高中数学（人教A版）高三一轮复习专题 1-2.1 函数的性质（单调性，奇偶性）（解析版）

这是一份高中数学（人教A版）高三一轮复习专题 1-2.1 函数的性质（单调性，奇偶性）（解析版），共18页。试卷主要包含了函数的单调性等内容，欢迎下载使用。


一、函数的单调性
函数的最值
函数的奇偶性
题型专练
题型一 函数的单调性
1.1（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为
【答案】增区间为和，无单调递减区间，
【分析】分离常数，即可求解.
【详解】，所以的单调递增区间为和
故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间，
1.2（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】将绝对值去掉，转化为分段函数，画出图象求解即可.
【详解】，画出函数图象，

结合图象得函数的单调递增区间为.
故答案为：.
1.3（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可.
【详解】
因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增.
A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意；
B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意；
C：二次函数的对称轴为，开口向上，
所以该函数在上单调递增，故C符合题意；
D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意.
故选：C
1.4 （多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·开学考试）定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个定义域为的函数，其中能被称为“理想函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由可分析得当时，，即函数在单调递增，逐一检验即可.
【详解】由题可得：当时，恒有，
令，故：，又定义在上，
故，即在单调递增，
A项：在单调递减，故不正确；
B项：在单调递增，故正确；
C项：在递减，在递增，故不正确；
D项：在单调递增，故正确；
故选：BD.
题型二 函数的最值
2.1（2009高二·全国·竞赛）函数的最小值是（ ）.
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】先对表达式变形，利用平方非负证明，然后指出，即可说明的最小值是.
【详解】由于，
而，故的最小值是，C正确.
故选：C.
2.2 （23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数，给出以下三个命题正确的个数为（ ）
①存在实数a，函数无最小值；
②对任意实数a，函数都有零点；
③对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】通过特例，通过函数的图象可判断①；分为和两种情形即可说明②；通过函数图象交点的个数即可判断③.
【详解】①当时，，
的图象如下图所示，由图可知，没有最小值，①正确.

