2023高考数学二轮复习专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 （解析版）

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专题07 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
【考点预测】
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；
③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2．函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3．函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
4.函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.

【方法技巧与总结】
1.单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
3.周期性技巧

4.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
5.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【题型归纳目录】
题型一：函数的单调性及其应用
题型二：复合函数单调性的判断
题型三：利用函数单调性求函数最值
题型四：利用函数单调性求参数的范围
题型五：基本初等函数的单调性
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
题型七：已知函数的奇偶性求参数
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
题型九：已知奇函数+M
题型十：函数的对称性与周期性
题型十一：类周期函数
题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
题型十三：函数性质的综合

【典例例题】
题型一：函数的单调性及其应用
例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（       ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件可得当ab时，f(a)>f(b)，从而可判断.
【详解】
由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由条件得到函数是单增的，然后把函数值的大小比较转化为自变量大小比较，即可解得解集.
【详解】
不妨设，因为，
所以，
故是上的增函数，原不等式等价于，解得．
故选：B.
例3．（2022·全国·高三专题练习）的单调增区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出二次函数图象的对称轴即得解.
【详解】
由题得二次函数的图象的对称轴为，因为抛物线开口向上，
所以函数的单调增区间为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查二次函数的单调区间的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）在R上是增函数，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；
（2）利用函数的单调性及对数函数的单调性即解.
【详解】
（1），则函数是奇函数，
则当时，设，
则
，
，
，即，，
则，即，
则在，上是增函数，
是上的奇函数，
在上是增函数.
（2）在上是增函数，
不等式等价为不等式，
即.
即不等式的解集为.
例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据单调性的定义分类讨论．
【详解】
任取、，且，，则：
，
当时，，即，函数在上单调递减；
当时，，即，函数在上单调递增.

【方法技巧与总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．

题型二：复合函数单调性的判断
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出定义域，再求出内层函数在定义域内的单调区间，然后由复合函数“同增异减”判断单调性的方法可得答案
【详解】
令，解得，
令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是
故选：C
例7．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性的判断方法判断原函数的单调递减区间.
【详解】
令，．由，得．
因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数，
所以函数的单调减区间是．
故选：C.
【点睛】
本题考查复合函数单调区间的求解，较简单，解答时注意不要忽略原函数的定义域.
例8．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．
【详解】
设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
因为函数在定义域上为减函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．
【方法技巧与总结】
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1．若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
2．若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：



增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．


题型三：利用函数单调性求函数最值
例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递增且有界的函数，即，，．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．
①；②；③；④．
【答案】③④
【解析】
【分析】
根据定义考虑函数的单调性，且要是单调递增函数，也可考虑函数的值域.
【详解】
对于①，无界，不符合题意；
对于②，不单调，不符合题意；
对于③，单调递增，且，则，符合题意；
对于④，单调递增，且，则，符合题意．
故答案为：③④
例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，且．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
（3）求函数在上的最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）在单调递减；（3）最大值，最小值.
【解析】
（1）令，代入计算；（2）利用函数单调性的定义证明，设，令，，则可判断，即可判断出函数在单调递减；（3）根据，令，代入计算，令，，计算，再根据函数单调递减，直接写出最大值与最小值.
【详解】
解：（1）令，
．
（2）在单调递减
设，令，，则，所以，
得
即对任意，若，则，在单调递减．
（3）因为，令，
令，，，
因为函数单调递减，所以
．
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若，求时函数的值域.
【答案】（1）当时，函数在区间上是单调减函数；当时，函数在区间上是单调增函数，证明过程见解析；（2）
【解析】
（1）运用单调性的定义进行分类讨论进行判断证明即可；
（2）根据求出的值，结合（1）中的结论进行求解即可.
【详解】
解：（1）当时，函数在区间上是单调减函数；当时，函数在区间上是单调增函数.
当时，证明如下：
任取，
则.
因为，
所以，得，故函数在上是单调减函数；
同理可证：当时，函数在上是单调增函数.
（2）由.
由（1）得在上是减函数，
从而函数在上也是减函数，
其最小值为，
最大值为.
由此可得，函数在上的值域为.
例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知，函数的定义域为I，若存在，使得在上的值域为，我们就说是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（       ）
①；②；③；④.
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据新定义，确定函数的单调性，由（增函数）或有解（），不易求解时可根据函数图象的交点个数判断．确定结论．
【详解】
①中，假设是“类方函数”，因为单调递减，所以，即，又，方程无解，①不符合；
②中，假设是“类方函数”，因为，所以，所以，所以在上单调递增，所以，即，又，所以，②符合；
③中，假设是“类方函数”，易知在上单调递增，且，所以，且，所以，又，解得，③符合；
④中，假设是“类方函数”，易知在R上单调递减，且，所以，且
所以，即即方程有两个正数解，由与的图象可知两图象有一个公共点，④不符合.

