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高中人教A版 (2019)第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布优质学案
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这是一份高中人教A版 (2019)第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布优质学案，文件包含正态分布-讲义教师版docx、正态分布-讲义教师版pdf、正态分布-讲义学生版docx、正态分布-讲义学生版pdf等4份学案配套教学资源，其中学案共66页， 欢迎下载使用。
正态分布
一、 课堂目标
1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．
2．理解正态分布和标准正态分布的概念．
3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和 原则求随机变量在某一范围内的概率．
4．掌握正态分布的实际应用问题．
二、 知识讲解
现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个
区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
1. 正态曲线
知识精讲
（1）正态曲线的概念
如下图，对应的函数解析式为：，（其中实数 和
为参数）．
显然，对于任意的称
，
，它的图象在 轴的上方．我们称
为正态密度函数，称它的
图像为正态密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的性质
①曲线位于 轴上方，与 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在处达到峰值（最大值）；
④曲线与 轴之间的面积为 ；
⑤当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移，如图所示；
⑥当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．
经典例题
1. 关于正态曲线的性质：
①曲线关于直线对称，并且曲线在 轴上方；
②曲线关于 轴对称，且曲线的最高点的坐标是
；
③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；
④ 越大，曲线越“高瘦”； 越小，曲线越“矮胖”．
其中正确的是（ ）．
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①③
巩固练习
2. 如图是当 取三个不同值 ， ， 时的三种正态曲线，那么 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
2. 正态分布
知识精讲
（1）正态分布的概念
若随机变量 的概率分布密度函数为：，（其中实数 和
为参数），则称随机变量 服从正态分布，记为．
正态分布完全由参数 和 确定，其中参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计； 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
注意：
若，则．
若，如下图所示， 取值不超过 的概率为图中区域 的面积，而
为区域 的面积．
（2） 原则若
，则对于任何实数
，
为下图阴影部分的面积，对于固定的
和 而言，该面积随着 的减小而变大．这说明 越小， 落在区间的概率越大，即 集
中在 周围概率越大．
特别有，①
，
②，
③．
由知，正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区
间以外取值的概率只有 ．，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量 只取之间的值，并简称
之为 原则．
经典例题
3. 已知随机变量 服从正态分布
，若
，则
．
4. 设随机变量，则服从的总体分布可记为．
巩固练习
5. 随机变量 服从正态分布，且，则（ ）．
A.B.C.D.
6. 设随机变量 服从正态分布
A.，
B.，
C.，
D.，
经典例题
，若
，则 与
的值分别为（ ）．
7. 已知随机变量，且正态分布密度函数在上是增函数，在上为减函
数，
（ 1 ）求参数 ， 的值．
．
（ 2 ）求．
8. 某校高三年级的名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩 服从正态分布，则该年级
学生数学成绩在 分以上的学生人数大约为（ ）．
（附数据：，）
A.人B.人C.人D.人
巩固复习
9. 山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹
果近似看成球体）的直径（单位： ）服从正态分布，则果实直径在内的概率
为（ ）．
附：若
，则
，
．
A.B.C.D.
10. 某市高二名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为 ，标准差为 ，成绩服从正态
分布，则成绩在的人数为．
参考数据：，，
．
经典例题
11. 新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，
即新型冠状病毒．年 月 日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型
冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严
重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能
成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽
取人，答题成绩统计如图所示．
频率
组距
（ 1 ）由直方图可认为答题者的成绩 服从正态分布
成绩 分
，其中 ， 分别为答题者的平均成绩
和成绩的方差 ，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中
的数据用该组的区间中点值作代表）
（ 2 ）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计
全市的民众，现从全市中随机抽取 人，“防御知识合格者”的人数为 ，求．（精确到
）
附：①
，
；
②，则，
；
③
，
．
12.
