高中数学（人教A版）高三一轮复习专题 1-2.2 函数的性质(周期性，对称性及性质综合)（解析版）

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函数的周期性
周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
周期性常见结论：
设函数y=fx，x∈R，a>0.
①若f(x+a)=f(x−a)，则函数的周期T=2a；
②若f(x+a)=−fx，则函数的周期T=2a；
③若f(x+a)=1f(x)，则函数的周期T=2a；
④若f(x+a)=−1f(x)，则函数的周期T=2a；
⑤f(x+a)=f(x+b)，则函数的周期T=|a−b|
函数的对称性
轴对称：
①函数fx对于定义域内任意实数x满足fa+x=fb−x，则函数fx关于直线x=a+b2对称，特别地当fx=f2a−x时，函数fx关于直线x=a对称；
②如果函数y=fx满足fa+x=fa−x，则函数y=fx的图象关于直线x=a对称.
③y=f(a−x)与y=(x−b)关于直线x=a+b2对称.
若函数f(x)关于直线(a,0)对称，则
①f(a+x)=−f(a−x)
②f(x)=−f(2a−x)
③f(−x)=−f(2a+x)
若函数f(x)关于直线(a,b)对称，则
①f(a+x)=−f(a−x)+2b
②f(x)=−f(2a−x)+2b
③f(−x)=−f(2a+x)+2b
函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
题型专练
题型一 函数的周期性
1.1 （2024·广东广州·二模）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据题意分析可知为偶函数，结合偶函数可得，进而可知6为的周期，赋值可知，结合周期性运算求解.
【详解】由题意可知：函数的定义域为R，
因为，则，
可得，所以为偶函数，
由可得，
即，整理得，
可得，
则，可得，
所以6为的周期，
由，
令，可得，可得；
令，可得，可得；
所以．
故选：A．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
1.2 （2024·黑龙江吉林·二模）已知偶函数满足，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由偶函数满足，可得函数是以为周期的周期函数，再根据函数的周期性求解即可.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
又，所以，即，
所以函数是以为周期的周期函数，
因为，
所以
.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
1.3 （2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ）
A．-1B．0C．1012D．2024
【答案】B
【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可.
【详解】由，即的一个周期为4，
由为偶函数可知关于轴对称，即，
又可知，
所以，
显然，
所以.
故选：B
1.4 （23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】借助抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性即可解答.
【详解】因为关于对称，有，
令，则，的图象关于对称.
由为偶函数，得，则的图象于对称，
因为，
所以，
即，则的图象关于对称.
所以，又，
所以，所以，
所以，所以为的一个周期，
因为图象关于对称，所以，
故，
所以由，得.
故选：C.
题型二 函数的对称性
2.1 （2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（ ）
A．的图象关于原点对称B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递增
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义判断A；根据函数的周期判断B；根据函数的对称轴判断C；根据复合函数的性质或切化弦判断D
【详解】由，得且，
因为，所以函数为奇函数，
所以的图象关于原点对称，所以选项A正确．
因为，
所以是函数的一个周期，
由选项A知点是函数的图象的对称中心，
则也是函数的图象的对称中心，所以选项B正确．
因为，
所以函数的图象关于直线对称，所以选项C正确．
方法一：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，
由复合函数的性质可知，函数在区间上单调递减，所以选项D错误．
方法二：因为，所以在区间上单调递减，
所以选项D错误．
故选：D．
2.2 （2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先推导出，即函数的对称中心为，再根据函数的平移只需将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，则该函数关于对称，即可判断.
【详解】因为定义域为，
则，所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，
该函数的对称中心为，故函数为奇函数.
故选：A.
2.3 （2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．0B．50C．2509D．2499
【答案】D
【分析】由图象的对称中心得图象的对称中心，由，构造函数，求出图象的对称性和周期，由求值即可.
【详解】因为的图象关于点对称，所以，
即，从而，
则的图象关于点对称．
由，可得．
令，得，则的图象关于直线对称．
，
则的图象关于点对称，则有，
所以，，
两式相减得，故是以4为周期的函数．
因为，，，，
所以．
故选：D.
