2025高考数学一轮复习第2章基本初等函数04微难点2抽象函数性质的应用（课件+解析试卷）

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抽象函数的奇偶性与单调性综合问题
　　　(2)(2023·广西一模)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)＞0的解集为(　　)A．(1，3)B．(3，＋∞)C．(－3，－1)∪(3，＋∞)D．(0，1)∪(3，＋∞)
　　　　由偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(1)＝0，则当x＞0时，xf(x－2)＞0，即f(|x－2|)＞0＝f(1)，故x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，故x∈(0，1)∪(3，＋∞)；当x＜0时，xf(x－2)＞0，即f(|x－2|)＜0＝f(1)，故－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，又x＜0，故解集为∅．综上，不等式xf(x－2)＞0的解集为(0，1)∪(3，＋∞)．
(1)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较．对于客观题尽量数形结合求解，同时要充分利用以下性质：奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)含“f”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．要注意：奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．特别地，如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)，则可避免分类讨论．
　　　　因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－2)＝－2，所以根据奇函数的对称性可知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－f(－2)＝2，f(0)＝0，所以f(x)在R上单调递增．
抽象函数的奇偶性、对称性与周期性综合问题
　　　　因为函数f(x)的定义域为R，且函数f(2x＋1)为奇函数，则f(2x＋1)＝－f(1－2x)，即函数f(x)关于点(1，0)对称，所以有f(x)＝－f(2－x)①．又f(4－x)＝f(x)②，所以函数f(x)关于直线x＝2对称，则由②得f(3)＝f(4－1)＝f(1)＝0，f(0)＝f(4－0)＝f(4)，所以f(0)＋f(2)＝f(2)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0．
　　　(2)(2023·大庆一检改编)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝2，g(x)－f(x－4)＝4，若g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝1，则f(202)＝(　　)A．－3B．－1C．0D．2
　　　　因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(2＋x)，所以f(x)＋g(2－x)＝f(x)＋g(x＋2)＝2．因为f(x)＋g(2－x)＝2，所以f(－x)＋g(2＋x)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．因为g(x)－f(x－4)＝4，所以g(x＋2)－f(x－2)＝4，所以f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x)＝－2，所以f(x＋4)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(202)＝f(2)．因为g(2)－f(－2)＝g(2)－f(2)＝4，所以f(2)＝－3，故f(202)＝－3．
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|；(2)若函数f(x)的图象既关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|；(3)若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为4|b－a|；(4)若函数f(x)是偶函数，且其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)的周期为2|a|；(5)若函数f(x)是奇函数，且其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)的周期为4|a|．
　　　　由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)，所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4．又f(x＋2)为偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)也为偶函数．
变式　(2)(2023·肇庆二检)已知定义在R上的两个函数f(x)和g(x)，f(x)＋g(1－x)＝3，g(x)＋f(x－3)＝3．若y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(0)＝_____，g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(1 000)＝_____．
　　　　由g(x)＋f(x－3)＝3可得g(1－x)＋f(－2－x)＝3．又f(x)＋g(1－x)＝3，所以f(x)＝f(－2－x)．令x＝0，得f(0)＝f(－2)．因为y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，所以g(1－x)＋g(1＋x)＝0．又f(x)＋g(1－x)＝3，所以f(x)－g(1＋x)＝3．因为g(x)＋f(x－3)＝3，所以g(1＋x)＋f(x－2)＝3，所以f(x)＋f(x－2)＝6．令x＝0，得f(0)＋f(－2)＝6，则f(0)＝3．因为f(x)－g(1＋x)＝3，所以f(x－3)－g(x－2)＝3，又g(x)＋f(x－3)＝3，所以g(x)＝－g(x－2)，g(x－2)＝－g(x－4)，则g(x)＝g(x－4)，4是g(x)的一个周期．因为g(3)＝－g(1)，g(4)＝－g(2)，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0．因为g(x)的周期是4，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(1 000)＝0．
抽象函数的导函数与原函数的对称性问题
　　　(2023·武汉武昌三模)(多选)已知非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(1－2x)为奇函数，f(2x－1)为偶函数，则(　　　)A．f(0)＝0B．f(－2 021)＝－f(2 023)C．f′(2x－1)＝f′(2x＋7)D．f′(－2 021)＝f′(2 023)
　　　　因为非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(1－2x)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(1＋2x)，则函数f(x)关于点(1，0)对称，且f(1)＝0．无法判断f(0)＝0是否成立，故A错误．因为f(1－2x)＝－f(1＋2x)，令x＝1 011，则f(－2 021)＝－f(2 023)，故B正确．
因为f(1－2x)＝－f(1＋2x)，即f(1＋x)＝－f(1－x)，两边同时求导，则有f′(1＋x)＝f′(1－x)，所以函数f′(x)关于直线x＝1对称．因为函数f(2x－1)为偶函数，所以f(－2x－1)＝f(2x－1)，即f(－1－x)＝f(－1＋x)，两边同时求导，则有－f′(－1－x)＝f′(－1＋x)，所以f′(x)关于点(－1，0)对称，则导函数f′(x)的周期为4×(1＋1)＝8，所以f′(2x－1)＝f′(2x＋7)，故C正确．
