2025届高考数学一轮复习教师用书拓展拔高8数列中的奇偶项问题讲义（Word附解析）

拓展拔高8　数列中的奇偶项问题【高考考情】数列是高中数学中非常重要的一个知识点,也是高考必考的内容.与数列有关的题目类型较多,其中,分奇偶项求和问题比较常见.此类问题中奇数项和偶数项的通项公式一般会有所不同,要解答此类问题,我们需要灵活运用分类讨论思想和分组求和方法.【解题思路】解答此类问题的基本思路:(1)结合题意寻找数列中奇数项和偶数项的规律,分别求出它们的通项公式.在求通项公式时,要注意把数列的项数间隔开.(2)将数列分成奇数项和偶数项两组,分组进行求和.(3)将所得的结果汇总、化简,便可求得数列的和.视角一　含有(-1)n的递推公式[例1] (2023·衡水模拟)(多选题)已知数列{an}满足a1=1,an+2=(-1)n+1(an-n)+n,记{an}的前n项和为Sn,则(　　)A.a48+a50=100　 B. a50-a46=4C.S48=600　 D. S49=601【解析】选BCD.因为a1=1,an+2=(-1)n+1(an-n)+n,所以当n为奇数时,an+2=an=a1=1;当n为偶数时,an+an+2=2n.对于A,由an+an+2=2n,所以a48+a50=96,A错误;对于B,因为a46+a48=92,a48+a50=96,两式相减可得a50-a46=4,B正确;对于C,S48=a1+a3+a5+…+a47+[(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a46+a48)]=24×1+2×(2+6+…+46)=24+2×(2+46)×122=600,C正确;对于D,S49=S48+a49=600+1=601,D正确.【思维升华】含有(-1)n类型问题的解法(1)通项公式中含有(-1)n:①等差数列的通项公式乘(-1)n,可用并项求和法求数列前n项的和;②等比数列的通项公式中含有(-1)n,其前n项和可写成分段的形式,考查最值问题,如等比数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·32n,则其前n项和为Sn,求Tn=Sn-1Sn的取值范围,n分奇偶讨论,求出取值范围;③裂项相消法求和如an=(-1)n·4n(2n-1)(2n+1)=(-1)n·(12n-1+12n+1),求和时通过(-1)n实现正负交替.(2)递推公式中有(-1)n:寻找间隔两项之间的关系,如an+1+(-1)nan=2n→n为奇数时,an+1-an=2nan+2+an+1=2n+2→an+2+an=2;n为偶数时,an+1+an=2nan+2-an+1=2n+2→an+2+an=4n+2→得到相邻两个奇数项或偶数项的关系.【迁移应用】　数列{an}中,a1=1,a2=2,数列{bn}满足bn=an+1+(-1)nan,n∈N*.(1)若数列{an}是等差数列,求数列{bn}的前100项和S100;(2)若数列{bn}是公差为2的等差数列,求数列{an}的通项公式.【解析】(1)因为{an}为等差数列,且a1=1,a2=2,所以公差d=1,所以an=n.所以bn=an+1-an=1,n为奇数,an+1+an=2n+1,n为偶数,即bn=1,n为奇数,2n+1,n为偶数,所以bn的前100项和S100=(b1+b3+…+b99)+(b2+b4+…+b100)=50+(5+9+13+…+201)=50+50×5+50×(50-1)2×4=5 200.(2)由题意得,b1=a2-a1=1,公差d=2,所以bn=2n-1.所以b2n-1=a2n-a2n-1=4n-3,①b2n=a2n+1+a2n=4n-1,②由②-①得,a2n+1+a2n-1=2,所以a2n+1=2-a2n-1,又因为a1=1,所以a1=a3=a5=…=1,所以a2n-1=1,所以a2n=4n-2,综上所述,an=1,n为奇数,2n-2,n为偶数.视角二　已知条件明确的奇偶项问题[例2]已知数列{an}的前n项和为Sn,an=n,n为奇数,(12) n2,n为偶数,求Sn.【解析】方法一:当n为偶数时,Sn=a1+a2+…+an=(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an)=(1+3+…+n-1)+[(12)1+(12)2+…+(12) n2]=[1+(n-1)]·n22+12[1-(12) n2]1-12=n24+1-(12) n2.当n为奇数时,n-1是偶数,Sn=Sn-1+an=(n-1)24+1-(12) n-12+n=(n+1)24+1-(12) n-12.综上,Sn=(n+1)24+1-(12) n-12,n为奇数,n24+1-(12) n2,n为偶数.方法二:因为an=n,n为奇数,(12) n2,n为偶数,所以a2n-1=2n-1,a2n=(12)n,所以S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+…+2n-1)+ [ (12)1+(12)2+…+(12)n]=(1+2n-1)·n2+12[1-(12) n]1-12=n2+1-(12)n.S2n-1=S2n-a2n=n2+1-(12)n-(12)n=n2+1-(12)n-1.