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2023-2024学年福建省福州市城门中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省福州市城门中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合A={x∈N|−1A. 3B. 4C. 7D. 8
2.将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有( )
A. 81B. 64C. 12D. 14
3.已知(1x− x)n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )
A. 15B. −15C. 20D. −20
4.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )
A. 72种B. 96种C. 108种D. 120种
5.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻，不同的排法共有( )
A. 1440种B. 960种C. 720种D. 480种
6.已知等比数列{an}满足a2=−12,1a1+1a2+1a3=3，则a1+a3=( )
A. 54B. 53C. 178D. 3
7.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有( )
A. 210种B. 126种C. 70种D. 35种
8.若(x+a)2(1x−1)5的展开式中常数项为−1，则a的值为( )
A. 1B. 9C. −1或−9D. 1或9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式( x−12x)n的展开式中各项系数之和是1128，则下列说法正确的有( )
A. 展开式共有7项B. 二项式系数最大的项是第4项
C. 所有二项式系数和为128D. 展开式的有理项共有4项
10.从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A=“恰有一个偶数”，B=“恰有一个奇数”，
C=“至少有一个是奇数”，D=“两个数都是偶数”，
E=“至多有一个奇数”．
下列结论正确的有( )
A. A=BB. B⊆C
C. D∩E=⌀D. C∩D=⌀，C∪D=Ω
11.已知函数f(x)=sinωx+ 3csωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)( )
A. 是奇函数B. 图象关于直线x=π2对称
C. 在[π4,3π4]上是减函数D. 在[π6,2π3]上的值域为[− 3,2]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知⊙O上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为______．
13.双曲线以椭圆x29+y225=1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为______．
14.已知P(m,n)为圆C：(x−1)2+(y−1)2=1上任意一点，则n−1m+1的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
7位同学站成一排．问：
(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？
16.(本小题15分)
已知f(x)=(3x2+3x2)n的展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大992．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
17.(本小题15分)
设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库.假设第1，2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=b(sinC+csC)．
(1)求B；
(2)若a=1，C=π6，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
设a，b为实数，且a>0，函数f(x)=ax−blnx−1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a=b=1，函数g(x)=xf(x)，试问g(x)是否存在极小值点？若存在，求出g(x)的极小值点；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={x∈N|−1∴集合A的真子集个数是23−1=7，
故选：C．
先求出集合A={0,1,2}，再利用含有n个元素的集合，其真子集个数为(2n−1)个即可求解．
本题主要考查集合真子集个数的求法，含有n个元素的集合，其真子集个数为(2n−1)个．
2.【答案】B
【解析】解：本题是一个分步计数问题
对于第一个小球有4众不同的方法，
第二个小球也有4众不同的方法，
第三个小球也有4众不同的放法，
即每个小球都有4种可能的放法，
根据分步计数原理知共有即4×4×4=64
故选B．
第一个小球有4众不同的方法，第二个小球也有4众不同的方法，第三个小球也有4众不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步乘法原理得到结果．