故选：C.

【方法技巧与总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1．如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2．如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4．若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
5．若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
题型四：利用函数单调性求参数的范围
例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“”是“函数是在上的单调函数”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据的在区间上的单调性求得的取值范围，结合充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
依题意，函数是在上的单调函数，
由于在上递增，所以在上递增，
所以且，即.
所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件.
故选：B
例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据增函数的定义可知函数在上单调递增，利用分段函数的单调性求出的取值范围；根据函数零点个数与函数图象交点个数之间的关系，利用导数的几何意义和数形结合的数学思想即可求得结果.
【详解】
因为R，有，即，
即与同号，所以在R上单调递增，
即在上单调递增，则，故；
因为在处的切线方程为，即，
又，所以与没有公共点，
若函数仅有一个零点，
所以函数与图象仅有一个交点，
则与有且仅有1个公共点，且为，
所以在处的切线的斜率k大于等于1，
而，得，
即，解得，
综上，的取值范围为.

故选：C.
例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（       ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【答案】A
【解析】
【分析】
由对称轴与1比大小，确定实数a的取值范围.
【详解】
对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以.
故选：A
例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据的开口方向，确定分段函数在在上的单调递增，再根据分段函数在上的单调
所要满足的条件列出不等关系，求出的取值范围.
【详解】
因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值不可能是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题可根据函数的单调性以及复合函数单调性的判定得出结果.
【详解】
当且时，函数单调递减，
则要使在区间上单调递增，
需要满足，解得，
结合选项易知，只有不满足，
故选：D.
例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
转化原函数为，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解
【详解】
函数，定义域为，
又，
因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，
因此，解得.
故答案为：
例19．（2022·全国·高三专题练习）如果 ，则的取值范围是___________．
【答案】．
【解析】
【分析】
先根据不等式的形式构造新函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性解不等式即可
【详解】
解：由已知得
令 ，则 对任意恒成立，于是在上单调减．
即
由在上单调递减得 ，解得
所以的取值范围是．
故答案为：
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，当时，，且.
（1）求的值，并判断的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；在上为增函数；（2）.
【解析】
（1）利用赋值法求出的值，利用函数的单调性定义判断的单调性即可；（2）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合常变量分离法、
配方法进行求解即可.
【详解】
（1）令，得，得，
令，得，得；
设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以
，
因为，所以，所以，
因此
即在上为增函数；
（2）因为，即，即，
又，所以，
又因为在上为增函数，所以在上恒成立；
得在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，当时，取最小值，所以；
即时满足题意.
【方法技巧与总结】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1.若在上恒成立在上的最大值．
2.若在上恒成立在上的最小值．
题型五：基本初等函数的单调性
例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上单调递减的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据选项的函数性质，逐一判断即可
【详解】
A：由二次函数性质知，图象开口向上，且在上单调递减，在上单调递增，故A错误﹔
B：根据指数函数的单调性知，函数在上单调递增，将图象向右平移1个单位长度得出的图象，其在上单调递增，故B错误；
C：由幂函数的单调性知在上单调递增，其在上单调递增，故C错误；
D：根据余弦函数的单调性知，在上单调递减，当时，，又，所以在上单调递减，故D正确.
故选：D.
例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是且为增函数的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.
【详解】
对于，，是上的减函数，不合题意；
对于，是定义域是且为增函数，符合题意；
对于，，定义域是，不合题意；
对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据已知不等式可以判断出函数的单调性，再结合奇函数的性质进行判断即可.
【详解】
当时，由，
当时，由，因此函数是单调递增函数，
因为是奇函数，所以，因此当时，有，
当时，有，
因为是奇函数，所以有，
因为，所以，即，因此.
故选：B
例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（       ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性与单调性判断大小.
【详解】
由题意可知，函数为偶函数，且在上单调递增，又，，，所以，故．
故选：D


