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    千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第12炼 复合函数零点问题

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    千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第12炼 复合函数零点问题

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    第12炼 复合函数零点问题

    一、基础知识:

    1、复合函数定义:且函数的值域为定义域的子集那么通过的联系而得到自变量的函数的复合函数记为

    2、复合函数函数值计算的步骤:求函数值遵循由内到外的顺序,一层层求出函数值。例如:已知,计算

    解:  

    3、已知函数值求自变量的步骤:若已知函数值求的解,则遵循由外到内的顺序,一层层拆解直到求出的值。例如:已知,若,求

    解:令,则解得

    ,则

    ,则

    综上所述:

    由上例可得,要想求出的根,则需要先将视为整体,先求出的值,再求对应的解,这种思路也用来解决复合函数零点问题,先回顾零点的定义:

    4、函数的零点:设的定义域为,若存在,使得,则称的一个零点

    5、复合函数零点问题的特点:考虑关于的方程根的个数,在解此类问题时,要分为两层来分析,第一层是解关于的方程,观察有几个的值使得等式成立;第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应,的个数汇总后即为的根的个数

    6、求解复合函数零点问题的技巧:

    1此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开始要作出的图像

    2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程解的个数,再根据个数与的图像特点,分配每个函数值几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围

    复合函数:

    二、典型例题

    1:设定义域为的函数 若关于的方程3个不同的解______

    思路:先作出的图像如图观察可发现对于任意的满足的个数分别为2个(3个(),已知有3个解,从而可得必为 的根而另一根为或者是负数所以可解得所以

    答案:5

    2:关于的方程的不相同实根的个数是(    

    A.  3                  B.  4                 C.  5               D.  8

    思路:可将视为一个整体则方程变为可解得则只需作出的图像然后统计与的交点总数即可共有5个

    答案:C

    3已知函数,关于的方程)恰有6个不同实数解,则的取值范围是     

    思路:所解方程可视为,故考虑作出的图像, 则的图像如图,由图像可知,若有6个不同实数解,则必有所以解得

    答案:

    4:已知定义在上的奇函数,当时,,则关于的方程的实数根个数为(    

    A.                 B.               C.              D. 

    思路:已知方程可解,得,只需统计的交点个数即可。由奇函数可先做出的图像,时,,则的图像只需将的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点

    答案:B

    小炼有话说在作图的过程中,注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间

    5若函数有极值点,且,则关于的方程的不同实根个数是     

    A3       B4      C5        D6

    思路:由极值点可得: 的两根观察到方程结构完全相同所以可得的两根为其中可判断出是极大值点,是极小值点所以有两个交点有一个交点,共计3个;若可判断出是极值点,是极值点。且所以个交点个交点,共计3个。综上所述,共有3个交点

    答案:A

    6:已知函数,若方程恰有七个不相同的实根,则实数的取值范围是(    

    A.              B.            C.            D. 

    思路:考虑通过图像变换作出的图像(如图),因为最多只能解出2个,若要出七个根,则,所以,解得:

    答案:B

    7:已知函数若关于的方程恰有4个不相等的实数根,则实数的取值范围是    

    A.        B.         C.        D.

    思路:,分析的图像以便于作图,时,,从而单调递增,在单调递减,,且当,所以正半轴为水平渐近线;当时,,所以单调递减。由此作图,从图像可得,若恰有4个不等实根,则关于的方程中,,从而将问题转化为根分布问题,设,则的两根,设,则有,解得

    答案:C

    小炼有话说:本题是作图与根分布综合的题目,其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图,在作图的过程中还要注意渐近线的细节,从而保证图像的准确。

    8:已知函数则下列关于函数的零点个数判断正确的是   

    A. 4个零点;当1个零点

    B. 3个零点;当2个零点

    C. 无论为何值均有2个零点

    D. 无论为何值均有4个零点

    思路:所求函数的零点,即方程的解的个数先作出的图像直线为过定点的一条直线,但需要对的符号进行分类讨论图像如图所示先拆外层可得有两个对应的也有两个对应的共计4个;当的图像如图所示先拆外层可得只有一个满足的所以共一个零点结合选项可判断出A正确

    答案:A

     

     

     

     

     

    9:已知函数则方程为正实数的实数根最多有___________

    思路:先通过分析的性质以便于作图从而单增单减,且为分段函数作出每段图像即可如图所示,若要实数根最多,则要优先选取能对应较多的情况图像可得每个可对应3个只需判断能在取得的值的个数即可观察图像可得可以有2个从而能够找到6个根,即最多的根的个数

    答案:6

     

    10:已知函数的图像如下给出下列四个命题

    1)方程有且只有6个根

    2)方程有且只有3个根

    3)方程有且只有5个根

    4)方程有且只有4个根

     

     

     

     

     

     

    则正确命题的个数是(     

    A.   1                B.  2             C.  3               D.  4

    思路:每个方程都可通过图像先拆掉第一层,找到内层函数能取得值,从而统计出的总数。

    (1)中可得进而2个对应的 3个,2个,总计7个,(1)错误;

    (2)中可得进而1个对应的3个,总计4个,(2)错误;

    (3)中可得进而1个对应的 3个,1个,总计5个,(3)正确;

    (4)中可得:进而2个对应的 2个,共计4个,(4)正确

    则综上所述,正确的命题共有2个

    答案:B

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