②由于，
当时，；当时，，
所以对任意实数a，函数都有零点，②正确.
③当时，，
当时，，
画出的图象如图所示，
由图可知存在实数m，使方程有3个不同的实根，③正确.
即正确的个数为3个，
故选：D.
2.3（2023·陕西宝鸡·二模）已知函数，则（ ）
A．在单调递减，在单调递增 B．在单调递减
C．的图像关于直线对称 D．有最小值，但无最大值
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性的判断方法，可判断A，B；推得可判断C；根据二次函数的性质结合对数函数的单调性可判断D.
【详解】由题意可得函数的定义域为，
则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
且在上单调递增，
故在上单调递增，在上单调递减，A，B错误；
由于，故的图像关于直线对称，C正确；
因为在时取得最大值，且在上单调递增，
故有最大值，但无最小值，D错误，
故选：C
题型三 函数单调性的应用
角度 1 函数大小比较
3.1 （23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由对数函数单调性得，构造函数，由函数的单调性得及，即可得出判断．
【详解】由对数函数单调性得，，
构造函数，则，
因为和单调递增，所以单调递增，
因为，即，所以，
又，所以，即，
所以，
故选：A．
3.2 （2024·贵州黔东南·二模）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据等式关系构造函数，由其单调性可得，于是结合基本不等式可得的最大值.
【详解】由题，构造函数，则，
显然在上单调递增，所以，即，
所以，当且仅当，时等号成立.
所以的最大值为0.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3.3 （23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用导数判断的单调性，结合单调性比较大小.
【详解】因为在上恒成立，可知在上单调递增，
又，所以.
故选：D.
角度2 利用单调性解不等式
3.4 （2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【详解】由，故在上单调递增，
由，有，即.
故选：A.
3.5 （2024·新疆喀什·二模）已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先结合幂函数和对数函数的性质得到函数为单调递增函数，则得到，解出即可.
【详解】当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递增，且，
则时，单调递增，
若有，则有，解得，
故选：A.
3.6 （23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可.
【详解】因为对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有，
所以有，设函数，
则函数在上单调递减，且.
当时，不等式等价于，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C
角度3 求解参数的值（范围）
3.7 （2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数与复合函数的单调性，可得内函数的单调性，利用其最值以及二次函数单调性，建立不等式，可得答案.
【详解】令，则．
当时，在上单调递增，
则由复合函数的单调性可知在上单调递增，
且在上恒成立，
所以，解得或（舍去）．
所以在上单调递增，
则，解得．
当时，在上单调递减，
则由复合函数的单调性可知在上单调递减，
且在上恒成立，
所以，解得或（舍去）．
所以在上单调递减，
则，解得，与矛盾．
综上所述，.
故选：C．
3.8 （2024·广东佛山·二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由换底公式可得，由函数的单调性建立不等式并求解即可.
【详解】依题意，，
显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减，
因此，而，则或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故选：D
3.9 （23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解.
【详解】因为函数，在上单调递增，
当时，由于和均在单调递增函数，
故在上单调递增，
所以，解得，
当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增，
则，解得，
当时，，此时，显然满足在上单调递增，
综上，．
故选：B
3.10 （23-24高一上·四川成都·期中）已知函数满足对任意的都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据在上的单调递减，可以列出相应的不等式方程组，计算求解即可.
【详解】已知函数满足对任意的都有，
所以函数在上单调递减，
在上单调递减，故，
在上单调递减，故，
又函数在上单调递减，所以，
所以，解得.
故选：C.
题型四 函数的奇偶性
角度1 函数奇偶性判断
4.1 （2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断.
【详解】对于A：函数的定义域为R，
又，所以是偶函数，故A错误；
对于B：由幂函数的图象可知，在上单调递增，故B错误；
对于C：函数的定义域为，
又，所以是奇函数，
又幂函数都在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故C正确；
对于D：因为对数函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故D错误.
故选：C.
4.2 （2024·陕西安康·模拟预测）下列说法正确的个数为（ ）
①为奇函数；
②不存在，使得为偶函数；
③存在非零实数，使得为偶函数．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义判断①，利用特殊值判断②，由得到、的关系，即可判断③.
【详解】对于①：，
，
当时，
令，则，所以，
所以不是奇函数，故①错误；
对于②：当时定义域为，
且，
所以为偶函数，故②错误；
对于③：若为偶函数，则，
即，
所以，
则，
故当时为偶函数，故③正确.
故选：B
角度2 利用奇偶性求值
4.3 （23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】运用奇函数定义求解即可.
【详解】当时，，
所以，
又因为为奇函数，所以，
所以，即，
所以当时，.
故选：A.
4.4 （22-23高一上·河南·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】D
【分析】
利用两函数的奇偶性，根据已知等式，构造另一个等式，联立求出函数解析式，代入自变量的值计算即得.
【详解】因分别是定义在上的偶函数和奇函数，则有：，
由①，将其中的取为，则可化简得：②，
由①②联立可求得：，于是.
故选：D.
4.5 （23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意先得表达式，从而分类讨论即可求解.
【详解】由题意已知函数在上是奇函数，当时，，
所以当时，，
当时，，，
当时，若，只需，，解得，
当时，若，只需，解得，
综上所述，不等式的解集是.
故选：C.
角度3 利用奇偶性求参数
4.6（23-24高一上·江西新余·期末）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把问题转化为一元二次方程在给定的区间上有解，求参数的取值范围.
【详解】设为奇函数，且当时，，则时，.
则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题.
由在有解得：
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据“隐对称点”的概念，把函数位于轴左侧的图象关于原点对称后，必与函数位于轴右侧的图象有公共点，从而转化为二次函数在给定区间上有零点的问题解决是该问题的关键.属于中档题.
4.7 （2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
4.8 （2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据是奇函数求出的值，再求出的定义域即可求出的取值范围.
【详解】，
，即，即，
，，
是定义在区间上的奇函数，
，即，
，解得（舍）或，
的定义域为，.
故选：D.
类别
单调递增
单调递减
定
义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D
当x1特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图)．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图
象
前提
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I，都有
f(x)≤M；
(2)∃x0∈I，使得
f(x0)＝M
(1)∀x∈I，都有
f(x)≥M；
(2)∃x0∈I，使得
f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
类别
偶函数
奇函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)
图象
特征
关于y轴对称
关于原点对称