年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满
分 分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等
奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情
况，随机抽取了 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
频率
组距
竞赛成绩（分）（ 1 ）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．
（ 2 ）若该校所有参赛学生的成绩 近似服从正态分布，其中， 为样本平均数的估
计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
1 若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 分的学生数（结果
2
四舍五入到整数）．
若从所有参赛学生中(参赛学生数大于
)随机抽取 名学生进行座谈，设其中竞赛成
绩在 分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值．
附：若随机变量 服从正态分布，则，
，．
巩固练习
13. 从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图
所示的频率分布直方图：
频率 组距
（ 1 ）求这
质量指标值
件产品质量指标的样本平均数 和样本方差 （同一组中的数据用该组区间的中点
值作代表）．
（ 2 ）
由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布，其中 近似为样本平均
数 ， 近似为样本方差 ．
1
2
利用该正态分布，求．
已知每件该产品的生产成本为 元，每件合格品（质量指标值
的定
价为 元；若为次品（质量指标值，除了全额退款外且每件次品还
须赔付客户 元．若该公司卖出 件这种产品，记 表示这件产品的利润，求．
附：．若，则，
．
14. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 个零件，并测量
其尺寸（单位： ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从
正态分布．
（ 1 ）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 个零件中其尺寸在
之外的零件
数，求及 的数学期望．
（ 2 ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
之外的零件，就认为这条生产线在这
一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
1
2
试说明上述监控生产过程方法的合理性．
下面是检验员在一天内抽取的 个零件的尺寸：
附：若随机变量 服从正态分布，则
，
，．用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差
作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 ）．经计算得
，
，其
中 为抽取的第 个零件的尺寸，．
3. 标准正态分布
知识精讲
若随机变量
，则当
，
时，称随机变量 服从标准正态分布，简称标准正态分
布．
标准正态分布的密度函数为，，其相应的密度曲线称为标准正态曲
线．如图所示：
由于标准正态总体
在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在
这个表中，相应于 的值是指总体取值小于 的概率，即，如图 左边的部
分所示．
由于标准正态曲线关于 轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值 的值
，因此，如果
，那么由下图根据面积相等知．
知识点睛
一般的正态分布
均可以化成标准正态分布
来进行研究．事实上，可以证明，对任一正
态分布来说，取值小于 的概率．
所以，可以利用公式可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．
经典例题
15. 随机变量 服从标准正态分布，如果
，则
．
巩固练习
16. 设随机变量 服从标准正态分布
，在某项测量中，已知
，则 在
内取值的概率为．
17. 已知随机变量，记，则下列结论不正确的是（ ）．
A. B. C. D.
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
18. 已知随机变量 服从正态分布，且，则．
19. 设两个正态分布
A.，
B.，
C.，
D.，
和
的密度曲线如图所示，则有（ ）．
20. 某小区有户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量
在 度以上的居民户数约为（ ）．
（参考数据：若随机变量 服从正态分布
，则
，
，）
A.B.C.D.
21.
从某企业的某种产品中抽取 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直
方图
频率
组距
质量指标值
（ 1 ）求这 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代
表）；
（ 2 ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布，其中 近似为样本平均
数 ， 近似为样本方差 ．
①利用该正态分布，求
；
②某用户从该企业购买了 件这种产品，记 表示这 件产品中质量指标值位于区间
的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求 ．
附：．若 ～，则，
．
11
正态分布
一、 课堂目标
1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．
2．理解正态分布和标准正态分布的概念．
3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和 原则求随机变量在某一范围内的概率．
4．掌握正态分布的实际应用问题．
二、 知识讲解
现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个
区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
1. 正态曲线
知识精讲
（1）正态曲线的概念
如下图，对应的函数解析式为：，（其中实数 和
为参数）．
显然，对于任意的称
，
，它的图象在 轴的上方．我们称
为正态密度函数，称它的
图像为正态密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的性质
①曲线位于 轴上方，与 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在处达到峰值（最大值）；
④曲线与 轴之间的面积为 ；
⑤当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移，如图所示；
⑥当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．
经典例题
1. 关于正态曲线的性质：
①曲线关于直线对称，并且曲线在 轴上方；
②曲线关于 轴对称，且曲线的最高点的坐标是
；
③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；
④ 越大，曲线越“高瘦”； 越小，曲线越“矮胖”．
其中正确的是（ ）．
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①③
巩固练习
2. 如图是当 取三个不同值 ， ， 时的三种正态曲线，那么 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
2. 正态分布
知识精讲
（1）正态分布的概念
若随机变量 的概率分布密度函数为：，（其中实数 和
为参数），则称随机变量 服从正态分布，记为．
正态分布完全由参数 和 确定，其中参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计； 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
注意：
若，则．
若，如下图所示， 取值不超过 的概率为图中区域 的面积，而
为区域 的面积．
（2） 原则若
，则对于任何实数
，
为下图阴影部分的面积，对于固定的
和 而言，该面积随着 的减小而变大．这说明 越小， 落在区间的概率越大，即 集
中在 周围概率越大．
特别有，①
，
②，
③．
由知，正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区
间以外取值的概率只有 ．，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量 只取之间的值，并简称
之为 原则．
经典例题
3. 已知随机变量 服从正态分布
，若
，则
．
4. 设随机变量，则服从的总体分布可记为．
巩固练习
5. 随机变量 服从正态分布，且，则（ ）．
A.B.C.D.
