热点5-2 等比数列的通项及前n项和（6题型+满分技巧+限时检测）-2025年高考数学热点重点难点专题练习（新高考专用）

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主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等比数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等差数列一般设置一道选择题和一道解答题。
【题型1 等比数列的基本量计算】
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正项等比数列的公比为q（）．
∵，∴．
∵，∴，故，解得（舍负值），
∴，
∴，∴．故选：A．
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，设正项等比数列的公比为，
∵，∴.
∵，∴，∴，∴，解得（负值舍去），
∴，
∴，∴．故选：A．
【变式1-2】（2023·辽宁·高三统考期中）已知为等比数列，其公比，前7项的和为1016，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解析】依题意，，，解得，因此，
所以.故选：C
【变式1-3】（2023·四川雅安·统考一模）在等比数列中，若，，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】等比数列，若 ，则或，验证不成立；
故，，
，
两式相除得到，即，
.故选：D.
【变式1-4】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
当时，，
不符合题意，（注意对情况的讨论），所以，
由得，得，
（注意等比数列为正项数列，故），
因此.故选：C．
【题型2 等比数列性质的应用】
【例2】（2023·湖南永州·高三校考阶段练习）在等比数列中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．10 D．100
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可得，，
所以.故选：B
【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项积为，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，∴，
又，∴，得，
∴.故选：B．
【变式2-2】（2023·陕西·校联考模拟预测）等比数列满足：，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】依题意，等比数列满足：，
所以，且，
所以，
当且仅当时等号成立，此时.
所以的最小值为.
【变式2-3】（2023·江苏淮安·高三校联考期中）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（ ）
A．24 B．27 C．36 D．40
【答案】B
【解析】数列是正项等比数列，，
由，得，得，
.故选：B.
【变式2-4】（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数，数列为等比数列，，， ．
【答案】
【解析】因为，所以.
又因为数列为等比数列，，
所以，
所以
设①
则②
由①+②得：所以
【题型3 等比数列单调性及应用】
【例3】（2023·福建厦门·高三厦门第二中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（ ）
A．若，则数列是递增数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是递增数列，则
D．若数列是递增数列，则
【答案】D
【解析】对于A中，如果数列，公比为，满足，
但是等比数列不是递增数列，所以A不正确；
对于B中，如果数列，公比为，满足，
但是等比数列不是递增数列，所以B不正确；
对于C中，如果数列，公比为，可得，
数列是递增数列，但是，所以C不正确；
对于D中，数列是递增数列，可知，可得，所以，
可得正确，所以D正确；故选：D．
【变式3-1】（2023·广东佛山·统考一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为等比数列公比为，
所以，
当时，，，显然数列为不是递增数列；
当“数列为递增数列”时，有，
因为，所以如果，例如，显然有，，
显然数列为不是递增数列，因此有，，
所以由，
当时，显然对于恒成立，
当时，对于不一定恒成立，例如；
当时，对于不一定恒成立，例如；
当时，对于恒不成立，
因此“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件，故选：B
【变式3-2】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】A项，且，而和异号.
由于知，，即，，，故A项正确；
B项，从前面的求解过程知，，说明是单调递减的正项等比数列，
且，所以，那么，故B项正确；
C项，是正项数列，没有最大值，故C项错误；
D项，从前面的分析过程可知前6项均大于1.从起全部在上.
所以的最大值为，故D项正确，故选：ABD
【变式3-3】（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递减数列 B．
C．是数列中的最小项 D．当时，的最小值为4045
【答案】BC
【解析】因为，
所以，则各项为正数，
所以，即为递增数列，A错误；
由A项及可得，则，故B正确；
由上可知，故，即C正确；
由，
显然的最小值不为4045，即D错误.故选：BC.
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
【答案】AC
【解析】对于A，∵，，∴，
又，，∴，故A正确；
对于B，C，等比数列满足，公比，，
， ， ， 为递增数列，
由等比数列的性质，，
又，，
，，
∵，，
，∴，
∵，，，∴，则，
，即，
为递增数列，故当时，最小，故B错误，C正确；
对于D，当时，，
为递增数列，，故D错误.故选：AC
【题型4 等比数列前n项和性质应用】
【例4】（2023·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知各项均为实数的等比数列的前项和为，若，，则 （ ）
A．150 B．140 C．130 D．120
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，在等比数列中，由，可知，
所以，，，构成公比为的等比数列.
所以，即，解得（负值舍去）.
