2023-2024学年福建省福州市格致中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

展开

这是一份2023-2024学年福建省福州市格致中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.P为抛物线y2=2px(p>0)上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p=( )
A. 2B. 4C. 4或9D. 2或18
2.已知p：0A. 03.已知集合A={(x,y)|y=x+1，0≤x≤1}，集合B={(x,y)|y=2x，0≤x≤10}，则集合A∩B=( )
A. {1,2}B. {x|0≤x≤1}C. {(1,2)}D. ⌀
4.在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°,AE=xAB+1−x3AD,x∈[0,1]，则DE⋅DC的最小值为( )
A. −2B. −43C. −23D. −12
5.若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a+lna>b+lnb”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.(2x2−5x)(2+1 x)7的展开式中含x项的系数为( )
A. 1984B. 960C. 660D. 704
7.已知sinα=2 67，cs(α−β)= 105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=( )
A. 9 1535B. 11 1035C. 1535D. 1035
8.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、M、N均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为( )
①当点P为BC中点时，平面PEF⊥平面GMN
②异面直线EF、GN所成角的余弦值为14
③点E、F、G、M、N在同一个球面上
④若A1P=tA1A+A1M−2tA1B1，则P点轨迹长度为 52
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则( )
A. a=0.008B. X=120
C. 70分以下的人数约为6人D. 本次考试的平均分约为93.6
10.已知函数f(x)=sin(3x+π4)+2，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的一个周期为23πB. 直线x=π12是y=f(x)的一条对称轴
C. 点(−π12,0)是y=f(x)的一个对称中心D. f(x)在区间[π12,3π4]上单调递减
11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若|AF1|=|BF2|=2|AF2|，则( )
A. ∠AF1B=∠F1AB
B. 双曲线的离心率e= 333
C. 双曲线的渐近线方程为y=±2 63x
D. 原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上
12.已知数列{an}满足a2n+1+a2n=4n−1，a2n−a2n−1=4n−3，若数列{an}的前50项和为1273，则( )
A. (a3+a5)，(a7+a9)，…，(a47+a49)是常数列 B. (a4+a6)，(a8+a10)，…，(a48+a50)是常数列
C. a1+a2=1 D. a3=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.已知曲线f(x)=x3+x−3x13在x=1处的切线与g(x)=acsx在x=π2处的切线平行，则a的值为______．
14.已知tanα=12，且α∈(π,3π2)，则cs(α−π2)=______．
15.如图，在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，CD与BE交于点P，AB=2，AC=4，AP⋅BC=2，则AB⋅AC的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
如图1，在平面四边形PBCD中，已知BC⊥PB，PD⊥CD，PB=6，BC=2，DP=2CD，DA⊥PB于点A.将△PAD沿AD折起使得PA⊥平面ABCD，如图2，设MD=λPD(0≤λ≤1)．

(1)若λ=23，求证：PB//平面MAC；
(2)若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为 63，求λ的值．
17.(本小题12分)
已知三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，BB1=2BC，AA1⊥平面ABC，AC=BC，E为AB的中点，D为A1B1上一点．
(1)求证：AD⊥CE；
(2)当D为A1B1的中点时，求二面角C−AD−B1的余弦值．
18.(本小题12分)
在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，m=(2b−c,csC)，n=(a,csA)，且m//n．
(1)求角A的大小；
(2)求y=2sin2B+cs(π3−2B)的值域．
19.(本小题12分)
如图所示，多面体ABCDEF中，AD//EF//BC，平面ADEF⊥平面BCEF，AD⊥EC，且AD=CD=2，CB=EF=1，∠BCD=π3．
(1)证明：BF⊥DE；
(2)若FB= 2，求直线DC与平面ABF所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
某网店经营的一种商品进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销量P(件)与单价x(元)之间的关系如图折线所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．
(Ⅰ)根据周销量图写出周销量P(件)与单价x(元)之间的函数关系式；
(Ⅱ)写出周利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=eax⋅csx，其中a∈R．
(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)已知f(x)在区间(0,π)上存在唯一的极小值点．
(ⅰ)求实数a的取值范围；
(ⅱ)记f(x)在区间(0,π)上的极小值为g(a)，讨论函数g(a)的单调性．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.B
5.C
6.D
7.A
8.D
9.AD
10.AB
11.ABC
12.ACD
13.−3
14.− 55
15.2
16.解：(1)证明：在平面四边形PBCD中，∵BC⊥PB，PB=6，BC=2，
∴CP=2 10，tan∠BPC=13，又PD⊥CD，DP=2CD，
∴CD=2 2，PD=4 2，tan∠DPC=12，
∴tan∠BPD=tan(∠BPC+∠DPC)=12+131−12×13=1，∴∠BPD=45°．
∴在Rt△PAD中，易得PA=AD=4．
∵DA⊥PB，BC⊥PB，∴AD//BC．
在四棱锥P−ABCD中，连接BD，设BD∩AC=F，连接MF，