【方法技巧与总结】
1. 比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.
2. 求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).
3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数，则（       ）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得；
【详解】
解：定义域为，且，
所以为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；
故选：B
例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可得结果.
【详解】
是奇函数，但整个定义域内不是减函数，故A错误；
在定义域（0，+∞）上是减函数，但不是奇函数，故B错误；
在R上既是奇函数又是减函数，故C正确；
在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误.
故选：C.
例27．（2022·广东·二模）存在函数使得对于都有，则函数可能为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出必为偶函数.对四个选项中的函数的奇偶性一一判断，即可得到答案.
【详解】
因为对于都有，且为偶函数，
所以必为偶函数.
对于A：为奇函数.故A错误；
对于B：为非奇非偶函数.故B错误；
对于C：对于.定义域为R.因为，所以为奇函数.故C错误；
对于D：对于.定义域为R.因为，所以为偶函数.故D正确；
故选：D
例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1)；
（3）f(x)＝.
（4）f(x)＝
【答案】（1）既是奇函数，又是偶函数；（2）既不是奇函数，也不是偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数．
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性，首先判断函数的定义域，得到函数，再结合奇偶函数的定义，即可判断.
【详解】
（1）由得x＝±3.
∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.
即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
（2）由得－1 ∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称．
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
（3）由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．此时，有f(x)＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
（4）当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）在上单调递增，证明见解析.
【解析】
（1）取结合得出，再由证明函数的奇偶性；
（2）由奇偶性得出，再由函数单调性的定义结合证明函数在上的单调性.
【详解】
解：（1）依题意，.
∴
∴，
又因为的定义域为，所以函数为偶函数.
（2）由④知，
，


∵，，，∴，
∴
即在上单调递增.
【点睛】
关键点睛：在证明奇偶性时关键是利用求出，再由定义证明函数为偶函数；在证明单调性时，关键是由，结合，证明在上单调递增.

【方法技巧与总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.
题型七：已知函数的奇偶性求参数
例30．（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由为奇函数可得，代入相应解析式解方程即可.
【详解】
易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.
故选：C.
例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数是偶函数，则（       ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知，根据函数的解析式，写出的解析式，然后根据函数为偶函数，借助，列出等量关系，化简即可求解参数.
【详解】
由已知，，所以，
函数为偶函数，所以，所以，整理得：，所以.
故选：C.
例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（       ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得，计算可得，经检验均符合题意，即可得解.
【详解】
由为奇函数，
所以，
所以，可得，
解得，
当时，的定义域为，符合题意，
当时，的定义域为符合题意，
故选：D
例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数为偶函数，则的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用偶函数的定义化简变形即可.
【详解】
因为函数为偶函数，所以，
则有=，得，则有.
故答案为：.
例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数为奇函数，则______．
【答案】2或
【解析】
【分析】
根据条件，由，求出的值，再检验即可.
【详解】
函数为奇函数，其定义域为
由，解得或
当时，，则，满足条件.
当时，，则，满足条件.
故答案为：2或
例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数为偶函数，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】
由偶函数的性质，即可求参数.
【详解】
由题设，，
所以.
故答案为：1
例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数为R
上的偶函数，则实数___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由偶函数的性质求解
【详解】
由偶函数得，
即对恒成立
整理得，故
故答案为：1

【方法技巧与总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设为奇函数，且时，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质即可求．
【详解】
由题可知，．
故答案为：．
例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求导后，代入可得，由此可得时，；根据奇偶性可求得时，
的解析式，求导后代入即可得到切线斜率.
【详解】
当时，，，解得：，
当时，；
当时，，，
又为偶函数，，即时，，
则，.
故选：A.
例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为(       )
A．1 B．8 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知f(0)＝0可求m的值，根据x≤0时的解析式，结合f(x)是奇函数可求x＞0时f(x)的解析式，判断f(x)在[1，2]上单调性即可求其最大值.
【详解】
∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又∵，，∴，
∴时，，
设，则，则，
则，
即当x＞0时，，∴f(x)在上单调递减，∴f(x)在上的最大值为.
故选：C.
例40．（2022·江西·模拟预测（理））分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（       ）
A． B．在上单调递减
C．关于直线对称 D．的最小值为1
【答案】B
【解析】
【分析】
通过题目信息求出的解析式，然后利用函数性质进行判断
【详解】
由题，将代入得，因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得.
对于A：，故A正确；
对于B：，所以不可能单调递减，故B错误；
对于C：根据偶函数定义可得，所以为偶函数，表示向右平移1101个单位，故关于对称，故C正确；
对于D：根据基本不等式，当且仅当时取等，故D正确；
故选：B
例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质进行求解即可.
【详解】
当时，则，因为是奇函数，
所以.
故选：D
例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.
(1)求和的值；
(2)求在上的解析式.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由奇偶性和，取x=1可得；
（2）取，利用，代入解析式结合奇偶性可解.
(1)
满足，
，
.
(2)
由题意知，.当时，.
由是奇函数，
，
综上，在上，
例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.
【答案】，
【解析】
【分析】
由、列方程组，解方程组求得.
【详解】
依题意，函数是奇函数，是偶函数，

解得，.