本题考查分步计数原理，是一个典型的分步计数问题，本题对于盒子和小球没有任何限制条件，可以把小球随便放置，注意与有限制条件的元素的问题的解法．
3.【答案】A
【解析】解：因为(1x− x)n 的展开式中只有第四项的二项式系数最大
所以n=6．
所以其通项为C6r⋅(1x)6−r⋅(− x)r=(−1)rC6r⋅x3r2−6．
令3r2−6=0⇒r=4．
故展开式中的常数项等于(−1)4⋅C64=6×5×4×34×3×2×1=15．
故选：A．
先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值．
本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
利用分步计数原理，先涂区域1，再涂区域2，再涂区域4，再涂区域3，最后涂区域5，涂后面的两个区域时注意分类．
【解答】
解：由题意知，第一步：涂区域1，有4种方法；
第二步：涂区域2，有3种方法；
第三步：涂区域4，有2种方法(此前三步已经用去三种颜色)；
第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．
所以，不同的涂色种数有4×3×2×(1×1+1×3)=96种．
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：将2位老人排好，有A22种排法，
将两位老人视为一个元素，与其它5名志愿者一起排列，有A66种排法，
故共有A22A66=2×720=1440．
故选：A．
相邻问题使用捆绑法．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：等比数列{an}满足a2=−12,1a1+1a2+1a3=3，
所以a1+a3a1a3+1a2=a1+a3+a2a22=a1+a3−1214=3，
所以a1+a3=54．
故选：A．
由已知结合等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①、先从7种氨基酸里选3种改变其位置，
②、因为被选每种氨基酸都不能在原来的位置上，
因此第一种氨基酸有两种放法，
被占据了位置的那种只能坐在第三种的位置上(一种放法)，
才能保证三种也不放在自己的位置上．
因此三种氨基酸调换方法有两种．
故不同的改变方法有C73×2=70，
故选：C．
由分步计数原理：第一步．先从7种氨基酸里选3种改变其位置，第二步．因为被选每种氨基酸都不能在原来的位置上，可得三种氨基酸调换方法有两种．相乘可得．
本题考查排列、组合及简单计数问题、分步计数原理等基础知识，考查分析问题解决问题的能力．属中档题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题．
先将(x+a)2展开，再求出(1x−1)5的通项，求出展开式的常数项，列出方程求出a的值．
【解答】
解：∵(x+a)2=x2+2ax+a2，
(1x−1)5展开式的通项为Tr+1=C5r (1x)5−r (−1)r=(−1)rC5rxr−5，
∴(x+a)2(1x−1)5展开式的常数项为−C53+2aC54−a2，
∴−C53+2aC54−a2=−1，
解得a=1或9．
故选：D．
9.【答案】CD
【解析】解：令x=1可得：(12)n=1128，解得n=7，故该二项式为( x−12x)7，
故展开式中共7+1=8项，故A错误；
二项式系数最大的项为中间的第4、5项，故B错误；
所有二项式系数之和为27=128，故C正确；
展开式的通项为Tk+1=(−12)k⋅C7k⋅x7−3k2，k=0，1，2，……，7，当k=1，3，5，7时，为有理项，故D正确．
故选：CD．
利用赋值法求出n的值，然后结合二项式系数的性质以及通项逐项判断．
本题考查二项式系数的性质以及通项的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查事件的包含与相等、事件的并和交运算、对立事件与互斥事件，属于基础题．
根据已知条件，结合对立事件，互斥事件的定义，直接求解．
【解答】
解：∵从1至9这9个自然数中任取两个，
∴当恰有一个偶数时，另外一个必为奇数，当恰有一个奇数时，另外一个必为偶数，故A=B，故A选项正确，
“至少有一个是奇数的事件”包含”恰有一个奇数的事件”，故B⊆C，故B选项正确，
“至多有一个奇数的事件”包含“一个奇数，一个偶数的事件”和“两个都为偶数的事件”，故D，E不互斥，故C选项错误，
C=“至少有一个是奇数”，D=“两个数都是偶数”，C和D既是互斥事件，又是对立事件，故D选项正确．
故选：ABD．
11.【答案】ACD
【解析】解：函数f(x)=sinωx+ 3csωx=2sin(ωx+π3)(ω>0)的零点依次构成一个公差为12⋅2πω=π2的等差数列，
∴ω=2，即f(x)=2sin(2x+π3)，
把函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin2x的图象，
显然，g(x)为奇函数，故A正确；
令x=π2，则g(π2)=0，故B错误；
∵[π4,3π4]，
∴2x∈[π2,3π2]，g(x)是减函数，故C正确；
在区间[π6,2π3]上，2x∈[π3,4π3]，sin2x∈[− 32,1]，即g(x)的值域为[− 3,2]，故D正确．
故选：ACD．
由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一分析选项，即可得出答案．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】120
【解析】解：根据题意，圆上10个点，任意3点都不共线，故从10个中任选3个都可以构成一个三角形，
故一共可以画的三角形个数为C103=120个；
