福建省福州市金山中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份福建省福州市金山中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分：考试时间：120分钟）
班级______ 姓名______ 座号_______
一、选择题：（本题共8小题、每小题5分，共40分。在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ）
A.16B.8C.4D.2
2.已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为，则（ ）
A.B.C.D.1
3.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A.B.
C.D.
4.《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ）
A.尺B.尺C.尺D.尺
5.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A.1008种B.720种C.300种D.150种
6.展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（ ）
A.-60B.-30C.100D.160
7.某学校有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.已知数列满足，，，则数列的第2024项为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：（本题共3小题、每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9.下列求导运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
10.已知等差数列的公差为，前项和为，，，，则（ ）
A.B.，
C.D.当时，有最大值
11.已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）
A.若，且，，则
B.若，且，，则
C.若，，则
D.若，，，则
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12.已知数列的首项，且满足，则________.
13.小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间（单位：分钟）服从正态分布；若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间（单位：分钟）服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间（单位：分钟）服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择__________上班迟到的可能性最小.（填“自驾”“公交”或“地铁”）
参考数据：若，则，，.
14.右曲线的一条切线为，其中a，b为正实数，则的取值范围是__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13分）已知在的展开式中满足，且常数项为，求：
①的值；
②展开式中的系数；
③含的整数次幂的项共有多少项.
16.（15分）已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
17、（15分）已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是和的等差中项.
（1）求和的通项公式；
（2）令，的前项和记为，若对一切成立，求实数的最大值.
18.（17分）2024年元旦期间，辽宁省推出了将冰雪温泉、民俗文化与体育活动深度融合的冬季主题系列活动.现主委会要招募一批志愿者，应聘者需参加相关测试，测试合格者才能予以录用，测试备选题中关于冰雪温泉内容的有3道，关于民俗文化内容的有4道，关于体育活动内容的有道.已知应聘者甲随机抽出2道题都是关于冰雪温泉内容的概率为.
（1）求的值；
（2）招募方案规定：每位应聘者要从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为测试合格.已知应聘者甲能答对备选题中的6道题，应聘者乙答对每道备选题的概率都是.
（i）求应聘者甲答对题的数量X的分布列和数学期望；
（ii）试估计甲、乙两名应聘者谁被录用的可能性大，并说明理由
19.（17分）已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）已知，当，试比较与的大小，并给予证明.
2023-2024学年第二学期期中考试
高二数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.A 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.A
8.【分析】确定，利用累加法和分组求和计算得到答案.
【详解】，即.
.
.
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9.BC 10.BCD 11.BCD
11【详解】选项A：因为，所以，选项A不正确；
选项B：若，则A，B互斥，由，，
得，选项B正确；
选项C：由得事件A，B相互独立，所以事件，也相互独立，
所以，
则，选项C正确；
选项D：由，，
得，，，
所以，
解得，选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 13.公交 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.（13分）已知在的展开式中满足，且常数项为，求：
①的值；②展开式中的系数；③含的整数次幂的项共有多少项.
【详解】①由已知得二项展开式的通项
因为常数项，令，解得，
此时，结合可解得
②由（1）知，令，得
所以的系数为
③要使为整数，只需为偶数，由于，，故，
因此含的整数次幂的项共有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项.
16.【详解】（1），由题意得，
解得，.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.所以，.
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，，最小值为0.
17.【详解】解：（1）时，，
当时
也符合上式，所以
又和，得，或.
∵∴.∴，.
（2）∵
∴
而随着的增大而增大，所以
故有最大值为.
18.【详解】（1）设事件A表示甲抽出的2道题都是关于冰雪温泉内容的，
则，
解得.
（2）（i）甲答对题的数量的所有可能取值为0，1，2，3.
则，，
，，
所以的分布列为
于是的数学期望.
（ii）设事件B表示甲测试合格，
则由（i）可知.
设事件表示乙测试合格，
则.
因为，所以甲被录用的可能性大.
19.【详解】（1）因为，定义域为，
所以，
当时，，所以的单调递增区间为没有单调递减区间；
当时，令，得；令，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），
证明如下：当时，，又，
令，
则，
令，则，又，，
所以函数在上单调递增，且存在唯一零点，使得，
且时，；时，，
即时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，而，即，
两边取对数得，
所以，故在上恒成立.
0
1
2
3