【方法技巧与总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式.
题型九：已知奇函数+M
例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知（a，b为实数），，则______．
【答案】-2014
【解析】
【分析】
先化简得到，再利用函数奇偶性进行求解.
【详解】
，
因为为奇函数，
所以，
其中，
所以，
解得：
故答案为：-2014
例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数，且，则（       ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据定义判断函数的奇偶性，根据奇函数的性质可得，结合已知条件可求
.
【详解】
设，因为，
所以为奇函数，
因为，
所以，
则．
故选：D.
例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】
利用已知条件可得，则为奇函数，构造即可知为奇函数，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和为0，即可求最大、最小值的和.
【详解】
由题设，且，
∴，则，
∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：由题设求出，构造奇函数，根据区间内存在最值可知，进而求最值的和.
例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数的最大值和最小值分别为、
，则函数图像的对称中心不可能是_______
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，可得为奇函数，进而得到，从而得到解析式；根据的对称中心，平移可得对称中心的坐标；再分别对应四个选项，当不是整数时，则不可能为对称中心，由此可得选项.
【详解】
设，则
即为奇函数

令
则，
可知的对称中心为
将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得的图象
的对称中心为
当时，，不合题意，可知不可能为
又当时分别对应选项，可知均为的对称中心
本题正确选项：
例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为
所以
因为函数 为奇函数，所以它在区间上的最大值、最小值之和为0，
也即，
所以
例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据为上的奇函数，其图象关于原点对称，得到关于点对称，即可求解.
【详解】
由题意，函数为上的奇函数，其图象关于原点对称，
又由函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以函数关于点对称，所以.
故选：C.
例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】
先化简，然后分析的奇偶性，将的最大值和小值之和转化为和有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出的取值范围.
【详解】
，
令，定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数，∴，
∴，
，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：.
例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.
【答案】-3
【分析】
先确定，否则没有最大值和最小值，再由为奇函数，利用条件，即可得出结论．
【详解】
解：，
有最大值和最小值，则，否则没有最大或最小值，
于是，
设的最大值为，最小值为，则，令，则，故为奇函数；
即是奇函数，
，即，．
．
故答案为：．

【方法技巧与总结】
已知奇函数+M，，则
（1）
（2）
题型十：函数的对称性与周期性
例52．（2022·天津三中二模）设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（       ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【答案】C
【解析】
【分析】
令函数，得出函数为奇函数，其图象关于原点对称，进而求得函数的图象关于点中心对称，得到当时，再结合倒序相加法，即可求解.
【详解】
令函数，则，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，
可得的图象关于点中心对称，
即当，可得，
设
，
所以

所以.
故选：C.
例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（       ）
A．是偶函数 B．的图象关于直线对称
C．是奇函数 D．的图象关于点对称
【答案】C
【解析】
【分析】
由周期函数的概念易知函数的周期为2，根据图象平移可得的图象关于点对称，进而可得奇偶性.
【详解】
由可得2是函数的周期，
因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
所以，，所以是奇函数，
故选：C.
例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（       ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
通过已知条件，判断函数的奇偶性、周期性，利用函数图象的性质进行求解.
【详解】
因为函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数；
因为对任意，都有，令，得，又函数为奇函数，故，解得，则，即，所以4是函数的一个周期；
所以.
故选：C.
例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R上的偶函数满足，且当时，
，则下面结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的奇偶性，单调性以及周期性，可将三个函数值 转化到区间中，根据在的单调性即可比较函数值的大小.
【详解】
，

时，单调递增；
，
，单调递增；




，，
综上所述，
.
故选：A.
例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用赋值法求出，代入等式赋值得到，即对称轴为，再根据函数图象的平移规律判断函数为奇函数，进一步求得函数周期，进而得到，则可求出结果.
【详解】
因为对任意，都有
令 得 解得
则 即
所以函数的图象关于直线对称.
又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，
即函数为奇函数，所以
所以 所以8是函数的一个周期，
所以
故选：D.
例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可求得函数的周期为3，结合函数为奇函数可得即可求解.
【详解】
因为，所以，因此函数的周期为，
所以，
又函数是上的奇函数，所以，
所以，即，
所以原式，
又当时，，可得，因此原式.
故选：B．
例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（       ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意可得，从而得到，即可是以为周期的周期函数，再根据及周期性计算可得；
【详解】
解：因为是定义在R上的奇函数，又为偶函数，
所以、且，
则，即，
所以，即是以为周期的周期函数，
由，
所以，
，
，
所以；
故选：C
例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（       ）
A．-20 B．-16 C．-15 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，由，求得，再利用导数法求解.
【详解】
解：因为函数满足：对，都有，
所以，即，
解得，
所以，
则，
，
，
当或时，，
当时，，
所以的最小值为，
故选：B
例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由①②可得函数是周期为4的函数，且是奇函数，由③可得函数在上单调递增，进而可得函数在上单调递增，从而利用周期性和单调性即可求解.
【详解】
解：由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以，
所以，所以函数的图象关于对称，
又，所以，即，
因为，所以函数是周期为4的函数，
所以，，，
因为，且，所以，
所以函数为奇函数，
又因为对任意的，，，都有成立，即，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
故选：B.
例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数满足，且函数与的图象的交点为， ，，，则（       ）
A．－4π B．－2π C．2π D．4π
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得出函数与的图像的交点关于点对称，从而可得出答案.
【详解】
函数满足，则的图像关于点 成中心对称.
又的图像关于点 成中心对称
所以函数与的图像的交点关于点对称.
则，
所以
故选：B

