高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布精品测试题

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考法一 正态密度函数
【例1-1】（2023江苏·课时练习）已知正态分布密度函数，，则分别是（ ）
A．0和4B．0和2C．0和8D．0和
【答案】B
【解析】，.故选：B.
【例1-2】（2024·江苏）函数(其中)的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D；
又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2023陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】根据正态分布密度函数中参数的意义，
结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得；
且都在的右侧，即，
比较和图像可得，其形状相同，即，
又的离散程度比和大，所以可得；
故选：B
2．（2023湖北武汉）设随机变量，则X的密度函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，即，所以X的密度函数为A.故选：A
3．（2023全国·课时练习）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由正态分布密度函数，可得.故选：C.
考法二 正态曲线的性质
【例2-1】（2024重庆大足·阶段练习）某生产线正常生产状态下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．10D．19
【答案】B
【解析】由题可知，正态曲线关于对称，且，则，解得.
故选：B
【例2-2】（2024新疆·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为随机变量服从正态分布，且，
则，所以，
所以.
故选：C
【一隅三反】
1．（2024·贵州贵阳）设随机变量服从正态分布，若，则的值为（ ）
A．9B．7C．5D．4
【答案】B
【解析】因为随机变量服从正态分布，若，
所以，解得.
故选：B.
2．（23-24高二下·全国·课时练习）设随机变量，已知，则（ ）
A．0.95B．0.05C．0.975D．0.425
【答案】A
【解析】.
故选：A.
3．（2023浙江·开学考试）随机变量服从正态分布.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
又，所以，
故选：B.
考法三 指定区间的概率
【例3-1】．（2023浙江·开学考试）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（ ）附：若，则.
A．23B．46C．159D．317
【答案】C
【解析】由，得，
则，
估计优秀的学生人数约为.
故选：C
【例3-2】（2024湖南常德 ）某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ）
（附：，，）
A．第18名B．第127名C．第245名D．第546名
【答案】B
【解析】因为成绩近似服从正态分布,，则，
且，
所以，
因此该校数学成绩不低于102分的人数即年级排名大约是．
故选：B．
【一隅三反】
1．（2024黑龙江齐齐哈尔 ）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量，则，，）
A．236B．246C．270D．275
【答案】B
【解析】由题可知，，，所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是天．
故选：B．
2．（2024河南南阳 ）某班有45名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为18，则（ ）
A．0.2B．0.25C．0.3D．0.35
【答案】C
【解析】由题可设，则，
又的学生人数为，故.
故选：C
3（2024河南南阳 ）（多选）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，若从中随机取一件，
则下列结论正确的是（ ）．
（附：若随机变量服从正态分布，则，，．
A．
B．长度误差落在内的概率为0.6826
C．长度误差落在内的概率为0.1359
D．长度误差落在内的概率为0.1599
【答案】ABC
【解析】由图中密度函数解析式，可得，A选项正确；
又由图像可知，
则长度误差落在内的概率为
，B选项正确；
长度误差落在内的概率为
，C选项正确；
长度误差落在内的概率为
，D选项错误；故选：ABC.
考法四 正态分布的实际应用
【例4-1】（2024江苏南通）某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩.
(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；
(2)甲､乙､丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，
【答案】(1)0.499
(2)分布列见解析，
【解析】（1）记“至少有一人进入面试”，由已知得，
所以，
则，
即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.
（2）由题意可得：的可能取值为，则：
，
，
，
，
可得随机变量的分布列为
所以.
【一隅三反】
1．（2024广东广州·阶段练习）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，
【答案】(1)
(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii），
【解析】（1）由频率分布直方图，得．
．
（2）（i）由（1）可知，，
所以，，
显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，
所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，
故，所以，
X的数学期望．
2．（2023·全国·模拟预测）近期，广西军训冲上了热搜，军训项目包括无人机模拟轰炸、战场救护、实弹打靶、坦克步兵同步行军等.十万学生十万兵，无惧挑战、无惧前行，青春正当时.为了深入了解学生的军训效果，某高校对参加军训的2000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取100名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.
(1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）.
(2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励300元、200元、100元，不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和数学期望.
(3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）.
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)，平均数为76分
(2)分布列见解析，期望为
(3)46
【解析】（1）依题意，得，解得.
由频率分布直方图，知成绩的平均数为.
所以估计这100名学生测试成绩的平均数为76分.
（2）随机变量的所有可能取值为0，100，200，300，400，500，600.
，，
，
，
，，
.
所以的分布列为
所以.
（3）由（1）可知.
因为，
所以，
所以，
所以该高校军训学生中“优秀标兵”的人数约为46.
单选题
1．（2024山西太原·阶段练习）已知随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，.故选：A.
