2025高考数学一轮复习第3章导数及其应用01第13讲导数的几何意义和四则运算（课件+解析试卷）

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5．(人A选必二P81T1,2节选)求下列函数的导数．(1)y＝2x＋lg2x；
5．(人A选必二P81T1,2节选)求下列函数的导数．(3)y＝(3x＋1)2ln(3x)；
(4)y＝3xe－3x．
　　　　y′＝(3x)′e－3x＋3x(e－3x)′＝3xe－3xln3－3·3xe－3x．
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)　
f′(x)±g′(x)　
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　
f′(g(x))·g′(x)　
2．常用结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
　　　　　(2)设f′(x)为函数f(x)的导函数，若f(x)＝2(x＋1)ex－f′(0)·x，则f(0)＋f′(0)＝_____．
　　　　f(x)＝2(x＋1)ex－f′(0)·x中，令x＝0，得f(0)＝2e0＝2．f′(x)＝2(x＋2)ex－f′(0)，令x＝0，得f′(0)＝2(0＋2)e0－f′(0)，解得f′(0)＝2，所以f(0)＋f′(0)＝4．
　　　　　求下列函数的导数：(1)y＝x2＋tanx；
　　　　　求下列函数的导数：(3)y＝e－x·sin2x；
　　　　y′＝(e－x)′sin2x＋e－x·(sin2x)′＝－e－xsin2x＋2e－xcs2x．
求导数的几种情况(1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
　　　(1)(2024·南通期初)已知函数f(x)＝alnx＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝(　　)A．－2B．－1C．0D．1
　　　(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________________________．
　　　　易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0＋a)ex0)，则切线斜率为f′(x0)＝(x0＋a＋1)·ex0，可得切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋a＋1)ex0(x－x0)．
(－∞，－4)∪(0，＋∞)　
(1)求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
y＝3x＋2(或y＝0)　
若两个动点P，Q分别在函数f(x)和直线l上，则|PQ|min为当f(x)在点P处的切线与直线l平行时，P到直线l的距离．
变式　已知lnx1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－5－2ln2＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为______．
　　　(2023·邵阳二模)已知直线l是曲线y＝ln(x－2)＋2与y＝ln(x－1)的公切线，则直线l与x轴的交点坐标为______________．
3．设点P在曲线f(x)＝2x2－lnx上，Q在直线y＝3x－2上，则|PQ|的最小值为_____．
4．(2023·张家口期末)已知直线l：y＝kx＋b是函数f(x)＝ax2(a＞0)与函数g(x)＝ex的公切线，若(1，f(1))是直线l与函数f(x)相切的切点，则b＝_________．
　　　　f′(x)＝2ax，f′(1)＝2a，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝2a(x－1)，即y＝2ax－a．
2．(2023·岳阳二模)已知函数f(x)＝－2x3＋3ax2＋3x是定义在R上的奇函数，则函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线的斜率为(　　)A．－27B．－25C．－23D．－21
　　　　因为函数f(x)＝－2x3＋3ax2＋3x是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即－2(－x)3＋3a(－x)2＋3(－x)＝2x3－3ax2－3x，所以2x3＋3ax2－3x＝2x3－3ax2－3x，所以a＝0，所以f(x)＝－2x3＋3x，故f′(x)＝－6x2＋3，所以f′(－2)＝－21，所以函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线的斜率为－21．
4．(2023·诸暨三模)如图所示是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，若f(2)＝0，则y＝f(x)的图象大致为(　　)
　　　　由y＝f′(x)的图象可知，当0＜x＜1时，函数y＝f(x)上各点处切线的斜率在区间(0，1)内．对于A，当x∈(0，1)时，函数y＝f(x)上各点处切线的斜率均小于0，故A错误；对于B，当x∈(0，1)时，函数y＝f(x)上存在一点，在该点处切线的斜率大于1，故B错误；对于C，当x∈(0，1)时，函数y＝f(x)上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C错误；对于D，当由y＝f′(x)的图象可知，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x＜3时，f′(x)＜0，当x＞3时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x∈(0，1)时，函数y＝f(x)图象上各点处切线的斜率在区间(0，1)内，而函数y＝f(x)的图象均符合这些性质，故D正确．
5．(多选)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2．则下列说法正确的是(　　　)A．此物体的初速度是3 m/sB．此物体在t＝2 s时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度方向相反C．t＝0到t＝2 s内的平均速度为1 m/sD．t＝3 s时的瞬时速度为0
　　　　对于A，s′＝3－2t，故当t＝0时，s′＝3，即此物体的初速度是3 m/s，故A正确；对于B，当t＝2时，s′＝3－4＝－1，即此物体在t＝2 s时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度方向相反，故B正确；
对于D，当t＝3 s时，s′＝3－2t＝3－6＝－3，故t＝3 s时的瞬时速度为－3 m/s，故D错误．
9．(2023·苏北苏中八市二模)过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程为______________________________．
2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0)　
11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1) 若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线的斜率为－3，求a，b的值；
11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(2) 若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
B组　提升练13．已知过点A(a，0)可以作曲线y＝(x－2)ex的两条切线，则实数a的取值范围是(　　)A．(2，＋∞)B．(－∞，－e)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
又h(－1)＝－2，h(1)＝2，且x→－∞时，h(x)→－∞，x→0－时，h(x)→－∞，x→0＋时，h(x)→＋∞，x→＋∞时，h(x)→＋∞，要使y＝a与h(x)有两个交点，则a＞2或a＜－2，故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．