【方法技巧与总结】
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
题型十一：类周期函数
例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为的函数满足，当时，
，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先将不等式转化为函数最值问题，再根据函数解析式以及单调性求对应函数最值，最后解不等式得结果.
【详解】
因为当时，不等式恒成立，所以，
当时，

当时，，当时， ，因此当时，，选B.
【点睛】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是(　　 )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意首先得得到函数的具体表达式，由，所以，所以，再由可得出f（x）的表达式，在根据函数思维求出f（x）最小值解不等式即可.
【详解】
因为，所以，
因为时，，
所以，
因为函数满足，
所以，
所以，，
又因为，恒成立，
故，
解不等式可得或.
【点睛】
考查函数的解析求法，解本题关键就是要能合理的运用已知条件将变量的范围变化到已知表达式范围中，然后根据函数的最值思维即可得出结论.
例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：当时，，又，因此当时，函数，从而，选C.
考点：分段函数性质，不等式恒成立
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数，其中，给出以下关于函数
的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
由题可画函数图象，结合图象可解.
【详解】
当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图：

∵，故①正确；
由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确；
当时有无数个实数根，故③错误；
当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故④正确，
故选：C

【方法技巧与总结】
1.类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．

类周期函数图象倍增函数图象
2.倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
注意当时，构成一系列平行的分段函数，．
题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
例66．（2022·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，由题意得到为偶函数且在上单调递减，由将原不等式转化为和，函数的单调性解不等式即可.
【详解】
由，得，
因为，所以，
即，设，
则在上单调递减，
而，
则，解得：；
因为为R上的奇函数，所以，
则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，
则，解得：；
综上，原不等式的解集为.
故选：B.
例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件可得在上单调递增，，，从而可根据函数的单调性比较大小
【详解】
由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知
，.
由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，
所以，
所以.
故选：C
例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（       ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
令，由已知可得函数与的图象在区间上关于直线对称，利用对称性即可求解.
【详解】
解：因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，
所以函数是周期为2的函数，
又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：

由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，
故选：A.
例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性.
【答案】（1）1；（2）偶函数，证明见解析.
【解析】
（1）令，代入，可得答案；
（2）由（1）知，且，得出
，利用偶函数的定义判断可得函数的奇偶性．
【详解】
（1）依题意，.
（2）由（1）知，
∴，即，
∴，
又因为的定义域为，
所以函数为偶函数.
例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②当x∈(－1，0)时，有f(x)>0．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
根据f(x)+f(y)=f()中的x，y，采用赋值法论证f(x)在x∈(－1，1)上是奇函数，再利用函数单调性定义论证f(x)在 (－1，0)上是单调递减函数，再根据奇函数得到f(x)在x∈(0，1)上是递减函数，且f(x)＜0，然后由，利用裂项相消法求解.
【详解】
证明：对f(x)+f(y)=f()中的x，y，令x=y=0，得f(0)=0，
再令y=－x，又得f(x)+f(－x)=f(0)=0，即f(－x)=－f(x)，
∴f(x)在x∈(－1，1)上是奇函数.
设－1＜x1＜x2＜0，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f()，
∵－1＜x1＜x2＜0，∴x1－x2＜0，1－x1x2>0.
∴＜0，又，
所以，
所以由②知f()>0，从而f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在x∈(－1，0)上是单调递减函数，根据奇函数的图像关于原点对称，
知f(x)在x∈(0，1)上仍是递减函数，且f(x)＜0，
，
，
，


时，，
，故原不等式成立.
【点睛】
方法点睛：本题解决的关键是将变形为，利用裂项相消法求和，再结合x∈(0，1)时，f(x)＜0问题得解.

