2025高考数学一轮复习第2章基本初等函数12微难点5复合函数的零点问题（课件+解析试卷）

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　　　　当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1，f′(x)＝12x2－12x，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1．作出函数y＝f(x)的图象如图所示．
综上，g(x)共有4个零点．
　　　　作出函数f(x)的图象如图所示．
　　　　令g(x)＝(f(x))2－2af(x)＋a2－1＝0，得f(x)＝a－1或f(x)＝a＋1．画出f(x)的大致图象如图所示．
f(f(x))＝k或f(g(x))＝k型
A．7B．5C．3D．2
综上，实数a的取值范围为(2，3]．
综上，方程f(f(x))＝k的实数解的个数至多为6．
f(f(x))＝x或f(g(x))＝x型
1．关于复合函数y＝f(f(x))－x的零点有如下结论：若f(x)单调，则f(f(x0))＝x0⇔f(x0)＝x0．2．关于复合函数y＝f(g(x))－x的零点有如下结论：y＝f(g(x))－x有零点⇔y＝g(f(x))－x有零点．
　　　(1)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程x－f(g(x))＝0有实数根，则g(f(x))不可能是(　　)
令g(x)＝ex＋x－x2，则g′(x)＝ex＋1－2x，令h(x)＝ex＋1－2x，则h′(x)＝ex－2，令h′(x)＝0，得x＝ln 2，可知当x∈[0，ln 2]时，g′(x)单调递减，当x∈[ln 2，1]时，g′(x)单调递增，从而g′(x)≥g′(ln 2)＝3－2ln 2＞0，故g(x)在[0，1]上单调递增，从而a∈[g(0)，g(1)]＝[1，e]．
f(f(x))＋af(x)＋b＝0型
解决嵌套函数f(g(x))零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点；(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
A．3　　　　　　　B．7　　　　　　　C．5　　　　　　　D．6
　　　　作出函数f(x)的图象如图所示．关于x的方程(f(x))2＋(a－1)f(x)－a＝0有7个不等的实数根，即(f(x)＋a)(f(x)－1)＝0有7个不等的实数根．易知f(x)＝1有3个不等的实数根，所以f(x)＝－a必须有4个不相等的实数根，由函数f(x)的图象可知－a∈(1，2)，所以a∈(－2，－1)．
A．4B．3C．2D．1
　　　　作出函数f(x)的图象如图所示．若方程(f(x))2－2af(x)＋a－1＝0(a∈R)有四个相异的实数根，则方程的解f(x)必须有两个：t1，t2，t1＞1，t2∈(0，1)①，或t1∈(0，1)，t2≤0②．
综上，a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
由图象可得有两个交点，设横坐标为t1，t2，所以t1＝0，t2∈(1，2)．当f(x)＝t1时，x＝2，即有一解；当f(x)＝t2时，有3个解．综上，F(x)＝0共有4个解，即F(x)有4个零点．
6．(多选)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f(g(x))＝x有实数解，则下列式子中可以为g(f(x))的是(　　　)A．x2＋2xB．x＋1C．ecs xD．ln (|x|＋1)
　　　　由方程f(g(x))＝x有实数解可得g(f(g(x)))＝g(x)，再用x替代g(x)，得x＝g(f(x))有解．对于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有解，故A正确．对于B，x＝x＋1，即0＝1，方程无解，故B错误．
对于D，当ln (|x|＋1)＝x时，x＝0，所以方程有解，故D正确．
　　　　设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，得a＝f(t)．在同一平面直角坐标系内作出y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1．当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．故当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，满足题意．
当a＜－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有一个交点，设交点的横坐标为t3，则t3＜－1，t3＝f(x)有一解，不满足题意．综上所述，实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
　　　　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，从而f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减，且f(0)＝1，f(2)＝－3．作出f(x)的图象如图(1)所示．
　　　　令t＝g(x)，t≥0，则f(t)＋t－m＝0，即f(t)＝m－t．在同一平面直角坐标系中作出y＝f(t)与y＝m－t的图象如图(1)所示，
由图可知，当m＞1时，y＝f(t)与y＝m－t的图象有1个交点，设交点横坐标为t1，则t1＞1，由t1＝g(x)，结合图(2)可知，此时y＝t1与y＝g(x)的图象有2个交点，即原方程有2个实根，且两根之和为2，不符合题意；
当m＝1时，y＝f(t)与y＝m－t的图象有2个交点，设交点横坐标为t2，t3，且有t2＝0，t3＝1，结合图(2)可知，由t2＝g(x)，得x1＝0，x2＝2，由t3＝g(x)，得x3＝1，x4＋x5＝2，故原方程有5个实根，且5根之和为5，不符合题意；
当m＜1时，y＝f(t)与y＝m－t的图象有2个交点，设交点横坐标为t4，t5，且有t4＜0，0＜t5＜1，结合y＝g(x)的图象可知，当t4＝g(x)时无解，当t5＝g(x)时，y＝t5与y＝g(x)的图象有4个交点，即原方程有4个实根，且4根之和为4，符合题意．综上，实数m的取值范围为(－∞，1)．