故答案为：120．
根据题意，圆上10个点，任意3点都不共线，故从10个中任选3个都可以构成一个三角形，由组合数公式计算可得答案．
本题主要考查了组合问题，关键是圆上的任意三点都不共线，属于基础题．
13.【答案】y2254−x2394=1
【解析】解：因为椭圆方程为x29+y225=1，则a=5,b=3,c= a2−b2=4，
所以其焦点坐标为(0,4)，(0,−4)，离心率为e=45，
则双曲线的焦点为(0,4)，(0,−4)，离心率为e1=2e=85，
即ca1=85，所以a1=52，则b1=c2−a12=16−254=394，
所以双曲线的方程为y2254−x2394=1．
故答案为：y2254−x2394=1．
根据椭圆方程求得焦点坐标即离心率，继而求得双曲线的焦点坐标和离心率，进一步计算即可求解．
本题主要考查圆锥曲线的综合，属于中档题．
14.【答案】 33
【解析】解：根据题意，设k=n−1m+1，变形可得n−1=k(m+1)，则n−1m+1即k的几何意义为直线y−1=k(x+1)的斜率，
P(m,n)为圆C：(x−1)2+(y−1)2=1上任意一点，则有d≤r=1，即|k−1+k+1| k2+1≤1，
解可得：− 33≤k≤ 33，即k的最大值为 33；
故答案为： 33．
根据题意，设k=n−1m+1，变形分析k的几何意义，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及斜率的计算，属于基础题．
15.【答案】解(1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22=1440种．
(2)方法同上，一共有A55·A33=720种．
(3)将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A52A44A22=960种方法．
(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有2个元素，∴一共有排法种数：A33A44A22=288 (种)．
【解析】本题考查排列、组合及简单计数问题，本题在计数时根据具体情况选用了捆绑法等方法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义，属于中档题．
(1)采用捆绑法，将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列，问题得以解决；
(2)采用捆绑法，将甲、乙、丙三个同学同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的4个元素(同学)一起进行全排列，问题得以解决；
(3)先同(1)，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，问题得以解决；
(4)甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有2个元素，进行全排列，问题得以解决．
16.【答案】解：(1)令x=1得各项系数和为4n，所有二项式系数为2n，
∵各项系数和比各项的二项式系数和大992，
∴4n−2n=992，
即4n−2n−992=0，
得(2n−32)(2n+31)=0，
得2n=32，得n=5，
则展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项，
∵f(x)=(3x2+3x2)5的展开式的通项公式为Tk+1=C5k(x23)5−k(3x2)k=C5k⋅3kx10+4k3，
∴T3=C52⋅32x6=90x6，T4=C53⋅33x223．
(2)二项展开式的系数为C5k⋅3k，
设第k+1项的系数最大，
则C5k⋅3k≥C5k+1⋅3k+1C5k⋅3k≥C5k−1⋅3k−1，
得5！k!(5−k)!≥5!(k+1)!(4−k)!×35!k!(5−k)!×3≥5!(k−1)!(6−k)!，
得15−k≥3k+13k≥16−k，得k+1≥15−3k18−3k≥k得4k≥144k≤18，
得14≤4k≤18，得72≤k≤92，
即k=4，
即展开式中系数最大的项为第5项，此时T5=C54⋅34x263=405x263．
【解析】(1)求出展开式中各项的系数和二项式系数，建立方程关系进行求解即可．
(2)根据系数最大，建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，结合条件求出n的值，以及利用二项式定理的通项公式进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算能力．难度中等．
17.【答案】解：设B={从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，
则Ai={提出的一台是第i车间生产的产品}，
则B=A1B∪A2B，
由题意可得P(A1)=0.4，P(A2)=0.6，
P(B|A1)=0.85，P(B|A2)=0.88，
由全概率公式可得P(B)=P(A1)⋅P(B|A1)+P(A2)⋅P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868．
【解析】设B={从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，则Ai={提出的一台是第i车间生产的产品}，根据全概率公式即可求出．
本题考查了全概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵a=b(sinC+csC)，
由正弦定理asinA=bsinB得，sinA=sinB(sinC+csC)，
