：的离心率为；
(1)求此双曲线的渐近线方程；
(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；
15．已知双曲线的方程为：，左右焦点分别为，是线段的中点，过点作斜率为的直线，l与双曲线的左支交于两点，连结与双曲线的右支分别交于两点.
(1)设直线的斜率为，求的取值范围.
(2)求证：直线过定点，并求出定点坐标.
16．已知O为坐标原点，双曲线C：的渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线l交C于M，N两点，交x轴于Q点．若，问是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线的方程；
(2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
18．求抛物线：上的点到直线：的最小距离．
19．如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的一个交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于点M（B、M不同于A）．
(1)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求p的值；
(2)若直线l过椭圆的右焦点，求面积的最大值及此时直线l的方程；
(3)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
20．已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点.
(1)求直线的方程及抛物线的方程；
(2)若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标.
题型一 最值问题
角度1 基本不等式法求最值
例1 (12分)(2023·青岛调研)已知椭圆Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，左、右焦点分别为F1，F2，过F2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A，B两点，且△ABF1的周长为4eq \r(6).
(1)求Γ的方程；
(2)若AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，直线AN与BM交于点C，求△ABC面积的最大值．
[满分规则]
❶得步骤分：
由①②③准确运用椭圆定义，求出a，b，c可分别得1分，第一问共4分，由④联立椭圆和直线方程，写出根与系数关系式得1分，⑤设直线方程可得1分；
❷得关键分：
由⑥联立两直线求出C点横坐标得2分，⑦表示△ABC面积得1分；
❸得计算分：
由⑧通过根与系数关系化简面积表达式得1分，由⑨利用换元后，由基本不等式求出最值得3分．
训练1 已知点A(0，－2)，椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq \f(2\r(3),3)，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
角度2 函数法求最值
例2 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2))).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值．
感悟提升 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
训练2 (2023·济南联考节选)已知抛物线C：y2＝4x，F为焦点，点Q在直线
x＝－1上，点P是抛物线上一点，且P点在第一象限，满足FP⊥FQ，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求k1·k2·k3的最小值．
题型二 范围问题
例3 (2023·辽宁省六校联考)在平面直角坐标xOy中，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆：eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦点重合．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)记P(4，0)，若抛物线C上存在两点B，D，且直线BD的斜率存在，使△PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围．
故直线BD的斜率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞)).
感悟提升 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
训练3 (2023·武汉调研)过双曲线Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.
(1)若△ABF2可以是边长4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l，使得AF2⊥BF2，求Γ的离心率的取值范围．
课时训练
一、单选题
1．设点A，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个结论：
① 点P的轨迹方程为；
② ；
③ 存在4个点P，使得的面积为；
④ .
则正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为（ ）
A．与B．与C．与D．与
3．已知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且的最大值是，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（ ）
A．[3,5]B．（0,5]C．[4,5]D．[16,25]
5．已知曲线：，为上一点，
①的取值范围为；
②的取值范围为；
③不存在点，使得；
④的取值范围为.
则上述命题正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．6
8．已知圆过点，且与直线相切，是圆心的轨迹上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ）
A．的最小值为8
B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6
C．为定值
D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为
10．双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则（ ）
A．的渐近线方程为B．
C．过点作，垂足为，则D．四边形面积的最小值为
三、解答题
11．在平面直角坐标系中，已知，分别是椭圆C：的左焦点和右焦点.
(1)设T是椭圆C上的任意一点，求取值范围；
(2)设，直线l与椭圆C交于B，D两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程.
12．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：.
(1)设是椭圆上的一个动点，求的取值范围；
(2)设与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，试问：是否存在满足条件的直线，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
13．已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.
(1)设，求证：是定值；
(2)求的取值范围.
14．已知双曲线：的离心率为；
(1)求此双曲线的渐近线方程；
(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；
15．已知双曲线的方程为：，左右焦点分别为，是线段的中点，过点作斜率为的直线，l与双曲线的左支交于两点，连结与双曲线的右支分别交于两点.
(1)设直线的斜率为，求的取值范围.
(2)求证：直线过定点，并求出定点坐标.
16．已知O为坐标原点，双曲线C：的渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线l交C于M，N两点，交x轴于Q点．若，问是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线的方程；
(2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
18．求抛物线：上的点到直线：的最小距离．
19．如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的一个交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于点M（B、M不同于A）．
(1)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求p的值；
(2)若直线l过椭圆的右焦点，求面积的最大值及此时直线l的方程；
(3)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
20．已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点.
(1)求直线的方程及抛物线的方程；
(2)若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标.
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