新高考数学一轮复习课时过关练习第09章 统计与成对数据的统计分析第2节 用样本估计总体 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时过关练习第09章 统计与成对数据的统计分析第2节 用样本估计总体 (含解析)，共19页。试卷主要包含了样本的数字特征，2 B，1 C，2，，7－10等内容，欢迎下载使用。
第2节　用样本估计总体
考试要求　1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.会用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.


1.总体百分位数的估计
(1)第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.
2.样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是s＝
，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].

1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
2.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.(　　)
(2)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.(　　)
(3)方差与标准差具有相同的单位.(　　)
(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)平均数指的是这组数据的平均水平；中位数指的是这组数据的中间水平，它们之间没有必然联系，故该说法错误.
(3)方差是标准差的平方，故它们单位不一样.
2.下列一组数据的第25百分位数是(　　)
2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6
A.3.2 B.3.0 C.4.4 D.2.5
答案　A
解析　把该组数据按照由小到大排列，可得：
2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，
由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数.
3.(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(　　)
A.0.01 B.0.1 C.1 D.10
答案　C
解析　10x1，10x2，…，10xn的方差为102×0.01＝1.
4.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(　　)
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
答案　CD
解析　设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以A，B不正确，C，D正确.
5.(易错题)一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是________，方差是________.
答案　48　4
解析　设该组数据为x1，x2，…，xn，
则新数据为x1＋20，x2＋20，…，xn＋20，记新数据的平均数为′，
因为＝＝28，
所以′＝＝20＋28＝48.
因为s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝4，
所以s′2＝{[x1＋20－(＋20)]2＋[x2＋20－(＋20)]2＋…＋[xn＋20－(＋20)]2}＝s2＝4.
6.(2022·苏州模拟)由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m，中位数为n，则m－n＝________.

答案　360
解析　第一块小矩形的面积S1＝0.3，第二块小矩形的面积S2＝0.4，故n＝2 000＋＝3 000；又第四、五块小矩形的面积均为S＝0.06，故a＝[1－(0.3＋0.4＋0.06×2)]＝0.000 09，所以m＝1 000×0.3＋3 000×0.4＋5 000×0.18＋(7 000＋9 000)×0.06＝3 360，故m－n＝360.

　考点一　百分位数的估计
1.如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是(　　)

A.－2 B.0 C.1 D.2
答案　D
解析　由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，
因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是＝2.
2.一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为________，第86百分位数为________.
答案　14.5　17
解析　∵75%×20＝15，
∴第75百分位数为＝14.5.
∵86%×20＝17.2，
∴第86百分位数为第18个数据17.
3.将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________.(结果保留两位小数)

答案　124.44
解析　由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.022 5)×10×100%＝92.5%，
因此，80%分位数一定位于[120，130)内.
因为120＋×10≈124.44，
所以此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44.
感悟提升　计算一组数据的第p百分位数的步骤

　考点二　总体集中趋势的估计
角度1　样本的数字特征
例1 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)：
甲
95
82
88
81
93
79
84
78
乙
83
75
80
80
90
85
92
95
(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；
(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由.
解　(1)甲＝×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，
乙＝×(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分).
甲、乙两组数据的中位数分别为83分，84分.
(2)由(1)知甲＝乙＝85分，
所以s＝[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，
s＝[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋
(95－85)2]＝41.
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲的中位数，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为甲＝乙，s＜s，所以甲的成绩较稳定；
④从数据来看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力.
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩.
角度2　频率分布直方图中的数字特征
例2 某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.
解　(1)如题图所示，用水量在[0.5，2)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，用水量在[0.5，3)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.
∴用水量小于等于2立方米的频率为0.45，用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，
∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.
(2)当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为
(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).
即当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为10.5元.
感悟提升　(1)众数、中位数、平均数的应用要点
中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用.
(2)频率分布直方图的数字特征
①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标；
②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.
训练1 (1)(2022·成都质检)有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲：7　8　10　9　8　8　6
乙：9　10　7　8　7　7　8
则下列判断正确的是(　　)
A.甲射击的平均成绩比乙好
B.乙射击的平均成绩比甲好
C.甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
D.甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数
答案　D
解析　由题意得，甲射击的平均成绩为甲＝＝8，众数为8，中位数为8；
乙射击的平均成绩为
乙＝＝8，
众数为7，中位数为8；
故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数.
(2)(多选)(2022·长沙模拟)某校高二年级共有800名学生参加了数学测验(满分150分)，已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组为：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150)，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是(　　)