∴sin(B+C)=sinB(sinC+csC)，
∴sinBcsC+csBsinC=sinBsinC+sinBcsC，
∴csBsinC=sinBsinC，
∴csB=sinB，
∴tanB=1，
又B∈(0,π)，
∴B=π4．
(2)∵B=π4，C=π6，
∴A=π−B−C=7π12，可得sinA= 6+ 24，
∴由正弦定理asinA=csinC，可得c=asinCsinA= 6− 22，
∴S△ABC=12acsinB=12×1× 6− 22× 22= 3−14．
【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB=1，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．
(2)由已知利用三角形内角和定理可求A，利用正弦定理可得c的值，根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由f(x)=ax−blnx−1，得f′(x)=a−bx=ax−bx，x>0，a>0，
当b≤0时，f′(x)>0，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
当b>0，且x∈(0,ba)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(ba,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上，当b≤0时，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
当b>0时，f(x)在区间(0,ba)上单调递减，在区间(ba,+∞)上单调递增．
(2)当a=b=1时，g(x)=xf(x)=x2−xlnx−x，x>0，则g′(x)=2x−lnx−2．
令h(x)=2x−lnx−2，x>0，所以h′(x)=2x−1x，
当x∈(0,12)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(12,+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
又h(1)=0，h(12)=ln2−1<0，h(1e2)=2e2>0，
故∃x0∈(1e2,12)，使得h(x0)=0．
当x∈(0,x0)时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(x0,1)时，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，
故g(x)存在极小值点，且极小值点为x=1．
【解析】(1)根据题意，对f(x)求导，分b≤0和b>0两种情况判断f(x)的单调性即可；
(2)对g(x)求导，确定函数的单调区间，根据零点存在性定理即可说明是否存在极值点．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
1.集合A={x∈N|−1
2.将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有( )
A. 81B. 64C. 12D. 14
3.已知(1x− x)n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )
A. 15B. −15C. 20D. −20
4.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )
A. 72种B. 96种C. 108种D. 120种
5.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻，不同的排法共有( )
A. 1440种B. 960种C. 720种D. 480种
6.已知等比数列{an}满足a2=−12,1a1+1a2+1a3=3，则a1+a3=( )
A. 54B. 53C. 178D. 3
7.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有( )
A. 210种B. 126种C. 70种D. 35种
8.若(x+a)2(1x−1)5的展开式中常数项为−1，则a的值为( )
A. 1B. 9C. −1或−9D. 1或9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式( x−12x)n的展开式中各项系数之和是1128，则下列说法正确的有( )
A. 展开式共有7项B. 二项式系数最大的项是第4项
C. 所有二项式系数和为128D. 展开式的有理项共有4项
10.从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A=“恰有一个偶数”，B=“恰有一个奇数”，
C=“至少有一个是奇数”，D=“两个数都是偶数”，
E=“至多有一个奇数”．
下列结论正确的有( )
A. A=BB. B⊆C
C. D∩E=⌀D. C∩D=⌀，C∪D=Ω
11.已知函数f(x)=sinωx+ 3csωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)( )
A. 是奇函数B. 图象关于直线x=π2对称
C. 在[π4,3π4]上是减函数D. 在[π6,2π3]上的值域为[− 3,2]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知⊙O上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为______．