6. 设随机变量 服从正态分布
A.，
B.，
C.，
D.，
经典例题
，若
，则 与
的值分别为（ ）．
7. 已知随机变量，且正态分布密度函数在上是增函数，在上为减函
数，
（ 1 ）求参数 ， 的值．
．
（ 2 ）求．
8. 某校高三年级的名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩 服从正态分布，则该年级
学生数学成绩在 分以上的学生人数大约为（ ）．
（附数据：，）
A.人B.人C.人D.人
巩固复习
9. 山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹
果近似看成球体）的直径（单位： ）服从正态分布，则果实直径在内的概率
为（ ）．
附：若
，则
，
．
A.B.C.D.
10. 某市高二名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为 ，标准差为 ，成绩服从正态
分布，则成绩在的人数为．
参考数据：，，
．
经典例题
11. 新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，
即新型冠状病毒．年 月 日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型
冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严
重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能
成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽
取人，答题成绩统计如图所示．
频率
组距
（ 1 ）由直方图可认为答题者的成绩 服从正态分布
成绩 分
，其中 ， 分别为答题者的平均成绩
和成绩的方差 ，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中
的数据用该组的区间中点值作代表）
（ 2 ）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计
全市的民众，现从全市中随机抽取 人，“防御知识合格者”的人数为 ，求．（精确到
）
附：①
，
；
②，则，
；
③
，
．
12.
年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满
分 分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等
奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情
况，随机抽取了 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
频率
组距
竞赛成绩（分）（ 1 ）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．
（ 2 ）若该校所有参赛学生的成绩 近似服从正态分布，其中， 为样本平均数的估
计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
1 若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 分的学生数（结果
2
四舍五入到整数）．
若从所有参赛学生中(参赛学生数大于
)随机抽取 名学生进行座谈，设其中竞赛成
绩在 分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值．
附：若随机变量 服从正态分布，则，
，．
巩固练习
13. 从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图
所示的频率分布直方图：
频率 组距
（ 1 ）求这
质量指标值
件产品质量指标的样本平均数 和样本方差 （同一组中的数据用该组区间的中点
值作代表）．
（ 2 ）
由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布，其中 近似为样本平均
数 ， 近似为样本方差 ．
1
2
利用该正态分布，求．
已知每件该产品的生产成本为 元，每件合格品（质量指标值
的定
价为 元；若为次品（质量指标值，除了全额退款外且每件次品还
须赔付客户 元．若该公司卖出 件这种产品，记 表示这件产品的利润，求．
附：．若，则，
．
14. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 个零件，并测量
其尺寸（单位： ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从
正态分布．
（ 1 ）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 个零件中其尺寸在
之外的零件
数，求及 的数学期望．
（ 2 ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
之外的零件，就认为这条生产线在这
一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
1
2
试说明上述监控生产过程方法的合理性．
下面是检验员在一天内抽取的 个零件的尺寸：
附：若随机变量 服从正态分布，则
，
，．用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差
作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 ）．经计算得
，
，其
中 为抽取的第 个零件的尺寸，．
3. 标准正态分布
知识精讲
若随机变量
，则当
，
时，称随机变量 服从标准正态分布，简称标准正态分
布．
标准正态分布的密度函数为，，其相应的密度曲线称为标准正态曲
线．如图所示：
由于标准正态总体
在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在
这个表中，相应于 的值是指总体取值小于 的概率，即，如图 左边的部
分所示．
由于标准正态曲线关于 轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值 的值
，因此，如果
，那么由下图根据面积相等知．
知识点睛
一般的正态分布
均可以化成标准正态分布
来进行研究．事实上，可以证明，对任一正
态分布来说，取值小于 的概率．
所以，可以利用公式可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．
经典例题
15. 随机变量 服从标准正态分布，如果
，则
．
巩固练习
16. 设随机变量 服从标准正态分布
，在某项测量中，已知
，则 在
内取值的概率为．
17. 已知随机变量，记，则下列结论不正确的是（ ）．
A. B. C. D.
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
18. 已知随机变量 服从正态分布，且，则．
19. 设两个正态分布
A.，
B.，
C.，
D.，
和
的密度曲线如图所示，则有（ ）．
20. 某小区有户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量
在 度以上的居民户数约为（ ）．
（参考数据：若随机变量 服从正态分布
，则
，
，）
A.B.C.D.
21.
从某企业的某种产品中抽取 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直
方图
频率
组距
质量指标值
（ 1 ）求这 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代
表）；
（ 2 ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布，其中 近似为样本平均
数 ， 近似为样本方差 ．
①利用该正态分布，求
；
②某用户从该企业购买了 件这种产品，记 表示这 件产品中质量指标值位于区间
的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求 ．
附：．若 ～，则，
．
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