∵λ=23，∴DMMP=2，又ADBC=DFFB=2，
∴MF//PB，又MF⊂平面MAC，PB⊄平面MAC，
∴PB//平面MAC．
(2)由题意易知AB，AD，AP两两垂直，故建系如图：

则A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，
∴CD=(−2,2,0)，PD=(0,4,−4)．
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅CD=0n⋅PD=0，即−2x+2y=04y−4z=0，取n=(1,1,1)，
由MD=λPD，得MD=(0,4λ,−4λ)，
∴M(0,4−4λ,4λ)，AM=(0,4−4λ,4λ)．
由直线AM与平面PCD所成角的正弦值为 63，
得|cs〈AM,n〉|=|AM⋅n|AM||n||=|4−4λ+4λ| (4−4λ)2+(4λ)2⋅ 3= 63，解得λ=12．
17.(1)证明：因为AC=BC，E为AB的中点，
所以CE⊥AB.因为AA1⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，
所以AA1⊥CE.因为AA1∩AB=A，
所以CE⊥平面ABB1A1．
因为AD⊂平面ABB1A1，所以AD⊥CE．

(2)解：以C点为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设AC=BC=1，则A(1,0,0)，C(0,0,0)，D(12,12,2)，E(12,12,0)．
所以CA=(1,0,0)，CD=(12,12,2)．
易知平面ABB1A1的一个法向量为CE=(12,12,0)．
设平面ACD的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CA=0,m⋅CD=0,即x=0,12x+12y+2z=0,亦即x=0,y+4z=0.
令z=−1，则平面ACD的一个法向量为m=(0,4,−1)．
所以|cs〈m,CE〉|=|CE⋅m||CE||m|=2 24× 17=2 3417．
故二面角C−AD−B1的余弦值为2 3417．
18.解：(1)由m//n得(2b−c)⋅csA−acsC=0，
由正弦定理得2sinBcsA−sinCcsA−sinAcsC=0，2sinBcsA−sin(A+C)=0，
∴2sinBcsA−sinB=0，
∵A,B∈(0,π)∴sinB≠0,csA=12，∴A=π3
(2)y=sin2B+csπ3cs2B+sinπ3sin2B，=1−12cs2B+ 32sin2B．
=sin(2B−π6)+1，
由(1)得0∴sin(2B−π6)∈(−12,1]∴y∈(12,2]．
答：角A的大小；函数的值域为y∈(12,2]
19.(1)证明：∵EF//BC且EF=BC，
∴四边形EFBC为平行四边形，
∴BF//EC，
又AD//EF，AD⊥EC，
∴BF⊥EF，
∵平面ADEF⊥平面BCEF，且平面ADEF∩平面BCEF=EF，BF⊂平面BCEF，
∴BF⊥平面ADEF，
又DE⊂平面ADEF，
∴BF⊥DE．