(1)若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔导函数f′(x)的图象关于点(a，0)对称．(2)若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于点(a，f(a))对称⇔导函数f′(x)的图象关于直线x＝a对称．
变式　 (2023·宁波二模)(多选)已知函数f(x)与g(x)及其导函数f′(x)与g′(x)的定义域均为R，f(x)是偶函数，g(x)的图象关于点(1，0)对称，则(　　　)A．g(f(－1))＝g(f(1))B．f(g(3))＝f(g(－1))C．f(g′(3))＝f(g′(－1))D．g(f′(－1))＝g(f′(1))
　　　　由f(x)是偶函数，g(x)的图象关于点(1，0)对称，则有f(－x)＝f(x)，g(x)＝－g(2－x)，则f′(x)图象关于点(0，0)对称，所以f′(－x)＝－f′(x)，g′(x)的图象关于x＝1对称，所以g′(x)＝g′(2－x)．对于A，令x＝1，得f(－1)＝f(1)，所以g(f(－1))＝g(f(1))，故A正确；对于B，令x＝3，得g(3)＝－g(－1)，所以f(g(3))＝f(－g(－1))＝f(g(－1))，故B正确；对于C，令x＝3，得g′(3)＝g′(－1)，所以f(g′(3))＝f(g′(－1))，故C正确；对于D，令x＝1，则f′(－1)＝－f′(1)，所以g(f′(－1))＝g(－f′(1))，故D错误．
1．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)＝(　　)A．－1B．0C．1D．4
　　　　由题意知f(－x)＝－f(x)且f(x＋2)＝f(x)，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝f(1)＋f(0)＋f(－1)＝0．
2．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为(　　)A．(－1，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2，0)∪(0，2)
4．(2023·杭州二模改编)(多选)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则(　 　)A．f(103)＝2B．f′(x)的周期是4C．f′(x)是偶函数D．f′(1)＝1
　　　　因为函数f(x)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期为4，所以f′(x＋4)＝f′(x)，故f′(x)的周期为4，故B正确；f(103)＝f(4×25＋3)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故A错误；因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f′(－x)＝－f′(x)，即f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，故C正确；因为f(x＋2)＝f(－x)，所以f′(x＋2)＝－f′(－x)，令x＝－1，可得f′(1)＝－f′(1)，解得f′(1)＝0，故D错误．
5．(2023·茂名一模)(多选)已知函数f(x)对∀x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)为奇函数，且x∈[0，1)时，f(x)＝x2，则下列结论正确的是(　　　)A．函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称B．f(x)是周期为2的函数C．f(－1)＝0
　　　　由f(x＋1)为奇函数得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0，故f(x)的图象关于(1，0)中心对称，故A正确；由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0得f(x)＝－f(2＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的函数，故B错误；由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，则f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，故f(－1)＝f(1)＝0，故C正确；
7．(2023·石家庄联考)(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)－g(2－x)＝－5，g(x)＋f(x＋2)＝3．若f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(3)＝－3，则(　　　)A．g(1)＝6B．g(x)的图象关于点(0，4)中心对称C．g(x)是周期函数，且最小正周期为8
　　　　令x＝1，则g(1)＋f(3)＝3，又f(3)＝－3，故g(1)＝6，故A正确；因为f(x)－g(2－x)＝－5，则f(x＋2)－g[2－(x＋2)]＝－5，即g(－x)－f(x＋2)＝5①，又g(x)＋f(x＋2)＝3②，①＋②得g(x)＋g(－x)＝8，则g(x)的图象关于点(0，4)对称，且g(0)＝4，故B正确；f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，则f(2－x)－g(2－x)＝－5，则f(2＋x)－g(2＋x)＝－5．又g(x)＋f(x＋2)＝3，两式相减得g(2＋x)＝8－g(x)，则g(4＋x)＝8－g(x＋2)，两式相减得g(4＋x)＝g(x)，故g(x)的最小正周期为4，故C错误；
8．(2023·菏泽一模)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f(2x＋3)为偶函数，g(x＋5)－1为奇函数，若f(1)＋g(1)＝3，则f(5)－g(9)＝_____．
　　　　若f(2x＋3)为偶函数，g(x＋5)－1为奇函数，则f(－2x＋3)＝f(2x＋3)，g(－x＋5)－1＝－g(x＋5)＋1，令x＝1，则f(－2×1＋3)＝f(2×1＋3)，即f(1)＝f(5)，令x＝4，则g(－4＋5)－1＝－g(4＋5)＋1，即g(1)－1＝－g(9)＋1，g(9)＝2－g(1)．又因为f(1)＋g(1)＝3，所以f(5)－g(9)＝f(1)＋g(1)－2＝1．
9．(2023·马鞍山、滁州一模)已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，f(x＋1)为偶函数，g(x)的图象关于点(1，0)中心对称，若f(x)＋g(x)＝x2－1，则f(2)g(2)的值为_____．
　　　　因为f(x)＋g(x)＝x2－1，令x＝2，得f(2)＋g(2)＝3．又因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x)图象关于直线x＝1对称，即f(x)＝f(2－x)①．又因为g(x)的图象关于(1，0)中心对称，所以g(－x＋1)＝－g(x＋1)，将－x＋1代换x，得g(x)＝－g(－x＋2)②，由①②得f(x)＋g(x)＝f(2－x)－g(2－x)＝x2－1，令x＝0，得f(2)－g(2)＝－1．结合f(2)＋g(2)＝3，解得f(2)＝1，g(2)＝2，所以f(2)g(2)＝2．
10．(2023·泰安期末)已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x＞0时，f(x)＞1．若f(2)＝3，则不等式f(x2－x－1)＜2的解集为____________．
　　　　对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x＞0时，f(x)＞1．设x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞1，所以f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)－1＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)是增函数．因为f(2)＝3，即f(2)＝f(1)＋f(1)－1＝3，所以f(1)＝2．所以原不等式f(x2－x－1)＜2等价为f(x2－x－1)＜f(1)，则x2－x－1＜1，即x2－x－2＜0，则(x－2)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜2，故原不等式的解集是(－1，2)．