2．（2024·河南信阳 ）对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，故曲线的对称轴在曲线的左侧，排除C、D；
由，故曲线比曲线瘦高，曲线比曲线矮胖，排除A.
故选：B．
3（2023江西·开学考试）若随机变量，且，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
【答案】A
【解析】因为，
故．
故选：A．
4．（2024陕西渭南）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】A
【解析】因为随机变量服从正态分布，，
所以.故选：A.
5（2024广西南宁）随机变量服从正态分布，，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】由对称性可知，故.
故选：A
6（2024广西桂林）已知随机变量，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】对A，由题意得，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，因为，则，故C错误；
对D，因为，则，故D正确；
故选C
7（2024河南驻马店）为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了1000米跑测试，测试结果表明所有男生的成绩（单位：分）近似服从正态分布，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在内的概率为0.2
B．若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在内的概率为0.4
C．若从高三男生中随机挑选2人，则他们的成绩都不低于75的概率为0.25
D．越大，的值越小
【答案】D
【解析】，
，故A，B正确.
无论为何值，，若从高三男生中随机挑选2人，
则他们的成绩都不低于75的概率为，故C正确，D错误.
故选：D
8．（2023·广东）某精密制造企业根据长期检测结果得到其产品的质量差服从正态分布，把质量差在内的产品称为优等品，在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称正品，其余的产品作为废品处理．根据大量的产品检测数据，得到产品质量差的样本数据统计如图，将样本平均数作为的近似值，将样本标准差作为的估计值，已知质量差，则下列说法中不正确的是（ ）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
A．样本数据的中位数为
B．若产品质量差为mg，则该产品为优等品
C．该企业生产的产品为正品的概率是
D．从该企业生产的正品中随机抽取件，约有件优等品
【答案】A
【解析】对于A：的频率为，的频率为，
的频率为，且，
设样本数据的中位数为，所以，则，解得，故A错误；
对于B：由题意知，，
优等品质量差在即内，而，故B正确；
对于C：一等品质量差在即内，则正品质量差在和内，即在内，
所以产品为正品的概率为
，故C正确；
对于D：优等品质量差在内，所以产品为优等品的概率为0.6827，
从正品中随机抽取件，有件优等品，故D正确．
故选：A
多选题
9．（2023广西桂林·期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（ ）
A．该正态分布的均值为B．
C．D．
【答案】AB
【解析】因为，
对于A选项，该正态分布的均值为，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，，D错.
故选：AB.
10．（2022·江苏·模拟预测）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大
【答案】AC
【解析】】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确；
对于B, 当时，，故B错误；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故选：AC
11．（2023山东聊城）尊重自然、顺应自然、保护环境，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求，近年来，各地区以一系列卓有成效的有力措施逐步改善生态环境，我国生态文明建设发生了历史性、全局性的变化.一地区的科研部门调查某绿色植被培育的株高（单位：）的情况，得出，则下列说法正确的是（ ）
A．该地植被株高的均值为100
B．该地植被株高的方差为10
C．若，则
D．随机测量一株植被，其株高在以上的概率与株高在以下的概率一样
【答案】AC
【解析】因为，所以，
对于A，因为，所以均值为100，所以A正确;
对于B，因为，所以方差为100，所以B错误；
对于C，因为，所以，解得，所以C正确；
对于D，因为，
，
所以随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大， 所以D错误
故选：AC.
12．（2024云南）已知随机变量服从正态分布，．记的密度函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
如图，作出随机变量服从的正态分布曲线.因，故由图知.
对于A项，由图可知，必有，故A项错误；
对于B项，因，由图知，，故B项正确；
对于C项，因，不妨取，
则可理解为由直线和曲线及轴围成的近似直角梯形的面积，高为，
则即为梯形的中位线长，此时显然大于，即有成立，故C项错误；
对于D项，因，则可理解为由直线和曲线及轴围成的近似直角梯形的面积，高为，
则即为梯形的中位线长，此时显然小于，即有成立，故D项正确.
故选：BD.
填空题
13．（2023吉林长春·期中）设随机变量，X的正态密度函数为，则 .
【答案】0
【解析】由正态密度函数结构特征可知，.
故答案为：0
14（2024河南·开学考试）已知随机变量，若，则实数的值为 ．
【答案】1
【解析】由正态分布的性质可知，解得．
故答案为：1.
15（2024海南）为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ．附：，，．
【答案】13
【解析】正态分布，可知，
分及以上的人数为人，则，
由正态分布曲线的对称性可得：，得，
所以，则，
则分及以上的人数为人.
故答案为：.