【方法技巧与总结】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若，则(正比例函数)
(2)若，则(指数函数)
(3)若，则(对数函数)
(4)若，则(幂函数)
(5)若，则(一次函数)
(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.
题型十三：函数性质的综合
例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数，则关于t的不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数解析式判断函数关于点成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求解即可.
【详解】
，
图象关于点成中心对称，
又的定义域为，
由在上单调递增知，
在上递增，
，，
即，
，解得，又，解得，
所以.
故选：C
例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】
由的性质知：在上递减且，结合题设不等式可得求的范围，即可知最小值.
【详解】
由题设，在上递减，由偶函数知：，
∴，即，
∴，则，得.
故的最小值是.
故选：C
例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解不等式.
【详解】
∵
∴
又 ，
∴ 函数为奇函数，
又，且仅时，
∴ 函数在R上为增函数，
∴ 函数为R上的增函数，
不等式可化为，
∴
∴
∴ 或，
∴ 实数的取值范围是，
故选：D.
例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数，利用函数的奇偶性定义判定该函数为奇函数，再利用基本不等式、导函数的符号判定该函数为单调递增函数，再综合利用奇偶性和单调性进行求解.
【详解】
令，
则
，
即函数为上的奇函数，
又
，
函数为上的增函数，
又，
，
则，
，
所以，
即
解得或，
即实数的取值范围是或．
故选：A．
例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，进而可得答案.
【详解】
当时，单调递减，，
当时，单调递减，，
故在上单调递减，
由，得的对称轴为，
若对任意的，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
，
即，
即，

故实数的最大值为.
故选：C.
例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．
【详解】
解：∵当x≥0时，f（x）＝x2，
∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增，
当当x<0时，f（x）＝x2，
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，
∵2f（x）＝f（x），
∴f（x+a）≥f（x）恒成立，
则x+a恒成立，
即a≥﹣x恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（）max（a+2），
即a（a+2），
解得a，
即实数a的取值范围是故答案为．
故选：
例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断为上的增函数且，利用这两个性质可得关于不等式，利用判别式可求参数的取值范围，注意分类讨论.
【详解】
的定义域为，
，故，
，
因为（当且仅当等号成立），
（当且仅当等号成立），
故，所以为上的增函数，
故可转化为：，
即转化为：，
所以对任意的恒成立，
故对任意的恒成立，
当时，恒成立，故符号，
当时，，故，
当时，的图象为开口向上的抛物线，
故对任意不恒成立，舍，
故，
故选：C.
例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若有解，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
函数为奇函数，且在R上单调递增有解得解
【详解】
解：因为的定义域为R，，所以函数为奇函数，
因为，所以函数在R上单调递增.
因为有解，即有解，
所以有解，由函数在R上单调递增，可得有解.
解法一：令，则.
①当时，，函数在R上单调递增，，符合题意；
②当时，，不符合题意；
③当时，令，得；当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此，，
解得.综上，实数的取值范围为.
解法二：若，则有解. 令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以
，故，即.
若，则有解，易知恒小于零，
所以，即.若，则，不符合题意.综上，实数的取值范围为.
解法三：若，如图，在同一平面直角坐标系内作出与的图象，
当直线与函数的图象相切时，设切点为，则切线方程为，再结合切线过原点得，故，
由有解，得函数的部分图象在直线的下方，
所以，数形结合可知.
若，易知函数的图象必有一部分在直线的下方，符合题意.
若，由函数的单调性可知，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.

故选：D
例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数(e为自然对数的底数)，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．[1，+∞) C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，利用函数的性质解不等式可得.
【详解】
因为，
所以，
所以时，，函数在上为单调递增，
时，，函数在上为单调递减，
又，
所以函数为偶函数，所以，
所以可化为，
所以，
所以，
所以，
故实数a的取值范围是，
故选：C.

【方法技巧与总结】
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.

【过关测试】
一、单选题
1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可得结果.
【详解】
是奇函数，但整个定义域内不是减函数，故A错误；
在定义域（0，+∞）上是减函数，但不是奇函数，故B错误；
在R上既是奇函数又是减函数，故C正确；
在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误.
故选：C.
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
不等式同构变形，然后构造函数，由导数确定单调性，由单调性确定结论．
【详解】
设，，，当时，恒成立，
所以在上是增函数，
原不等式变形为，即，所以．
故选：B．
3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，所以在上单调递减，
则等价于，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R上的奇函数在时满足，且在有解，则实数m的最大值为（       ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
化简，得到在上单调递增，再化简得到，把不等式转化为，得到在有解，结合，即可求解.
【详解】
当时，函数，
可得函数在上单调递增，
因为，所以，
所以，所以，
即在有解，
又由当时，，所以，
所以实数最大值为.
故选：D.
5．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(       )
A．0 B．10 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，f(x)和g(x)在上单调性相同，g(x)时奇函数，可得g(x)在，据此可求M＋m，从而求出.
【详解】
令，则，
∴f(x)和g(x)在上单调性相同，
∴设g(x)在上有最大值，有最小值.
∵，
∴，
∴g(x)在上为奇函数，∴，
∴，∴，
.
故选：C.
6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知为奇函数，且当时，则曲线在点处的切线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出时函数解析式，再求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；
【详解】
解：当时，，则，
所以，又，故切线方程为，即.
故选：A
7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数的图象关于原点对称，且，当时，，则（       ）
A．-11 B．-8 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的对称性和周期性以及对数的运算性质计算化简可得，结合题意计算即可.
【详解】
因为函数图象关于原点对称，
所以，
由知，函数是以4为周期的函数，
又当时，，
则