因为，所以，.故选：A
【变式4-1】（2023·河北石家庄·高三统考期中）已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（ ）
A．27 B．39 C．81 D．120
【答案】D
【解析】由题知，，，
因为数列成等比数列，
所以，
所以.故选：D.
【变式4-2】（2023·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．9 C．16 D．17
【答案】A
【解析】设，则，
因为为等比数列，所以仍成等比数列.
易知，
所以,故.故选:A.
【变式4-3】（2023·河北保定·高三保定市第三中学校联考期末）（多选）已知数列为等差数列，公差为；数列为等比数列，公比为，则下列说法正确的是（ ）
A．存在和，使得．
B．若为的前项和，则，，，成等差数列
C．若为的前项和，则，，，成等比数列
D．当时，存在实数A、使得
【答案】ABD
【解析】对于选项A：例如，，故A正确；
对于选项B：因为，
所以，，，成等差数列，故B正确；
对于选项C：例如，则，
可得，，，不一定成等比数列，故C错误；
对于选项D：因为数列为等差数列，设，
又因为，则，
令，则，
即存在实数A、使得，故D正确；故选：ABD.
【变式4-4】（2023·安徽·高三怀远第一中学校联考阶段练习）记为等比数列的前n项和，．
（1）若，求的值；
（2）若，求证：．
【答案】（1）60；（2）证明见解析.
【解析】（1）设等比数列的公比为q，
因为，所以，
，所以,
故，，成等比数列，且公比为，
所以，整理得，
因为，故，解得，
所以．
（2）因为，所以，由（1）知，，
因为数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以
又，
则，所以
【题型5 等比数列的判定与证明】
【例5】（2022·新疆·统考一模）在数列中，，，且.
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由得：，且，
则，又，
所以数列是首项为3，公比为4的等比数列.
（2）由（1）知：，
又，则，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，·
综上，·
【变式5-1】（2023·上海·高三校考期中）已知数列的前n项和为，且为正整数.
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式及其前n项和.
【答案】（1）证明见解析；（2），
【解析】（1）因为，
所以当时，，解得，则，
当时，，
两式相减可得：，
即可得，显然，即，
所以是首项为1，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，知，
所以.
【变式5-2】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）记为数列的前项和，为数列的前项和，若且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若成立，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）4
【解析】（1）由可得，即，即，
而，所以是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）知，即
，
由可得，整理可得，解得，
因为，所以的最小值为4.
【变式5-3】（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设是数列的前项和，已知
（1）求，并证明：是等比数列；
（2）求满足的所有正整数.
【答案】（1），证明见解析；（2）1，2
【解析】（1）由可得，
所以，可得；
由已知得，
所以，
其中，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以
，
由二次函数及指数函数性质可知当时，单调递减，
其中，
所以满足的所有正整数为1，2.
【变式5-4】（2023·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知数列满足，且．
（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）
【解析】（1）因为，
令，则，解得，则，
且，
可得数列是以首项为1，公比为的等比数列，
所以，即.
（2）由（1）可知：，
则
，
所以.
【题型6 等比数列的实际应用】
【例6】（2023·山东青岛·青岛第五十八中学校考一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解析】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，
则是以2为公比的等比数列，
，，解得，所以，
．故选：C．
【变式6-1】（2023·广东广州·统考三模）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设第年的存款到取出时的本息和为（千元），，
则，，，，，，
所以小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数为：
所以，
所以，
所以，
所以，故选：D.
【变式6-2】（2023·湖南·校联考模拟预测）已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（ ）（参考数据：取）
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
【答案】D
【解析】设第年的销售额为万元，
依题意可得数列是首项为a，公比为的等比数列，
则该公司从第1年到第11年的销售总额为万元．
故选：D
【变式6-3】（2023·安徽·高三马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）0.618是无理数的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形，那么依次类推，第2023个黄金三角形的周长大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】第一个黄金三角形的底为，由得腰长，
记第个黄金三角形的底边长为，
当时，第个黄金三角形的底边长为，腰长为，
而第个黄金三角形的底边长为第个黄金三角形的腰长，则，
因此，各个黄金三角形的底边长依次排成一列得数列，是首项为2，公比为的等比数列，
第个黄金三角形的底边长，腰长为，
周长为
，
所以第2023个黄金三角形的周长大约为.故选：D
【变式6-4】（2023·山东·统考一模）假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米.求：
（1）截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计（以2023年为累计的第一年）为多少万平方米？
（2）哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于？
【答案】（1）4750；（2）2028
【解析】（1）设中、低价房面积构成数列，由题意可知是等差数列，
其中，则，所以，
所以截止2032年底，预计该市所建中、低价房的累计面积为4750万平方米.
