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2023-2024学年福建省福州市多校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省福州市多校联考高二（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知A={x|2x>1}，B={x|x2+x−2≤0}，则A∪B=( )
A. {x|x>−2}B. {x|x≥−2}C. {x|02.若复数z满足z+i=2i(z−i)，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
3.已知向量a=(3,4)，|b|= 3，且a与b的夹角θ=π6，则|a−b|=( )
A. 10B. 10C. 13D. 13
4.圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为( )
A. 10πB. 20πC. 8πD. 16π
5.某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成.其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为( )
A. 5B. 4.5C. 3.5D. 18
6.已知α为锐角，且cs(α+π6)=35，则sinα=( )
A. 3+110B. 2− 35C. 2 3−110D. 4 3−310
7.命题p：00,a≠1)在(−∞,3)上单调，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A. [53,136)B. [53,196)C. (136,83]D. (136,196]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量a=(m,n)(m,n∈R)，b=(1,2)，则以下说法正确的是( )
A. a//b⇔1m=2n
B. a⊥b⇒m+2n=0
C. 若m≠0，n=0，则cs〈a,b〉=± 55
D. 若a=(2,1)，则b在a方向上的投影向量的坐标为(85,45)
10.已知正数a，b满足a+5b=ab，则( )
A. 1a+5b=1B. a与b可能相等
C. ab≥6D. a+b的最小值为6+2 5
11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点(包括边界)，且B1F//平面A1BE，则下列说法正确的有( )
A. 动点F轨迹的长度为 2
B. 三棱锥B1−D1EF体积的最小值为13
C. B1F与A1B不可能垂直
D. 当三棱锥B1−D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为25π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若角α满足tanα=2，则sin(π−α)+cs(3π2+α)sin(π2−α)−cs(−π−α)= ______．
13.某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查.他们从3～6岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x份.因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本.若在7～12岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在16～18岁年龄段的问卷中抽取的份数为______．
14.已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax2+x+2，若对任意的1−3成立，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设a为常数，函数f(x)=asin2x+cs(2π−2x)+1(x∈R)．
(1)设a= 3，求函数y=f(x)的严格增区间；
(2)若函数y=f(x)为偶函数，求此函数在[−π4,π4]上的值域．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，点E在棱PD上．
(1)求证：AC⊥平面PBD；
(2)若OP=2，点E为PD的中点，求二面角P−AC−E的余弦值．
17.(本小题15分)
2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
(1)求a，b的值；
(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x−=90，标准差s=6，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−ac=sinC−sinAsinB+sinA．
(1)求角B；
(2)若△ABC为锐角三角形，AC=2，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
19.(本小题17分)
若定义在D上的函数f(x)满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，最小的M称为函数f(x)的上确界．
(1)求函数f(x)=|sinx|+sinx的上确界；
(2)已知函数f(x)=1lnx+x+lnx+x−4,x∈(23,2)，证明：2为函数f(x)的一个上界；
(3)已知函数f(x)=4−x+λ+2x2x,x∈[0,+∞)，若3为f(x)的上界，求实数λ的取值范围．
参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10．
答案解析
1.B
【解析】解：∵A={x|2x>1}={x|x>0}，
B={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，
∴A∪B={x|x≥−2}．
故选：B．
2.A
【解析】解：由已知可得z+i=2iz+2，
则z=2−i1−2i，所以|z|=|2−i1−2i|=|2−i||1−2i|= 22+(−1)2 12+(−2)2= 5 5=1．
故选：A．
3.C
【解析】解：因为a=(3,4)，所以|a|= 32+42=5，
因为|b|= 3，且a与b的夹角θ=π6，
所以a⋅b=|a||b|csπ6=5× 3× 32=152，
所以|a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 25−2×152+3= 13．
故选：C．
4.D
【解析】解：根据题意，圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，
则该圆台的上、下底面的半径分别为1和3，
又由其母线长为4，
则圆台的侧面积为S=2π×(1+3)2×4=16π．
故选：D．
5.A
【解析】解：设红队的得分数据分别为x1，x2，…，x6，黄队的得分数据分别为x7，x8，…，x12，
则红队数据的平均数为16i=16xi=3，可得i=16xi=18，方差为16i=16(xi−3)2=5，可得i=16(xi−3)2=30．
黄队数据的平均数为16i=712xi=5，可得i=712xi=30，方差为16i=712(xi−5)2=3，可得i=712(xi−5)2=18．
两组数据混合后，新数据的平均数为112i=112xi=18+3012=4，
方差为112[i=16(xi−4)2+i=712(xi−4)2]=112[i=16(xi−3−1)2+i=712(xi−5+1)2]
=112[i=16(xi−3)2+i=712(xi−5)2−2i=16(xi−3)+2i=712(xi−5)+12]
=112×[30+18−2×(3−3)×6+2×(5−5)×6+12]=5．
故选：A．
6.D
【解析】解：α为锐角，且cs(α+π6)=35，
则sin(α+π6)=45，
所以sinα=sin[(α+π6)−π6]=sin(α+π6)csπ6−cs(α+π6)sinπ6=45× 32−35×12=4 3−310．
故选：D．
7.A
【解析】解：设t=6−ax，则f(x)=lga(6−ax)(a>0,a≠1)可化为y=lgat.