16．（2024·辽宁·一模）小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择 上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地铁”)
参考数据：若则，，
【答案】公交
【解析】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到；
若选择自驾，则；
若选择地铁，则；
若选择公交，则，
而，
故选择公交上班迟到的可能性最小，
故答案为：公交
解答题
17．（2024·河南南阳）象棋是中国棋文化之一，也是中华民族的文化瑰宝，源远流长，雅俗共赏.某地举办象棋比赛，规定:每一局比赛中胜方得1分，负方得0分，没有平局.
(1)若甲、乙两名选手进行象棋比赛冠亚军的激烈角逐，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，先得3分者夺冠，比赛结束.
(i)求比赛结束时，恰好进行了3局的概率;
(ii)若前两局甲、乙各胜一局，记表示到比赛结束还需要进行的局数，求的分布列及数学期望;
(2)统计发现，本赛季参赛选手总得分近似地服从正态分布.若，则参赛选手可获得“参赛纪念证书”;若，则参赛选手可获得“优秀参赛选手证书”.若共有200名选手参加本次比赛，试估计获得“参赛纪念证书”的选手人数.(结果保留整数)
附:若，则，.
【答案】(1)(i)；(ii)分布列见解析，
(2)164
【解析】（1）(i)比赛结束时恰好进行了3局，甲夺冠的概率为，
乙夺冠的概率为，
所以比赛结束时恰好进行了3局的概率为
(ii)的可能取值为2，3
因为，
，
所以的分布列如下:
故
（2）因为比赛成绩近似地服从正态分布，
所以比赛选手可获得“参赛纪念证书”的概率:
所以估计获得“参赛纪念证书”的选手人数为164
18（20224广东）2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作、9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：10点04分，记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
附：若随机变量T服从正态分布，则，，.
【答案】(1)10∶04
(2)分布列见解析
(3)819
【解析】（1）解：这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
，即10∶04；
（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数，
即，
所以X的可能的取值为0，1，2，3，4.
所以，，，
，.
所以X的分布列为：
（3）由（1）得，
所以，
估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数，
由，得
，
所以估计在之间通过的车辆数为.
19（2024山东济宁）2021年是中国共产党建党100周年，为引导和带动青少年重温中国共产党的百年光辉历程，某市组织全市中学生参加中国共产党百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，统计结果如图所示．
(1)试估计这100名学生得分的中位数（保留小数点后两位有效数字）；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，按比例用分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和均值；
(3)用样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算．现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取2000人，若这2000名学生的得分相互独立，试问得分高于90分的人数最有可能是多少？
参考数据：若随机变量，则，．
【答案】(1)71.67
(2)分布列见解析，
(3)3
【解析】（1）设这100名学生得分的中位数的估计值为，则
，
即.
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，
其中得分在[80,90）的人数为.
若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[80,90）的人数为，则的所有可能取值为0，1，2，3.
则，，
，，
则的分布列为
所以.
（3）由频率分布直方图估计这100名学生得分的平均数为
45×10×0.010＋55×10×0.015＋65×10×0.020＋75×10×0.030＋85×10×0.015＋95×10×0.010＝70.5，
所以取，由已知，，.
所以，
故这2000名学生得分高于90分的人数最有可能为.
20．（2024·江西）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.
(1)若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若（），则，，.
【答案】(1)16
(2)
【解析】（1）因为服从正态分布，所以，，，
所以.
进入面试的人数，.
因此，进入面试的人数大约为16.
（2）由题意可知，的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则；
；
；
；
；
.
所以.
21（2023·全国·模拟预测）某校随机抽取了100名本校高一男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图.
(1)若该校高一男生的立定跳远成绩X（单位：厘米）服从正态分布，其中为上面样本数据的平均值（每组数据用该组数据的中间值代替）.在该校所有高一男生中任意选取4人，记立定跳远成绩在厘米以上（包含）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)已知该校高二男生有800名，男生立定跳远成绩在250厘米以上得满分.若认为高二男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计该校高二男生立定跳远得满分的人数（结果保留整数）.
附：若，则，
，.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)127
【解析】（1），
∴，∴，
∴，，
，，
∴的分布列为：
∴.
（2）记该校高二男生立定跳远成绩为Y厘米，则，
∴
，
∴估计该校高二男生立定跳远得满分的人数为.
22．（2024江苏扬州·期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为.
(1)求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值.
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若，则.
【答案】(1)，75万元
(2)①0.683；②0.0015
【解析】（1）由题可知，
则，
记该公司今年这一款保险产品利润为变量，则，
所以万元.
（2）因为，当较大且较小时，，则.
由于较大，，其中，
若该公司今年这一款保险产品利润，则，
；
若该公司今年这一款保险产品利润，则，
.
答：（1），该公司今年这一款保险产品利润的期望为75万元；
（2）①该公司今年这一款保险产品利润为万元的概率为0.683；
②亏损的概率为0.0015.
0
1
2
3
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
0
100
200
300
400
500
600
2
3
X
0
1
2
3
4
P
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4