(2)解：连接DF，
在△BCD中，由余弦定理知，BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcs∠BCD=1+4−2×1×2×12=3，
∴CD2=BC2+BD2，即BC⊥BD，
∵BC⊥BF，且BD∩BF=B，
∴BC⊥平面BFD，
∵EF//BC，∴EF⊥平面BFD，
由(1)知BF⊥平面ADEF，
∵DF⊂平面ADEF，∴DF⊥BF，
故FD，FE，FB两两垂直，
∵BD= 3，FB= 2，∴FD=1，
以F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则F(0,0,0)，A(−2,0,1)，B(0, 2,0)，C(1, 2,0)，D(0,0,1)，
∴DC=(1, 2,−1)，FA=(−2,0,1)，FB=(0, 2,0)，
设平面ABF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅FA=0n⋅FB=0，即−2x+z=0 2y=0，
取n=(1,0,2)，
设直线DC与平面ABF所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|1−22× 5|= 510，
故直线DC与平面ABF所成角的正弦值为 510．
20.解：(Ⅰ)当x∈[12,20]时，P=k1x+b1，代入点(12,26)，(20,10)，
得k1=−2，b1=50，∴P=−2x+50；
同理x∈(20,28]时，P=−x+30，
∴周销量P(件)与单价x(元)之间的函数关系式P=−2x+50,12≤x≤20−x+30,20(Ⅱ)y=P(x−10)−25
=(−2x+50)(x−10)−25,12≤x≤20,(−x+30)(x−10)−2520当x∈[12,20]时，y=−2(x−352)2+1752，x=352时，ymax=1752；
x∈(20,28]时，y=−(x−20)2+75，函数单调递减，∴y<75，
综上所述，x=352时，ymax=1752．
21.解：(1)当a=2时，f(x)=e2x⋅csx，
f′(x)=e2x(2csx−sinx)，
f(0)=1，f′(0)=2，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x+1．
(2)(ⅰ)f′(x)=eax(acsx−sinx)，
当a=0时，f(x)=csx，在区间(0,π)上单调递减，不存在极值点，
当a>0时，在[π2,π)时，acsx−sinx<0，f′(x)<0，
由函数y=tanx的图象及性质，可得存在x1∈(0,π2)，使得tanx1=a，即acsx1−sinx1=0，
所以当x∈(0,x1)时，acsx−sinx>acsx1−sinx1=0，则f′(x)>0，
当x∈(x1,π2)时，acsx−sinx所以f(x)在(0,x1)上单调递增，在(x1,π)上单调递减，在(0,π)上不存在极小值点．
当a<0时，则当x∈(0,π2]时，acsx−sinx<0，则f′(x)<0，
由函数y=tanx的图象和性质，存在t∈(π2,π)，使得tant=a，即acst−sint=0，
所以当x∈(π2,t)时，acsx−sinx当x∈(t,π)时，acsx−sinx>acst−sint=0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(0,t)上单调递减，在(t,π)上单调递增，
此时x=t为f(x)在区间(0,π)上的唯一的极小值点，
综上所述，实数a的取值范围为(−∞,0)．
(ⅱ)由(ⅰ)，a<0，f(x)在(0,π)上的唯一的极小值点t满足t∈(π2,π)且tant=a，
由此g(a)=f(t)=eat⋅cst=ettant⋅cst，
令ℎ(x)=extanx⋅csx，x∈(π2,π)，
则g(a)=ℎ(t)，且ℎ′(x)=extanx[(tanx+xcs2x)csx−sinx]=extanx⋅xcsx<0，
所以ℎ(x)在区间(π2,π)上单调递减，
下面证明函数g(a)在区间(−∞,0)上单调递减，
对于任意的a1则t1，t2∈(π2,π)，且tant1=a1，tant2=a2，
由a1又由ℎ(x)在区间(π2,π)上单调递减，
所以g(a1)=ℎ(t1)>ℎ(t2)=g(a2)，
综上所述，对于任意的a1g(a2)，即g(a)在区间(−∞,0)上单调递减．

2023-2024学年福建省福州市格致中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网