2023-2024学年福建省福州市金山中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省福州市金山中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈Z|(x+1)(x−3)<0}，B={x|x2>0}，则A∩B=( )
A. {0,1,2}B. {−1,0,1,2}C. {−1,1,2}D. {1,2}
2.若复数z满足i(1−z)=|1−i|，则z的复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知等差数列{an}的前n项和Sn，若a2+a3+a14+a15=40，则S16=( )
A. 150B. 160C. 170D. 与a1和公差有关
4.若cs(π6−α)=35，则sin(2α+π6)=( )
A. −2425B. −725C. 725D. 2425
5.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5，则实数m的值是( )
A. −4B. 2C. 4D. 8
6.已知空间向量a=(0,1,2),b=(−1,2,2)，则向量a在向量b上的投影向量是( )
A. (−13,23,23)B. (−23,43,43)C. (−2,4,4)D. (−43,23,23)
7.已知a，b∈R，则“a>0且b>0”是“a+b> ab”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
8.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为偶函数，f(x+2)为奇函数，当x∈[1,2]，f(x)=ax2+b，若f(0)+f(3)=6，则f(112)=( )
A. −94B. −32C. −72D. 52
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量a=(−1,1)，b=(0,2)，则( )
A. |a|=|b|B. (a−b)//a
C. (a−b)⊥aD. a与b的夹角为π4
10.杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了坐公交车用时X(单位：min)和骑自行车用时Y(单位：min)，经数据分析得到X～N(30,62)，Y～N(34,22)，则( )
A. P(X≤30)B. P(X<18)=P(Y>38)
C. 若某天只有34min可用，杨明应选择坐公交车
D. 若某天只有38min可用，杨明应选择坐公交车
11.已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有( )
A. 若sin2A=sin2B，则△ABC一定是等腰三角形
B. 若sinA>sinB，则A>B
C. 若△ABC是锐角三角形，则sinA>csB
D. 若0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(1x− x)9的展开式中常数项为______.(用数字作答)
13.已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y24=1离心率为 22，则实数m等于______．
14.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为______.(用数字作答)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bcsC=(2a−c)csB．
(1)求B；
(2)若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且3a1，a3，5a2成等差数列，S4+5=5a3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=an⋅lg3an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP= 3．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)点F在线段PD上，试确定点F的位置使BF与平面PAB所成的角的正弦值为15．
18.(本小题17分)
现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为5%，每加工一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时X(分钟)的分布列和数学期望．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=exx−lnx+x−a．
(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.B
5.C
6.B
7.A
8.C
9.CD
10.BC
11.BC
12.84
13.8
14.144
15.解：(1)由正弦定理，得sinBcsC=2sinAcsB−csBsinC，分
即sinBcsC+csBsinC=2sinAcsB，
∴sin(B+C)=2sinAcsB，分
又因为A+B+C=π，
∴sinA=2sinAcsB，又sinA≠0，
∴csB=12，B∈(0,π)，分
∴B=π3；分
(2)∵sinC=2sinA，∴c=2a，分
∴由余弦定理，得b2=a2+c2−2accsB=a2+4a2−2a2，即3a2=9，
∴a= 3，c=2 3，分
∴S△ABC=12acsinB=12× 3×2 3× 32=3 分
16.解：(1)由题意，设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
∵3a1，a3，5a2成等差数列，
∴2a3=3a1+5a2，即2a1q2=3a1+5a1q，
∵a1>0，∴2q2=3+5q，
整理，得2q2−5q−3=0，
解得q=−12(舍去)，或q=3，
又∵S4+5=5a3，
∴a1(1−34)1−3+5=5⋅a1⋅32，
解得a1=1，
∴an=1⋅3n−1=3n−1，n∈N∗．
(2)由(1)可得，bn=an⋅lg3an+1
=3n−1⋅lg33n
=n⋅3n−1，
∴Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn=1⋅30+2⋅31+3⋅32+⋅⋅⋅+n⋅3n−1，
3Tn=1⋅31+2⋅32+⋅⋅⋅+(n−1)⋅3n−1+n⋅3n，
两式相减，
可得−2Tn=1+31+32+⋅⋅⋅+3n−1−n⋅3n，
=1−3n1−3−n⋅3n，
=−2n−12⋅3n−12，
∴Tn=2n−14⋅3n+14．
17.解：(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴PD⊥BD，
取AB中点E，连接DE，
∵AD=DC=CB=1，AB=2，
∴∠DAB=60°，
又∵AE=12AB=AD=1，
∴DE=1，∴DE=12AB．
∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边，∴BD⊥AD，
又PD∩AD=D，PD⊂面PAD，AD⊂面PAD，
∴BD⊥面PAD，又PA⊂面PAD，∴BD⊥PA；
(2)由(1)知，PD，AD，BD两两互相垂直，分别以DA，DB，DP为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，BD= AB2−AD2= 3，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0, 3,0)，P(0,0, 3)，PA=(1,0,− 3),AB=(−1, 3,0)，
设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PA=x− 3z=0n⋅AB=−x+ 3y=0，则可取n=( 3,1,1)．
设点F的坐标是(0,0,t)(0≤1≤ 3)，则BF的坐标是(0,− 3,t)，
设BF与平面PAB所成的角为θ，
则sinθ=|cs〈BF,n〉|=|BF⋅n|BF||n||=|(0,− 3,t)⋅( 3,1,1) 5 t2+3|=|t− 3 5 t2+3|=15，
解得t=2 3或t= 32，
点F在线段PD上，则t= 32，即点F在PD的中点处满足题意．
18.解：(1)设P=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3)，
则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45，
P(B|A1)=0.06，P(B|A2)=0.05，P(B|A3)=0.05，
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525；
(2)由题可得，X的所有可能取值为35，32，30，
P(X=35)=0.25×，
P(X=32)=0.3×，
P(X=30)=0.45×，
X的分布列为
所以E(X)=35×27+32×27+30×37=32．
19.
解：(1)f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)=ex(x−1)x2−1x+1=(ex+x)(x−1)x2，
令f′(x)=0⇒x=1，所以当0 当x>1时f′(x)>0，f(x)单调递增;∴f(x)min=f(1)=e+1−a，要使得f(x)≥0恒成立，
即满足f(x)min=e+1−a≥0⇒a⩽e+1．
(2)由(1)知，若f(x)有两个零点x1,x2，则f(x1)=f(x2)=0，
而f(x)=exx−ln x+x−a=ex−lnx+x−lnx−a，
即ex1−lnx1+x1−lnx1=ex2−lnx2+x2−lnx2，
因为函数y=ex+x在R上单调递增，所以x1−lnx1=x2−lnx2成立，
令ℎ(x)=x−lnx，且ℎ(x1)=ℎ(x2)，易知ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
不妨设0即证明ℎ(x2)<ℎ(1x1)⇔ 证明ℎ(x1)<ℎ(1x1)在(0,1)上恒成立．
下面构造函数F(x)=ℎ(x)−ℎ(1x)(0则 F′(x)=ℎ′(x)+ℎ′(1x)·1x2=(x−1)2x2>0恒成立，
F(x)在(0,1)单调递增，而F(1)=ℎ(1)−ℎ(1)=0，
所以F(x)从而x1x2<1得证． X
35
32
30
P
27
27
37