2025版高考数学全程一轮复习练习第九章统计与成对数据的统计分析第二节用样本估计总体

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1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数．
2．能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．
问题思考·夯实技能
【问题1】 一组数据的百分位数一定是这组数据中的数吗？
【问题2】 如何利用频率分布直方图估计平均数、中位数和众数？
关键能力·题型剖析
题型一 百分位数的估计
例 1 (1)[2024·安徽马鞍山模拟]现有一组数据：663，664，665，668，671，664，656，674，651，653，652，656，则这组数据的第85百分位数是( )
A．652 B．668
C．671 D．674
(2)[2024·河北邢台模拟]《中国居民膳食指南(2022)》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：千克)，根据测量数据，按[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70]分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是( )
A．55 B．57.25
C．58.75 D．60
题后师说
频率分布直方图中第p百分位数的计算步骤
巩固训练1
(1)[2024·广东江门模拟]某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据(单位：cm)从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若样本数据的第60百分位数是170，则x＝( )
A．169 B．170
C．171 D．172
(2)高一某班10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的上四分位数是______．
题型二 总体集中趋势的估计
角度一 样本的数字特征
例 2 [2024·江苏连云港模拟]某高校为传承中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛．在比赛中，由A，B两个评委小组(各9人)给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是( )
A．A组打分的众数为50
B．B组打分的中位数为75
C．A组的意见相对一致
D．B组打分的均值小于A组打分的均值
题后师说
中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”；平均数反映了数据的平均水平，它们均描述了数据的集中趋势．
角度二 频率分布直方图中的数字特征
例 3 [2024·安徽淮北模拟]某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？
题后师说
频率分布直方图中的数字特征的求解方法
(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和相等．
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．
巩固训练2
(1)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地6月1日至10日的PM2.5日均值(单位：μg/m3)的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法错误的是( )
A．众数为30
B．中位数为31.5
C．平均数小于中位数
D．极差为109
(2)(多选)[2024·山东聊城模拟]某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如图，则根据频率分布直方图，下列说法正确的是( )
A. 中位数70 B．众数75
C．平均数68.5 D．平均数70
题型三 总体离散程度的估计
例 4 [2023·全国乙卷]某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)．试验结果如下：
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2.
(1)求，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)．
题后师说
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
巩固训练3
[2024·河北沧州模拟]为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，政府积极引导某村农户因地制宜种植某种经济作物，该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好．为了解该类经济作物在该村的种植效益，该村引进了甲、乙两个品种，现随机抽取了这两个不同品种的经济作物各100份(每份1千克)作为样本进行检测，检测结果如下表所示：(同一区间的数据取该区间的中点值作代表)
分别记甲、乙品种质量指标值的样本平均数为和，样本方差为和.
(1)现已求得＝＝324.64，试求及，并比较样本平均数与方差的大小；
(2)该经济作物按其质量指标值划分等级如下表：
现利用样本估计总体，试从样本利润平均数的角度分析该村村民种植哪个品种的经济作物获利更多．
1．[2024·九省联考]样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为( )
A．14 B．16
C．18 D．20
2．(多选)[2021·新高考Ⅰ卷]有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
3．(多选)[2021·新高考Ⅱ卷]下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是( )
A．样本x1，x2，…，xn的标准差
B．样本x1，x2，…，xn的中位数
C．样本x1，x2，…，xn的极差
D．样本x1，x2，…，xn的平均数
4．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，记由该直方图得到的数学考试成绩的众数、中位数和平均数分别为a，b，c，则( )
A．b>c>a B．a>b>c
C．>b D．>c
第二节 用样本估计总体
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：不一定．可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数．例如数据1，2，3的第50百分位数是2，是这组数据中的数；数据1，2，3，4的第50百分位数是2.5，不是这组数据中的数．
【问题2】 提示：在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的总和．中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．众数的估计值为最高矩形的中点的横坐标．
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)由题意这组数共12个，则12×85%＝10.2，
将这组数据从小到大排列为651，652，653，656，656，663，664，664，665，668，671，674，
故这组数据的第85百分位数为第11个数，即671.故选C.
(2)因为(0.01＋0.03＋0.08)×5＝0.60.75，
所以该地中学生体重的第75百分位数在[55，60)内，
设第75百分位数为m，则(m－55)×0.04＋0.6＝0.75，解得m＝58.75.故选C.
答案：(1)C (2)C
巩固训练1 解析：(1)因为样本容量为10，且样本数据从小到大排序如下：
158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，
又10×60%＝6，
所以第60百分位数为，由已知＝170，
所以x＝171.故选C.
(2)成绩从小到大排序为：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，
则10×＝7.5，
所以这组数据的上四分位数是86.
答案：(1)C (2)86
例2 解析：由折线图可知，小组A打分的分值为：42，47，45，46，50，47，55，50，47，则小组A打分的分值的众数为47，故选项A错误；
小组B打分的分值为：55，36，70，66，75，68，68，62，58，按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，中间数为66，故中位数为66，故选项B错误 ；
小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；
小组A的打分分值的均值＝47.7，
而小组B的打分分值的均值＝62，
所以小组B打分的分值的均值大于小组A打分的分值的均值，故选项D错误．故选C.
答案：C
例3 解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得：
x＝0.007 5，所以直方图中x的值是0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是＝230.
因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.4531.5，故C错；
根据极差概念，126－17＝109，故D正确．故选C.
(2)[40，50)的频率为＝0.1，
因为最高小矩形的中点横坐标为75，显然众数是75，故B正确；
[40，50)的频率是0.1，[50，60)的频率是0.15，[60，70)的频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，故A正确；
平均数＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5，所以C正确，D不正确．故选ABC.
答案：(1)C (2)ABC
例4 解析：(1)zi的值分别为：9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，
则＝＝11.
故s2＝
＝61.
(2)由(1)知：＝11，2＝2＝，故有≥2，
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
巩固训练3 解析：(1)＝×(10×2＋30×6＋50×24＋70×48＋90×20)＝65.6，
＝(10－60)2×0.02＋(30－60)2×0.08＋(50－60)2×0.38＋(70－60)2×0.42＋(90－60)2×0.1＝292.
又因为＝＝324.64，
所以.
(2)分别记甲、乙两品种利润的样本平均数为，
则＝×(8×10＋72×20＋20×50)＝25.2(元)，
＝×(10×10＋80×20＋10×50)＝22(元)，
所以>，所以从样本利润平均数的角度看种植甲品种的经济作物获得的利润更高．
随堂检测
1．解析：将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选B.
答案：B
2．解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为yi＝xi＋c，显然不相同，错误；
C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正确．
D：由极差的定义知：若第一组的极差为xmax－xmin，则第二组的极差为ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故极差相同，正确．故选CD.
答案：CD
3．解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势．故选AC.
答案：AC
4．解析：由频率分布直方图可知：众数a＝＝75；
中位数应落在70～80区间内，则有：0.004×10＋0.018×10＋0.04×(b－70)＝0.5，解得：b＝77；
平均数c＝0.004×10×＋0.018×10×＋0.04×10×＋0.032×10×＋0.006×10×＝2.2＋11.7＋30＋27.2＋5.7＝76.8.
所以b>c>a.故选A.
答案：A试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
质量指标值
[0，40)
[40，80)
[80，100]
作物等级
二级
一级
特级
利润(元/千克)
10
20
50