高考数学一轮复习第四章第三讲等比数列及其前n项和课件

这是一份高考数学一轮复习第四章第三讲等比数列及其前n项和课件，共50页。PPT课件主要包含了答案C，答案A，答案AD，答案2，故选AC，答案AC，反思感悟等内容，欢迎下载使用。
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数
列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示.
2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为 a1 ，公比为 q，则它的通项公式为
an＝a1·qn-1.3.等比中项
若 G2＝a·b(ab≠0)，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
4.等比数列的常用性质
5.等比数列的前 n 项和公式
6.等比数列前 n 项和的性质
若q≠－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，
S3n－S2n仍是等比数列.
1.(2023年全国Ⅱ卷)记 Sn 为等比数列{an}的前n项和，若
S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　)
考点一 等比数列基本量的运算
2.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S2＝1，S4＝5，则S8
的值为(A.85C.84
3.(2023年日照市期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S6＝63，a4＝8a1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1＋2lg2an，且b7＋b8＋b9＋…＋bk＋7＝133，求正整数k的值.
∵b7＋b8＋b9＋…＋bk＋7＝133，∴k2＋14k＋13＝133.整理得k2＋14k－120＝0，解得k＝－20(舍去)，或k＝6，∴正整数k的值为6.
【题后反思】等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
考点二 等比数列的判定及应用
【题后反思】等比数列的四种常用判定方法
【变式训练】1.(多选题)设等比数列{an}的公比为 q，则下列说法正确的是
A.数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
2.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.设bn＝an＋1－2an.(1)证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式.
考点三 等比数列性质的应用
(2)(2022 年厦门市模拟)已知等比数列{an}共有 2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q＝________.
【题后反思】等比数列常见性质的应用(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.
(3)前 n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体
的变化特征即可找出解决问题的突破口.
【变式训练】1.(2023 年天津卷)已知{an}为等比数列，Sn 为数列{an}的前 n
项和，an＋1＝2Sn＋2，则 a4 的值为(
解析：因为{an}为等比数列，an＋1＝2Sn＋2，
所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2，a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a1＋6，由等比数列的性质可得，a ＝a1·a3，即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a1.所以a1＝2或a1＝－1(舍).所以a2＝6，q＝3.则a4＝a1·q3＝2×33＝54.故选C.
⊙递归中的等比数列问题[例 3](1)(2023 年渭南市二模)如图 4-3-1 是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图4-3-1(1)所示的第 1 代“勾股树”，重复图 4-3-(1)的作法，得到如图 4-3-(2)所示的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第 n代“勾股树”中所有正方形的个数为 an，数列{an}的前 n 项和为 Sn，若
不等式 Sn＞2 022 恒成立，则 n 的最小值为(
解析：第1代“勾股树”中，正方形的个数为3＝21+1－1，
因为an＞0，所以数列{Sn}为递增数列.又 S8＝1 012＜2 022，S9＝2 035＞2 022，所以 n 的最小值为 9.故选 C.
第2代“勾股树”中，正方形的个数为7＝22+1－1，…　以此类推，第n代“勾股树”中所有正方形的个数为2n+1－1，即an＝2n+1－1.
(2)(多选题)数学中的螺旋线来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图4­3­2(1)，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为a1，后续各正方形边长依次为a2，a3，an；如图4­3­2(2)阴影部分，设直角三角形AEH面积为b1，后续各直角三角形面积依次为b2，b3，bn，下列说法正确的是(　　)
解决递归问题的关键，是找到前后两次操作中数量的递推关系，转化为数列的递推公式，进而求出数列的通项公式.也可以根据前几步操作的结果写出对应数列前几项的值，通过找规律的方式推出数列的通项公式.值得注意的是，在解答题中，不能直接通过观察规律得出数列的通项公式，需要用数学归纳法严格证明.
(2023年广州市校级月考)如图4­3­3是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形[图(1)]的边长为1，把图(1)，(2)，(3)，(4)…中图形的周长依次记为a1，a2，a3，a4，…，得到数列{an}.设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn≥an＋81时，则n的最小值为(　　)(参考数据：lg 4≈0.60，lg 3≈0.48)