重难点5-2 数列前n项和的求法（8题型+满分技巧+限时检测）-2025年高考数学热点重点难点专题练习（新高考专用）

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数列求和是高考数学的必考内容，一般利用等差数列的通项来构建考查裂项求和，构建等差等比数列考查错位相减法求和，解答题中等差数列、等比数列通项的考查往往是第1问，数列求和则是第2问。近几年在数列求和中加大了思维能力的考查，减少了对程序化计算（错位相减、裂项相消）的考查，主要基于新的情景，要求考生通过归纳或挖掘数列各项间关系发现规律再进行求和。
【题型1 公式法求数列前n项和】
【例1】（2023·广东珠海·统考模拟预测）已知为等比数列，且，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【变式1-1】（2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习）设正项等比数列且的等差中项为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求.
【变式1-2】（2023·山西·校考模拟预测）已知等差数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，若，求的最小值.
【变式1-3】（2023·四川德阳·统考一模）已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最大项.
【变式1-4】（2023·山西临汾·校考模拟预测）在数列中，，且．
（1）求的通项公式；
（2）设为的前n项和，求使得成立的最小正整数n的值．
【题型2 分组法求数列前n项和】
【例2】（2023·山西忻州·高三校联考阶段练习）已知数列的前n项和为，，（）.
（1）求的通项公式；
（2）设数列，满足，，求数列的前n项和.
【变式2-1】（2023·江苏无锡·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【变式2-2】（2023·江西贵溪·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前10项和．
【变式2-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）设数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2n项和.
【变式2-4】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
【题型3 并项法求数列前n项和】
【例3】（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）若数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为 .
【变式3-1】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，求数列的前项和．
【变式3-2】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前23项的和.
【变式3-3】（2023·湖南邵阳·高三校联考阶段练习）已知数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【变式3-4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知数列满足，，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前n项的和．
【题型4 逆序相加法求数列前n项和】
【例4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
【变式4-1】（2023·山东潍坊·高三安丘市第一中学校考阶段练习）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（ ）
A． B．2017 C．4034 D．8068
【变式4-2】（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．
【变式4-4】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足：（），数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
【题型5 错位相减法求数列前n项和】
【例5】（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）已知数列满足，，且数列是等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【变式5-1】（2023·青海·校联考模拟预测）已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【变式5-2】（2023·山东泰安·高三统考期中）已知数列的前n项和为，且，.
（1）求；
（2）记，求数列的前n项和.
【变式5-3】（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
【变式5-4】（2023·江苏南京·高三期末）已知数列满足，且对任意都有.
（1）设，证明：是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【题型6 裂项相消法求数列前n项和】
【例6】（2023·四川南充·统考一模）已知数列是首项为2的等比数列，公比，且是和的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求的前2023项和．
【变式6-1】（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，是n、的等差中项，．
（1）证明：是等比数列；
（2）设，数列的前n项和，证明：．
【变式6-2】（2023·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）已知数列前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：.
【变式6-3】（2023·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）已知正项数列的前项和为，，且当时．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和为，试比较与的大小，并加以证明.
【变式6-4】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）设为数列的前项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：．
【题型7 含绝对值数列的前n项和】
【例7】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【变式7-1】（2023·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【变式7-2】（2023·重庆·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）已知是正项等比数列.，且，
（1）求的通项公式；
（2）当为递增数列，设，求数列的前项和.
【变式7-3】（2023·陕西西安·高三统考阶段练习）已知数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
【变式7-4】（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【题型8 数列求和与不等式综合】
【例8】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
【变式8-1】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知数列前项和为，且对任意的正整数与的等差中项为.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【变式8-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列满足，且，数列满足，且（表示不超过的最达整数），．
（1）求；
（2）令，记数列的前项和为，求证：．
【变式8-3】（2023·河北石家庄·高三校联考期末）已知数列满足．
（1）若为等差数列，求的通项公式；
（2）记的前项和为，不等式对恒成立，求的取值范围．
【变式8-4】（2023·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）已知函数满足，若数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，为数列的前n项和，（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
2．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知函数，在正项等比数列中，，则（ ）
A．1011 B．1012 C．2023 D．2024
3．（2023·天津·高三南开中学校考阶段练习）在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（ ）
A．12 B．21 C．11 D．31
4．（2023·天津·高三统考期中）设等差数列的前项和为，数列的前和为，已知，，，若，则正整数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广西·模拟预测）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，．
（1）求，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
6．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）数列满足，，，设.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
7．（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）设数列的前项和为，且对于任意正整数，都有．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
8．（2023·天津·高三静海一中校考阶段练习）已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列和的通项公式.
（2）记，求数列的前项和.
（3）记，求.
9．（2023·福建宁德·校考二模）已知为等差数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前15项和．
10．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知为数列的前项和，，，记.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，记数列的前项和为，求证：.满分技巧
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
满分技巧
（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
（2）常见类型：
= 1 \* GB3 ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；
= 2 \* GB3 ②通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.
满分技巧
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，．
满分技巧
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
满分技巧
1、解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
满分技巧
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
满分技巧
常见的角度主要包括两个方面：
一、不等式恒成立小件下，求参数的取值范围；
二、不等式的证明，常见方法有不比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。