第46讲 数列中的奇偶项问题（微专题）-备战2024年高考数学一轮复习精品导与练（新高考）

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题型一、分段函数的奇偶项求和
例1、（深圳市罗湖区期末试题）已知数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前100项和.
【解析】
【小问1详解】
，
所以 是常数列，即 ；
【小问2详解】
由（1）知， 是首项为2，公差为3等差数列，
由题意得 ， ，
设数列，的前50项和分别为，，
所以 ，，
所以的前100项和为 ；
综上， ，的前100项和为.
变式1、（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知数列满足．
(1)证明：是一个等差数列；
(2)已知，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）当时，可得，
当时，由，
则，
上述两式作差可得，
因为满足，所以的通项公式为，所以，
因为（常数），
所以是一个等差数列．
（2），
所以，
所以数列的前项和．
变式2、（2023·吉林·统考三模）已知数列满足的前n项和为．
(1)求，，并判断1024是数列中的第几项；
(2)求．
【答案】(1)，；1024是数列的第342项
(2)
【详解】（1）由可得，．
令，解得：为偶数，不符合题意，舍去；
令，解得：，符合题意．
因此，1024是数列的第342项．
（2）
．
另解：由题意得，又，
所以数列是以为首项，4为公比的等比数列．
，又，
所以数列是以4为首项，6为公差的等差数列．
为数列的前n项和与数列的前项和的总和．
故.
变式3、（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意,
所以,
因为,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,
所以,即,
而,
所以
（2）方法一：由得
方法二：因为
所以
变式4、（2023·湖南邵阳·统考三模）记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足.
(1)求数列{}与数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
，即，，.
，①
，②
所以①-②得，，
.当时，，符合.
.
（2），依题有：
.
记，则.
记，
则
.
所以
变式5、（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则 ，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时；
综上所述：.
题型二、含有（−1）n类型
例2、【2020年新课标1卷文科】数列满足，前16项和为540，则 _____________
【答案】
【解析】，
当为奇数时，；当为偶数时，.
设数列的前项和为，
，
.
故答案为：.
变式1、（2021·山东济宁市·高三二模）已知数列是正项等比数列，满足是、的等差中项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
因为是、的等差中项，所以，即，
因为，所以，解得或，
因为数列是正项等比数列，所以．
因为，即，解得，所以；
（2）解法一：（分奇偶、并项求和）
由（1）可知，，
所以，，
①若为偶数，
；
②若为奇数，当时，，
当时，适合上式，
综上得（或，）；
解法二：（错位相减法）
由（1）可知，，
所以，，
，
所以
所以
，
所以，
变式2、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{an}前n项和为Sn，，.
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）设，求{bn}前n项和Tn.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前项和即可；
（2）根据（1）中所求即可求得，对分类讨论，结合等差数列的前项和公式，即可容易求得结果.
【详解】（1）由得.
又因为，所以，
则，解得；
故，
.
（2）.
当为偶数时：
.
当为奇数时：
.
综上得
题型三、an+an+1 类型
例3、（2023·广东深圳·统考一模）记，为数列的前n项和，已知，．
(1)求，并证明是等差数列；
(2)求．
【解析】（1）已知，
当时，，；当时，，，所以．
因为①，所以②．
②－①得，，整理得，，
所以（常数），，
所以是首项为6，公差为4的等差数列．
（2）由（1）知，，，．
当n为偶数时，；
当n为奇数时，．
综上所述，
变式1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知数列满足，；数列前项和为，且，.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)设，求前项和.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
(1)
，，∴，又，，
（为正整数）时，是首项为1，公差为2的等差数列,
∴，，（为正整数）时，是首项为1，公差为2的等差数列.
∴，∴，∴，
∵，∴时，，∴，
又，∴时，，，∴；
(2)
由（1）得，
设 ①
则 ②
①②得，
，∴
变式2、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知数列满足，；数列前项和为，且，.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)设，求前项和.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
(1)
，，∴，又，，
（为正整数）时，是首项为1，公差为2的等差数列,
∴，，（为正整数）时，是首项为1，公差为2的等差数列.
∴，∴，∴，
∵，∴时，，∴，
又，∴时，，，∴；
(2)
由（1）得，
设 ①
则 ②
①②得，
，∴