（2）设新建住房面积构成数列，
由题意可知是等比数列，其中，则，
由题意可知，所以，
化简得到：，
令，则，
当时，，
故在上为增数列，
而，
而
，
故满足上述不等式的最小正整数，
所以到2028年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为,
因为，所以，
所以，即，解得.
所以，解得.故选:B.
2．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在正项等比数列中，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】因为为等比数列，所以，
故，所以，
又，所以.故选：C.
3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人第4天与第5天共走的里程数为（ ）
A．24 B．36 C．42 D．60
【答案】B
【解析】设第天走的里程数为，其中，
由题意可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，解得，
所以此人第4天与第5天共走里程数为.故选：B.
4．（2023·四川·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，，则（ ）
A．48 B．72 C．96 D．112
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q，又，，
所以，得到，
又，所以，故选：B.
5．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈三中校考期末）若数列满足（且），则与的比值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】，由，则，
在等式式两边同取倒数得，，
在两边同加得，，
又，则，则有，
则数列是公比为的等比数列.
则与的比值为.故选：D.
6．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是.已知，则（ ）
A．13 B．12 C．6 D．3
【答案】A
【解析】方法一 因为，所以，，
所以，所以.
又，得，所以.故选：A.
方法二 因为，，
所以，
所以，所以.故选：A.
7．（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）设等比数列的公比为，且，设甲：；乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】等比数列的公比为，且，当时，，因此；
当时，有，即，而，则，
又，，于是，即，又，因此，
所以甲是乙的充要条件.故选：C
8．（2023·安徽安庆·高三安庆市第十中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，解得；
当时，由，得，
两式相减得，
所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，
可得，所以；
因为数列是递增数列，所以对于任意的恒成立，
即，即恒成立，
因为时，取得最小值3，故，
即的取值范围是.故选：C.
9．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）（多选）已知数列的前n项和为，，，若，（是常数），则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C． D．
【答案】BC
【解析】由题意知是公比为的等比数列，
若则，所以，
又，所以，
所以，不是定值，
故不是等比数列，故A错误；
因为，，所以，是定值，
故是等比数列，故B正确；
因为，所以，所以，故C正确；
，故D错误．故选：BC．
10．（2023·福建漳州·高三统考开学考试）（多选）已知正项等比数列的前n项积为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【解析】不妨设正项等比数列的公比为，所以，；
对于A，若，则，由等比数列性质可得，
所以可得，即A正确；
对于B，若，可得，又，所以；
所以，又，可得，
因此可得，即，所以B正确；
对于C，若，可得，又，因此的大小无法判断，所以C错误；
对于D，若，可得，又，所以可得，即数列为递减数列；
可得，即，所以D正确；故选：ABD
11．（2023·广东汕头·高三黄图盛中学校考阶段练习）在正项等比数列中，，，则的通项公式 .
【答案】
【解析】设公比为，则，因此，
又，因此，故解得，
所以，．
12．（2023·四川宜宾·南溪第一中学校校考模拟预测）已知数列满足，，若为数列前项和，则 .
【答案】
【解析】因为，
令，则，解得，
且，可得，
当为奇数，则；
当为偶数，则；
所以，
即.
13．（2023·高三课时练习）已知数列是等比数列，是其前项和，且，，则 .
【答案】600
【解析】设等比数列的公比为
因为等比数列的前n项和为，所以，，，成等比数列，
因为，，所以，解得或，
因为，所以，则，
由，，成等比数列，
可得，即，解得.
14．（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）在数列中，且满足（且）．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）（且），
（且），
，所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）是首项为2，公比为2的等比数列，
，故，
.
15．（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知数列的首项，且满足，记.
（1）证明：是等比数列；
（2）记，证明；数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，
所以，，所以，
因为，，所以，
因为，
因为，
又因为当时，所以，所以，
所以是以5为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，
因为，
所以.满分技巧
等比数列的运算技巧
1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；
2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。
满分技巧
1、等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
2、应用等比数列性质解题时的2个注意点
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
满分技巧
等比数列前n项和的函数特征
1、与的关系
（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，
它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，
由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；
（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。
2、与的关系
当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为
设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。
满分技巧
等比数列前项和的性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；
（2）对，有；
（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）
满分技巧
1、定义法：为常数且数列是等比数列．
2、等比中项法：数列是等比数列．
3、通项公式法：数列是等比数列．
4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.