A.a＝0.045
B.这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160
C.这800名学生数学成绩的中位数约为121.4
D.这800名学生数学成绩的平均数为125
答案　BC
解析　由题意，(0.005＋0.01＋0.01＋0.015＋0.025＋a)×10＝1，解得a＝0.035，A错误；
110分以下的人数为(0.01＋0.01)×10×800＝160，B正确；
120分以下的频率是(0.01＋0.01＋0.025)×10＝0.45，设中位数为x，则＝，x≈121.4，C正确；
平均数为95×0.1＋105×0.1＋115×0.25＋125×0.35＋135×0.15＋145×0.05＝120，D错误.
　考点三　总体离散程度的估计
例3 (2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s和s.
(1)求，，s，s；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果－≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).
解　(1)由表格中的数据易得：
＝＋10.0＝10.0，
＝＋10.0＝10.3，
s＝×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，
s＝×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.
(2)由(1)中数据可得－＝10.3－10.0＝0.3，而2＝＝，显然有－>2成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
感悟提升　标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)较大，数据的离散程度越大；标准差(方差)较小，数据的离散程度越小.
训练2 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组
[－0.20，0)
[0，0.20)
[0.20，0.40)
[0.40，0.60)
[0.60，0.80]
企业数
2
24
53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附：≈8.602.
解　(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.
产值负增长的企业频率为＝0.02.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.
(2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，

＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，
s＝＝0.02×≈0.17.
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.



1.(2021·茂名联考)甲组数据为：5，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是(　　)
A.极差 B.平均数
C.中位数 D.都不相同
答案　B
解析　由题中数据的分布，可知极差不同，
甲的中位数为＝18.5，
乙的中位数为＝16，
甲＝＝，
乙＝＝，
所以甲、乙的平均数相同.
2.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(　　)
A.中位数 B.平均数
C.方差 D.极差
答案　A
解析　中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响.
3.12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75(单位：m)，则比赛成绩的75%分位数是(　　)
A.1.72 B.1.73 C.1.74 D.1.75
答案　B
解析　将12个数据按从小到大排序：
1.55，1.59，1.60，1.65，1.67，1.68，1.69，1.70，1.72，1.74，1.75，1.78，
计算i＝12×75%＝9，所以比赛成绩的75%分位数是第9个数据与第10个数据的平均数，即＝1.73.
4.某样本中共有5个数据，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，已知该样本的平均数为1，则样本方差为(　　)
A.2 B. C. D.
答案　A
解析　设丢失的数据为a，则这组数据的平均数是×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.
根据方差计算公式得s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
5.(多选)下表为2021年某煤炭公司1～10月份的煤炭生产量：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量(单位：万吨)
23
25
24
17.5
17.5
21
26
29
30
27
则下列结论正确的是(　　)
A.极差为12.5万吨 B.平均数为24万吨
C.中位数为24万吨 D.众数为17.5万吨
答案　ABD
解析　将表格中的数据由小到大排列依次为17.5，17.5，21，23，24，25，26，27，29，30.
极差为30－17.5＝12.5(万吨)，A正确；
平均数为

＝24(万吨)，B正确；
中位数为＝24.5(万吨)，C错误；
众数为17.5(万吨)，D正确.
6.(多选)(2022·青岛调研)某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A.得分在[40，60)之间的共有40人
B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80)之间的概率为0.5
C.估计得分的众数为55
D.这100名参赛者得分的中位数为65
答案　ABC
解析　根据频率和为1，计算(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，得分在[40，60)之间的频率是0.4，估计得分在[40，60)之间的有100×0.4＝40(人)，A正确；
得分在[60，80)之间的频率为0.5，可得从这100名参赛者中随机选取1人，得分在[60，80)之间的概率为0.5，B正确；
根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为＝55，即估计众数为55，C正确；
根据频率分布直方图知，得分低于60分的直方图面积为(0.005＋0.035)×10＝0.4＜0.5，而得分低于70分的直方图面积为(0.005＋0.035＋0.030)×10＝0.7＞0.5，所以100名参赛者得分的中位数估计为60＋≈63.3，D错误.
7.若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为________.
答案　16，18
解析　∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，
∴＝5，
∴＋1
＝3×5＋1＝16，
∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，
∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.
8.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图所示，则：

(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是________；
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________；
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________.
答案　(1)13　(2)62.5　(3)64
解析　(1)在[55，75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
9.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为________秒.

答案　16.5
解析　设成绩的70%分位数为x，
因为＝0.55，＝0.85，所以x∈[16，17)，
所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5(秒).
10.一次数学知识竞赛中，两组学生的成绩如下：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
经计算，两组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由.
解　从不同的角度分析如下：
①甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩好些.
②s＝×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172.
同理得s＝256.
因为s＜s，所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定.
③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好.
④从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多.
同时，乙组满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组成绩较好.
11.(2022·武汉质检)某中学举行电脑知识竞赛，现将参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求参赛学生的成绩的众数、中位数；
(2)求参赛学生的平均成绩.
解　(1)因为频率分布直方图中最高小长方形所在的区间的中点值为65，所以众数为65，
又因为第一个小长方形的面积为0.3，
第二个小长方形的面积是0.4，0.3＋0.4＞0.5，所以中位数在第二组，
设中位数为x，则0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，解得x＝65，所以中位数为65.
(2)依题意，
可得平均成绩为(55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67，
所以参赛学生的平均成绩为67分.

12.(多选)为比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是(　　)

A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
答案　AC
解析　对于A，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，故A正确；对于B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象力指标值为5，故B错误；对于C，甲的六维能力指标值的平均值为×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝，乙的六维能力指标值的平均值为×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，