13.双曲线以椭圆x29+y225=1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为______．
14.已知P(m,n)为圆C：(x−1)2+(y−1)2=1上任意一点，则n−1m+1的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
7位同学站成一排．问：
(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？
16.(本小题15分)
已知f(x)=(3x2+3x2)n的展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大992．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
17.(本小题15分)
设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库.假设第1，2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=b(sinC+csC)．
(1)求B；
(2)若a=1，C=π6，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
设a，b为实数，且a>0，函数f(x)=ax−blnx−1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a=b=1，函数g(x)=xf(x)，试问g(x)是否存在极小值点？若存在，求出g(x)的极小值点；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={x∈N|−1
故选：C．
先求出集合A={0,1,2}，再利用含有n个元素的集合，其真子集个数为(2n−1)个即可求解．
本题主要考查集合真子集个数的求法，含有n个元素的集合，其真子集个数为(2n−1)个．
2.【答案】B
【解析】解：本题是一个分步计数问题
对于第一个小球有4众不同的方法，
第二个小球也有4众不同的方法，
第三个小球也有4众不同的放法，
即每个小球都有4种可能的放法，
根据分步计数原理知共有即4×4×4=64
故选B．
第一个小球有4众不同的方法，第二个小球也有4众不同的方法，第三个小球也有4众不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步乘法原理得到结果．
本题考查分步计数原理，是一个典型的分步计数问题，本题对于盒子和小球没有任何限制条件，可以把小球随便放置，注意与有限制条件的元素的问题的解法．
3.【答案】A
【解析】解：因为(1x− x)n 的展开式中只有第四项的二项式系数最大
所以n=6．
所以其通项为C6r⋅(1x)6−r⋅(− x)r=(−1)rC6r⋅x3r2−6．
令3r2−6=0⇒r=4．
故展开式中的常数项等于(−1)4⋅C64=6×5×4×34×3×2×1=15．
故选：A．
先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值．
本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
利用分步计数原理，先涂区域1，再涂区域2，再涂区域4，再涂区域3，最后涂区域5，涂后面的两个区域时注意分类．
【解答】
解：由题意知，第一步：涂区域1，有4种方法；
第二步：涂区域2，有3种方法；
第三步：涂区域4，有2种方法(此前三步已经用去三种颜色)；
第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．
所以，不同的涂色种数有4×3×2×(1×1+1×3)=96种．
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：将2位老人排好，有A22种排法，
将两位老人视为一个元素，与其它5名志愿者一起排列，有A66种排法，
故共有A22A66=2×720=1440．
故选：A．
相邻问题使用捆绑法．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：等比数列{an}满足a2=−12,1a1+1a2+1a3=3，
所以a1+a3a1a3+1a2=a1+a3+a2a22=a1+a3−1214=3，
所以a1+a3=54．
故选：A．
由已知结合等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①、先从7种氨基酸里选3种改变其位置，
②、因为被选每种氨基酸都不能在原来的位置上，
因此第一种氨基酸有两种放法，
被占据了位置的那种只能坐在第三种的位置上(一种放法)，
才能保证三种也不放在自己的位置上．
因此三种氨基酸调换方法有两种．
故不同的改变方法有C73×2=70，
故选：C．
由分步计数原理：第一步．先从7种氨基酸里选3种改变其位置，第二步．因为被选每种氨基酸都不能在原来的位置上，可得三种氨基酸调换方法有两种．相乘可得．
本题考查排列、组合及简单计数问题、分步计数原理等基础知识，考查分析问题解决问题的能力．属中档题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题．
先将(x+a)2展开，再求出(1x−1)5的通项，求出展开式的常数项，列出方程求出a的值．
【解答】
解：∵(x+a)2=x2+2ax+a2，
(1x−1)5展开式的通项为Tr+1=C5r (1x)5−r (−1)r=(−1)rC5rxr−5，
∴(x+a)2(1x−1)5展开式的常数项为−C53+2aC54−a2，
∴−C53+2aC54−a2=−1，