充分性：当00，
所以f(x)=lga(6−ax)(a>0,a≠1)在(−∞,3)上单调递增，因此充分性成立．
必要性：当00，
所以f(x)=lga(6−ax)(a>0,a≠1)在(−∞,3)上单调递增；
当a>1时，y=lgat在(−∞,3)上单调递增，t=6−ax在(−∞,3)上单调递减，且t=6−ax>0在(−∞,3)上恒成立，
所以6−3a≥0，则1此时函数f(x)=lga(6−ax)(a>0,a≠1)在(−∞,3)上单调递减．
综上可知，当函数f(x)=lga(6−ax)(a>0,a≠1)在(−∞,3)上单调时，0所以p是q的充分不必要条件．
故选：A．
8.C
【解析】解：当ω<0时，不能满足在区间(0,π)极值点比零点多，所以ω>0；
函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，
ωx+π3∈(π3,ωπ+π3)，
∴5π2<ωπ+π3≤3π，
求得136<ω≤83，
故选：C．
9.BCD
【解析】解：对于A：当a=(0,0)时，满足a//b，但是1m、2n无意义，故A错误；
对于B：当a⊥b，则a⋅b=m+2n=0，故B正确；
对于C：若a=(m,0)(m≠0)，则cs〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=m|m|× 5=± 55，故C正确；
对于D：若a=(2,1)，则b⋅a=2×1+1×2=4，|a|= 22+12= 5，
所以b在a方向上的投影向量的坐标为b⋅a|a|2⋅a=45a=45(2,1)=(85,45)，故D正确．
故选：BCD．
10.BD
【解析】解：因为正数a，b满足a+5b=ab，
两边同时除以ab，得1b+5a=1，A错误；
当a=b=6时，显然符合题意，B正确；
因为ab=a+5b≥2 5ab，当且仅当a=5b，即b=2，a=10时取等号，
所以 ab≥2 5，C错误；
a+b=(a+b)(1b+5a)=6+ab+5ba≥6+2 ab⋅5ba=6+2 5，当且仅当a= 5b，即b=1+ 5，a=5+ 5时取等号，D正确．
故选：BD．
11.AB
【解析】解：取CC1中点M，C1D1的中点N，连接B1M，B1N，MN，ME，则MN//CD1，
正方体中易知CD1//A1B，从而MN//A1B，
又MN⊄平面A1BE，而A1B⊂平面A1BE，所以MN//平面A1BE，
又正方体中ME与C1D1平行且相等，从而ME与A1B1平行且相等，则A1B1ME是平行四边形，所以B1M//A1E，同理可得证B1M//平面A1BE，
B1M∩MN=M，B1M，MN⊂平面A1MN，所以平面B1MN//平面A1BE，
平面B1MN∩平面CDD1C1=MN，所以当F∈MN时，B1F//平面A1BE，即线段MN为点F的轨迹，MN=12CD1= 2，A正确；
三棱锥B1−D1EF中，B1到平面D1EF的距离为定值2，当F与N重合时，△D1EF的面积最小值，此时S△D1EF=12×1×1=12，所以体积最小值为V=13×12×2=13，B正确；
连接C1D，AB，正方体中易知A1B⊥AB1，
AD⊥平面ABB1A1，而A1B⊂平面ABB1A1，所以AD⊥A1B，
AD∩AB1=A，AD，AB1⊂平面ADC1B1，则A1B⊥平面ADC1B1，
设MN∩平面ADC1B1=F(即C1D与MN的交点为F)，此时B1F⊂平面DAB1C1，
所以A1B⊥B1F，C错；
由选项B讨论可知当F与点M重合时，三棱锥B1−D1DF的体积，取AA1中点H，连接MH，则MH//A1C1，
正方体中同理选项C中证明可证A1C1⊥平面B1D1D，所以MH⊥平面B1D1D，
正方体中MH与B1D交于点O且O为MH，B1D的中点，△B1D1D是直角三角形且∠B1D1D=90°，则O是△B1D1D的外心，
因此三棱锥B1−D1DM的外接球的球心K在直线MH上，设外接球半径为R，即KB1=KM=R，又MO=12MH=12A1C1= 2，B1O=12B1D= 3，
由MH⊥平面B1D1D，B1D⊂平面B1D1D得MH⊥B1D，
由勾股定理得R2=( 3)2+(R− 2)2，解得R=5 24，所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×(5 24)2=25π2，D错．
故选：AB．
12.2
【解析】解：sin(π−α)+cs(3π2+α)sin(π2−α)−cs(−π−α)
=sinα+sinαcsα−(−csα)
=tanα
=2．
故答案为：2．
13.120份
【解析】解：因为7～12岁年龄段回收了180份问卷，而样本在7～12岁年龄段的问卷中抽取了60份，
所以抽样比为60180=13，
因为分层抽取的样本的容量为300，故回收的问卷品数为30013=900(份)，
可得x=90−120−180−260=360(份)，
所以在16～18岁年龄段中抽取的问卷为360×13=120(份)．
故答案为：120份．
14.[−34,+∞)
【解析】解：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax2+x+2，
可得f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)=ax2−x+2，