【点睛】方法点睛：
关于函数图象对称性的几个结论：
1、函数满足(T为常数)的充要条件是的图象关于直线对称.
2、函数满足(T为常数)的充要条件是的图象关于直线对称.
3、函数满足的充要条件是图象关于直线对称.
4、若满足，则的图象关于原点对称.
5、若满足，则的图象关于点对称.
6、若满足，则的图象关于点对称.
2.4 （2024高一下·上海·专题练习）已知函数则下列描述中正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称
C．函数有最小值，无最大值D．函数的图象是两条射线
【答案】B
【分析】画出函数图象即可求解.
【详解】函数的图象如下图所示：
由图可得：函数的图象无对称轴，故A选项错误；
函数的图象关于点对称，故B选项正确；
函数有最小值，有最大值，故C选项错误；
函数的图象是两条射线和一条线段，故D选项错误.
故选：B．
题型三 函数性质综合应用
3.1 （湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题）已知函数对都有，若的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇函数C．是周期为4的周期函数D．
【答案】D
【分析】由图象的平移可得是偶函数，从而判断B；对都有，取，可求得，进而得到成立，从而判断C；再由已知可得在上单调递减，结合偶函数的性质及周期性，从而判断D，最后判断A.
【详解】对于B，因为函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，且定义域为，
故是偶函数，故B错误；
对于C，因为函数对都有，
所以取，可得，
又是偶函数，所以，从而可得，
则，故是周期为6的周期函数，故C错误；
对于D，因为是偶函数，且是周期为6的周期函数，
所以，
，
又对，当时，都有，
所以在上单调递减，则，
即，故D正确；
对于A，由在上单调递减，，可得，故A错误.
故选：D.
3.2 （2024·四川绵阳·模拟预测）定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论：
①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据可得函数对称轴，可判断①；根据可得函数周期，可判断③；根据，结合对称轴和周期可得对称中心，可判断②；根据周期性和对称性求出，进而可得判断④；根据周期性和对称中心可得奇偶性判断⑤.
【详解】由知直线为曲线的对称轴，①正确；
因为，所以
所以是周期为4的周期函数，③正确；
由为奇函数有，令得，则的图象关于点对称，
又直线为曲线的对称轴，以是周期为4的周期函数
则的对称中心为，②错误；
令，则，所以，在中，令，则.
于是，，，，则，所以，④正确；
因为的图象关于点对称，因为周期为4，
所以，所以为奇函数，⑤错误.
故选：C.
【点睛】方法点睛：
一是若函数是偶函数，则函数关于直线对称；若函数是奇函数，则函数关于点中心对称；
二是若对任意都有，则是以为周期的函数；若对任意都有，则也是以为周期的函数.
3.3 （2024·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函数的图象向右平移1个单位长度，作出函数在上的图象，结合图象，即可求解.
【详解】因为函数是定义在R上周期为4的奇函数，且，
所以当时，；
当时，，所以；
当时，，所以，
函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位长度得到，
作出函数在上的图象，如图所示．
由图可知不等式在上的解集为．
故选：B．
3.4 （2024·重庆·模拟预测）已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．-1
【答案】A
【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果.
【详解】因为函数为偶函数，所以，函数的图象关于直线对称，
又函数为奇函数，所以，所以函数的图象关于对称，
所以，所以，即，
所以，则函数的一个周期为4，
令，则，所以，
令，，又，所以，
，
所以.
故选：A
3.5 （2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】C
【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断.
【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到，再利用等差数列数列的求和公式得到，从而得解.
3.6 （2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
【答案】D
【分析】令，或，分类讨论可求，判断A；法一：令，可得，进而可求，判断B；法二：令，可求，判断B；
法一：由B可得，可判断CD；法二 令，可得，判断CD.
【详解】 A：令，得，即，所以或．
当时，不恒成立，故，A错误．
B：解法一 令，得，又，所以，
故，B错误．
解法二 令，得，又，所以，B错误．
C：解法一 由B选项的解法一可知，则，所以为奇函数，C错误，D正确．
解法二 令，得，又，所以，
所以，结合选项得C错误，D正确．
综上可知，选D．
故选：D.