解得a=1或9．
故选：D．
9.【答案】CD
【解析】解：令x=1可得：(12)n=1128，解得n=7，故该二项式为( x−12x)7，
故展开式中共7+1=8项，故A错误；
二项式系数最大的项为中间的第4、5项，故B错误；
所有二项式系数之和为27=128，故C正确；
展开式的通项为Tk+1=(−12)k⋅C7k⋅x7−3k2，k=0，1，2，……，7，当k=1，3，5，7时，为有理项，故D正确．
故选：CD．
利用赋值法求出n的值，然后结合二项式系数的性质以及通项逐项判断．
本题考查二项式系数的性质以及通项的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查事件的包含与相等、事件的并和交运算、对立事件与互斥事件，属于基础题．
根据已知条件，结合对立事件，互斥事件的定义，直接求解．
【解答】
解：∵从1至9这9个自然数中任取两个，
∴当恰有一个偶数时，另外一个必为奇数，当恰有一个奇数时，另外一个必为偶数，故A=B，故A选项正确，
“至少有一个是奇数的事件”包含”恰有一个奇数的事件”，故B⊆C，故B选项正确，
“至多有一个奇数的事件”包含“一个奇数，一个偶数的事件”和“两个都为偶数的事件”，故D，E不互斥，故C选项错误，
C=“至少有一个是奇数”，D=“两个数都是偶数”，C和D既是互斥事件，又是对立事件，故D选项正确．
故选：ABD．
11.【答案】ACD
【解析】解：函数f(x)=sinωx+ 3csωx=2sin(ωx+π3)(ω>0)的零点依次构成一个公差为12⋅2πω=π2的等差数列，
∴ω=2，即f(x)=2sin(2x+π3)，
把函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin2x的图象，
显然，g(x)为奇函数，故A正确；
令x=π2，则g(π2)=0，故B错误；
∵[π4,3π4]，
∴2x∈[π2,3π2]，g(x)是减函数，故C正确；
在区间[π6,2π3]上，2x∈[π3,4π3]，sin2x∈[− 32,1]，即g(x)的值域为[− 3,2]，故D正确．
故选：ACD．
由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一分析选项，即可得出答案．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】120
【解析】解：根据题意，圆上10个点，任意3点都不共线，故从10个中任选3个都可以构成一个三角形，
故一共可以画的三角形个数为C103=120个；
故答案为：120．
根据题意，圆上10个点，任意3点都不共线，故从10个中任选3个都可以构成一个三角形，由组合数公式计算可得答案．
本题主要考查了组合问题，关键是圆上的任意三点都不共线，属于基础题．
13.【答案】y2254−x2394=1
【解析】解：因为椭圆方程为x29+y225=1，则a=5,b=3,c= a2−b2=4，
所以其焦点坐标为(0,4)，(0,−4)，离心率为e=45，
则双曲线的焦点为(0,4)，(0,−4)，离心率为e1=2e=85，
即ca1=85，所以a1=52，则b1=c2−a12=16−254=394，
所以双曲线的方程为y2254−x2394=1．
故答案为：y2254−x2394=1．
根据椭圆方程求得焦点坐标即离心率，继而求得双曲线的焦点坐标和离心率，进一步计算即可求解．
本题主要考查圆锥曲线的综合，属于中档题．
14.【答案】 33
【解析】解：根据题意，设k=n−1m+1，变形可得n−1=k(m+1)，则n−1m+1即k的几何意义为直线y−1=k(x+1)的斜率，
P(m,n)为圆C：(x−1)2+(y−1)2=1上任意一点，则有d≤r=1，即|k−1+k+1| k2+1≤1，
解可得：− 33≤k≤ 33，即k的最大值为 33；
故答案为： 33．
根据题意，设k=n−1m+1，变形分析k的几何意义，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及斜率的计算，属于基础题．
15.【答案】解(1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22=1440种．
(2)方法同上，一共有A55·A33=720种．
(3)将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A52A44A22=960种方法．
(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有2个元素，∴一共有排法种数：A33A44A22=288 (种)．
【解析】本题考查排列、组合及简单计数问题，本题在计数时根据具体情况选用了捆绑法等方法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义，属于中档题．
(1)采用捆绑法，将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列，问题得以解决；
(2)采用捆绑法，将甲、乙、丙三个同学同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的4个元素(同学)一起进行全排列，问题得以解决；
(3)先同(1)，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，问题得以解决；
(4)甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有2个元素，进行全排列，问题得以解决．
16.【答案】解：(1)令x=1得各项系数和为4n，所有二项式系数为2n，
∵各项系数和比各项的二项式系数和大992，