.
故选：A.
8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意将问题转化为与函数的图象有两个交点，即有两个根，根据图象得到答案.
【详解】
依题意，函数关于原点对称的图象与函数
的图象有两个交点，即方程有两个根，
即：，令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又在出的切线方程为，如图，

由图可知，要使方程有两个根，则或.
故选：B.
二、多选题
9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数的性质，说法正确的是（       ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】
由，可知由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，根据的性质得到的性质，即可判断；
【详解】
解：
由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为关于对称，所以关于对称，故D正确；
函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；
函数在和上单调递减，故C错误；
故选：AD
10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（       ）
A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减
C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】
由条件结合周期函数的定义证明函数为周期函数，再根据奇偶性，周期性，单调性判断B，C，并由零点的定义判断D.
【详解】
因为，取，得，故，又是偶函数，所以，所以，
故，即的一个周期为12，故A项错误；
又在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，由周期性可知，在区间上单调递减，故B项正确；
因为是偶函数，所以的图像关于y轴对称，由周期性可知的图像关于直线对称，故C项正确；
因为在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，，由周期性可知，在区间上，，而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，又，所以在区间上有337个零点，由为偶函数，可知在区间上有674个零点，故D项错误．
故选：BC项．
11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（       ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于点对称 D．
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
由，得到，
得出是周期为4的周期函数.根据函数的图象变换，
得到函数的关于对称，得出函数为偶函数.
结合，根据.
进而求得，得到函数关于中心对称，
结合函数的单调性和周期性，进而得出.
【详解】
对于选项A：由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，
可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以A正确；
对于选项B：
由函数对任意都有，可得，
所以函数是周期为4的周期函数，
因为，可得，
则，所以B正确；
又因为函数为偶函数，即，所以，
可得，所以函数关于中心对称，所以C正确；
由对任意的，且，都有，
可得函数在区间上为单调递增函数，
又因为函数为偶函数，故函数在区间上为单调递减函数，故，所以D正确.
故选：ABCD
12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数，，，则（       ）
A．的图象关于对称
B．的图象没有对称中心
C．对任意的，的最大值与最小值之和为
D．若，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据函数的对称性直接可判断ABC，再结合函数的单调性解不等式，可判断D.
【详解】
由题意知的定义域为，因为，所以的图象关于对称，故A正确；
因为的定义域为，且，所以的图象关于对称，故B不正确；
因为，所以的图象关于对称，所以对任意的，最
大值与最小值之和为，故C正确；
由，得，又在上单调递减，且，所以或，解得或，故D正确，
故选：ACD.
三、填空题
13．（2022·山东临沂·二模）已知函数是偶函数，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
求出f(x)定义域，根据f(x)是偶函数，可取定义域内任意x，根据f(-x)=f(x)即可求得m的值．
【详解】
由得的定义域为，
则∵是偶函数，故f(-1)=f(1)，
即，解得m=2．
此时，而，
故确为偶函数，故m=2．
故答案为：2．
14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数在上的最小值为1，则的值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】
分，讨论，利用函数的单调性求最值即得.
【详解】
由题意得，
当时，在上单调递减，
∴的最小值为，，
所以不成立；
当时，，在单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，符合题意.
故.
故答案为：1.
15．（2022·广东佛山·三模）已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得a的值，再利用函数单调性把不等式转化为，解之即可求得的取值范围.
【详解】
定义在R上函数的图象关于原点对称，
则，解之得，经检验符合题意
均为R上增函数，则为R上增函数，
又，
则不等式等价于，解之得
故答案为：
16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域上的任意x，恒有；（2）对于定义域上的任意，当，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”，下列①，②，③，④四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）
【答案】④
【解析】
【分析】
由“理想函数”的定义可知：若f（x）是“理想函数”，则f（x）为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数―—判断即可.
【详解】
若是“理想函数”，则满足以下两条：
①对于定义域上的任意，恒有，即，则函数是奇函数；
②对于定义域上的任意，当时，
恒有，即，
时，，或时，，
即函数是单调递减函数．
故为定义域上的单调递减的奇函数．
①在定义域为上的奇函数，但不是减函数，所以不是“理想函数”；
②，定义域为，
单调递增，所以不是“理想函数”；
③在定义域的增函数，所以不是“理想函数”；
④，在定义域上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”．