综上所述,Sn=(n+1)24+1-(12) n-12,n为奇数,n24+1-(12) n2,n为偶数.【思维升华】　形如an=f(n),n为奇数g(n),n为偶数的结构,可分为两种情况:(1)邻项等差、等比数列,如已知a1=1,an+1=an+1,n为奇数,2an,n为偶数的解题思路:将n用2k-1或2k替代,当n=2k-1时,a2k=a2k-1+1;当n=2k时,a2k+1=2a2k=2(a2k-1+1)⇒a2k+1+2=2(a2k-1+2)⇒构造出以a1+2为首项、2为公比的等比数列,先求出a2k-1的通项公式,再求出a2k的通项公式.(2)数列{an}与其他数列的关系,如an=bn,n为奇数,log2bn,n为偶数的解题思路:先求出其他数列的通项公式,再求出{an}的通项公式.【迁移应用】　已知数列{an}是等差数列,它的前n(n∈N*)项和为Sn,数列{bn}是等比数列,bn>0,a1=3,b1=1,b3+S2=12,a5-2b2=a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若cn=2Sn,n为奇数bn,n为偶数,设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则由b3+S2=12,a5-2b2=a3,得q2+6+d=12,3+4d-2q=3+2d,解得d=2,q=2或d=-3q=-3(舍去),所以an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(2)由a1=3,an=2n+1,得Sn=n(n+2),则cn=2n(n+2),n为奇数.2n-1,n为偶数.即cn=1n-1n+2,n为奇数.2n-1,n为偶数. 所以T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)=[ (1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]+(2+23+…+22n-1)=1-12n+1+2(1-4n)1-4=1+22n+13-12n+1.视角三　数列中连续两项和或积的问题(an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n))[例3]已知数列{an}满足a1=1,an+1+an=4n.(1)求数列{an}的前100项和S100;(2)求数列{an}的通项公式.【解析】 (1)因为a1=1,an+1+an=4n,所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=4×1+4×3+…+4×99=4×(1+3+5+…+99)=4×502=10 000.(2)由题意,an+1+an=4n,①an+2+an+1=4(n+1),②由②-①得,an+2-an=4,由a1=1,a1+a2=4,得a2=3.当n为奇数时,an=a1+(n+12-1)×4=2n-1,当n为偶数时,an=a2+(n2-1)×4=2n-1.综上所述,an=2n-1.【思维升华】递推公式为an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)的形式,求通项公式或数列求和的方法(1)求通项公式:由an+2+an+1=f(n+1)与上式作差可得隔项递推公式an+2-an=f(n+1)-f(n),对于后一种可由an+2·an+1=f(n+1)与上式作商可得隔项递推公式an+2an=f(n+1)f(n),然后求解. (2)求前n项和Sn:求出通项公式,则Sn=S奇+S偶;或者利用an+1+an=f(n),可直接并项求和.【迁移应用】　在数列{an}中,已知a1=1,an·an+1=(12)n,记Sn为{an}的前n项和,bn=a2n+a2n-1,n∈N*.(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并写出其通项公式;(2)求数列{an}的通项公式;(3)求Sn.【解析】 (1)因为an·an+1=(12)n,所以an+1·an+2=(12)n+1,所以an+2an=12,即an+2=12an.因为bn=a2n+a2n-1,所以bn+1bn=a2n+2+a2n+1a2n+a2n-1=12a2n+12a2n-1a2n+a2n-1=12,所以数列{bn}是公比为12的等比数列.因为a1=1,a1·a2=12,所以a2=12,b1=a1+a2=32,所以bn=32×(12)n-1=32n,n∈N*.(2)由(1)可知an+2=12an,所以a1,a3,a5,…是以a1=1为首项,12为公比的等比数列;a2,a4,a6,…是以a2=12为首项,12为公比的等比数列,所以a2n-1=(12)n-1,a2n=(12)n,所以an=(12) n-12,n为奇数,(12) n2,n为偶数.(3)因为S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=1-(12) n1-12+12[1-(12) n]1-12=3-32n,又S2n-1=S2n-a2n=3-32n-12n=3-42n,所以Sn=3-32n2,n为偶数,3-42n+12,n为奇数.　课堂巩固,阶段测评,请使用　“拓展拔高练八”“阶段滚动检测(三)”