∴4n−2n=992，
即4n−2n−992=0，
得(2n−32)(2n+31)=0，
得2n=32，得n=5，
则展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项，
∵f(x)=(3x2+3x2)5的展开式的通项公式为Tk+1=C5k(x23)5−k(3x2)k=C5k⋅3kx10+4k3，
∴T3=C52⋅32x6=90x6，T4=C53⋅33x223．
(2)二项展开式的系数为C5k⋅3k，
设第k+1项的系数最大，
则C5k⋅3k≥C5k+1⋅3k+1C5k⋅3k≥C5k−1⋅3k−1，
得5！k!(5−k)!≥5!(k+1)!(4−k)!×35!k!(5−k)!×3≥5!(k−1)!(6−k)!，
得15−k≥3k+13k≥16−k，得k+1≥15−3k18−3k≥k得4k≥144k≤18，
得14≤4k≤18，得72≤k≤92，
即k=4，
即展开式中系数最大的项为第5项，此时T5=C54⋅34x263=405x263．
【解析】(1)求出展开式中各项的系数和二项式系数，建立方程关系进行求解即可．
(2)根据系数最大，建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，结合条件求出n的值，以及利用二项式定理的通项公式进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算能力．难度中等．
17.【答案】解：设B={从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，
则Ai={提出的一台是第i车间生产的产品}，
则B=A1B∪A2B，
由题意可得P(A1)=0.4，P(A2)=0.6，
P(B|A1)=0.85，P(B|A2)=0.88，
由全概率公式可得P(B)=P(A1)⋅P(B|A1)+P(A2)⋅P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868．
【解析】设B={从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，则Ai={提出的一台是第i车间生产的产品}，根据全概率公式即可求出．
本题考查了全概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵a=b(sinC+csC)，
由正弦定理asinA=bsinB得，sinA=sinB(sinC+csC)，
∴sin(B+C)=sinB(sinC+csC)，
∴sinBcsC+csBsinC=sinBsinC+sinBcsC，
∴csBsinC=sinBsinC，
∴csB=sinB，
∴tanB=1，
又B∈(0,π)，
∴B=π4．
(2)∵B=π4，C=π6，
∴A=π−B−C=7π12，可得sinA= 6+ 24，
∴由正弦定理asinA=csinC，可得c=asinCsinA= 6− 22，
∴S△ABC=12acsinB=12×1× 6− 22× 22= 3−14．
【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB=1，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．
(2)由已知利用三角形内角和定理可求A，利用正弦定理可得c的值，根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由f(x)=ax−blnx−1，得f′(x)=a−bx=ax−bx，x>0，a>0，
当b≤0时，f′(x)>0，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
当b>0，且x∈(0,ba)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(ba,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上，当b≤0时，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
当b>0时，f(x)在区间(0,ba)上单调递减，在区间(ba,+∞)上单调递增．
(2)当a=b=1时，g(x)=xf(x)=x2−xlnx−x，x>0，则g′(x)=2x−lnx−2．
令h(x)=2x−lnx−2，x>0，所以h′(x)=2x−1x，
当x∈(0,12)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(12,+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
又h(1)=0，h(12)=ln2−1<0，h(1e2)=2e2>0，
故∃x0∈(1e2,12)，使得h(x0)=0．
当x∈(0,x0)时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(x0,1)时，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，
故g(x)存在极小值点，且极小值点为x=1．
【解析】(1)根据题意，对f(x)求导，分b≤0和b>0两种情况判断f(x)的单调性即可；
(2)对g(x)求导，确定函数的单调区间，根据零点存在性定理即可说明是否存在极值点．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
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