故答案为：④.
四、解答题
17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a∈R，函数；
(1)求a的值，使得f（x）为奇函数；
(2)若对任意x∈R成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由奇函数性质可得a的值，然后验证奇偶性可得；
（2）将恒成立问题转化为函数最值问题，通过分类讨论可解.
(1)
因为为奇函数，所以，可得
因为，
所以时为奇函数，所以
(2)

当时， 恒成立，
，，
当时， 恒成立，所以
当时， 恒成立，，显然不满足题意.
综上所述，
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）先由函数的奇偶性得到b=0，然后由求解；
（2）利用函数单调性定义证明；
（3）将，转化为，利用单调性求解.
(1)
解：因为函数，恒成立，
所以，则，
此时，所以，
解得，
所以；
(2)
证明：设，
则，
，
，且，则，
则，即，
所以函数是增函数．
(3)
，
，
是定义在上的增函数，
，得，
所以不等式的解集为．
19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
【答案】(1)2；
(2)单调递增，证明见解析；
(3).
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数定义直接计算作答.
（2）求出a值，再利用函数单调性定义证明作答.
（3）把给定不等式等价变形，再利用函数单调性求出最小值，列式计算作答.
(1)
因是定义域为的奇函数，
则，而，解得，
所以的值是2.
(2)
由（1）得，是定义域为的奇函数，
而，则，即，又，解得，
则函数在上单调递增，
，，，
因，则，，于是得，即，
所以函数在定义域上单调递增.
(3)
当时，，
，
，而函数在上单调递增，，
于是得，令，函数在上单调递减，
当，即时，，因此，，解得，
所以的范围是.
【点睛】
关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为的奇函数与偶函数满足．
(1)求函数与的解析式；
(2)证明：；
(3)试用，，，表示与．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)，
【解析】
【分析】
（1）由题意可得：，再根据函数的奇偶性可得：，进而结合两个式子求出两个函数的解析式．
（2）由（1）可得的表达式，再利用基本不等式把进行化简整理即可得到答案．
（3）由（1）可得、、、、与的表达式与结构特征，进而可求
(1)
解：①
，
为奇函数，为偶函数
，
②
由①，②解得，．
(2)
解：

，当且仅当，即时取等号；
所以
(3)
解：，．







．

即，；
21．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数，对任意，满足下列条件：①     ②
（1）是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由.
（2）证明：为奇函数；
【答案】（1）存在，；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用待定系数法，设出一次函数，代入①即可得，再代入②可得解析式；（2）首先令，计算出，然后令，即可得，得证.
【详解】
解析：假设存在一次函数，设
则，     
，所以，.
，故满足条件的一次函数为：
（2）定义在上的函数对任意的，   
都有成立，
令，则，得
令，则   
所以，即，于是
∴为奇函数.
【点睛】
方法点睛：一般常见的求函数解析式常用方法有以下三种，
（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法；
（2）换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
（3）方程法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出．
22．（2022·上海·二模）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
(1)已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
(2)设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；
(3)若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）根据题意，得到，利用三角恒等变换化简，得，得到存在满足，即可作出判断；
（2）利用为“类函数”，得出，令，得到方程在有解可保证为“类函数”，分离参数即可求解；
（3）由为其定义域上的“类函数”，得到存在存在实数，满足，根据分段函数的解析式，结合函数单调性，分类讨论即可求解.
(1)
由题意，函数在定义域内存在实数，满足，
可得，即，       
化简整理，得，解得，
所以存在满足
所以函数是“M类函数”；
(2)
当时，
可化为，
令，则，
所以方程在有解可保证是“类函数”，
即在)有解可保证是“类函数”，
设在为单调递增函数，
所以当时，取得最小值为
即，解得.
所以实数的取值范围为；
(3)
由在上恒成立，
转化为在上恒成立，即
所以.
因为为其定义域上的“类函数”，
所以存在实数使得，
当时，则，所以，所以，
即在)有解可保证是“类函数”
设在为单调递增函数，
，即，解得；
当时，，此时，不成立；
当时，则，所以，所以，
即在)有解可保证是“类函数”
设在为单调递减函数，
，即，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
解决本题的关键准确理解函数的新定义“类函数”的含义，然后将问题转化为有解问题，结合函数的单调性即可求解.