联立方程组f(x)+g(x)=ax2+x+2−f(x)+g(x)=ax2−x+2，解得g(x)=ax2+2，
又因为对任意的1−3成立，
所以g(x1)−g(x2)<−3x1+3x2，所以g(x1)+3x1构造ℎ(x)=g(x)+3x=ax2+3x+2，
所以由上述过程可得ℎ(x)=ax2+3x+2在x∈(1,2)单调递增，
(i)若a<0，则对称轴x0=−32a≥2，解得−34≤a<0；
(ii) 若a=0，ℎ(x)=3x+2在x∈(1,2)单调递增，满足题意；
(iii) 若a>0，则对称轴x0=−32a≤1恒成立；
综上可得，a≥−34，即实数a的取值范围为[−34,+∞)．
故答案为：[−34,+∞)．
15.解：(1)当a= 3时，函数f(x)= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．
所以此函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；
(2)由题意，得函数f(x)的定义域为R，
因为函数y=f(x)为偶函数，
所以对于任意x∈R，均有f(−x)=f(x)成立，
即asin(−2x)+cs(−2x)+1=asin2x+cs2x+1，
即2asin2x=0对于任意实数x均成立，
只有当a=0时成立，此时f(x)=cs2x+1．
因为0≤cs2x≤1，所以1≤1+cs2x≤2，
故此函数的值域为[1,2]．
【解析】(1)结合辅助角公式先化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
(2)结合偶函数的定义先求出a，然后结合余弦函数的性质即可求解函数的值域．
16.解：(1)证明：因为PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PO⊥AC，
因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
又BD∩PO=O，BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，
所以AC⊥平面PBD．
(2)如图，连接OE，则OE⊂平面ACE，
由AC⊥平面PBD，OE⊂平面PBD，OP⊂平面PBD，
得AC⊥OE，AC⊥OP，
故∠POE即为二面角P−AC−E的平面角，
在菱形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=120°，
所以BD=2 3,OD= 3，
又PO=2，所以PB=PD= 22+( 3)2= 7，
由点E为PD的中点，得OE=12PD= 72,PE=12PD= 72，
所以△POE为等腰三角形，
在△POE内过点E作高，垂足为H，则HO=1，
所以cs∠POE=cs∠HOE=HOOE=1 72=2 77，
即二面角P−AC−E的余弦值为2 77．
【解析】(1)先根据线面垂直的性质定理得PO⊥AC，再结合菱形性质利用线面垂直的判定定理证明即可．
(2)根据二面角的平面角定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的边角关系求解即可．
17.解：(1)由题意知，所以0.0162=0.008a，
解得a=0.032，
又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1，
解得b=0.004．
所以a=0.032，b=0.004；
(2)成绩落在[50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48，
落在[50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88，
设第80百分位数为m，则(m−70)0.04=0.8−0.48，
解得m=78，所以晋级分数线划为78分合理；
(3)x−=90，
故x1+x2+x3+⋯+x10=10×90=900，
又s2=110(x12+x22+⋯+x102)−902=62，x12+x22+⋯+x102=81360，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为x1，x2，x3，…，x8，
平均数与标准差分别为x0−，s0，
则剩余8个分数的平均数：x0−=x1+x2+x3+⋯+x88=900−95−858=90，
方差：s02=18(x12+x22+⋯+x82)−902=18(81360−952−852)−902=38.75．
【解析】(1)由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出a的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值；
(2)利用频率分布直方图计算第80百分位数即可；
(3)根据平均数和方差的计算公式求出结果．
18.解：(1)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−ac=sinC−sinAsinB+sinA．
由正弦定理得b−ac=c−ab+a，
所以a2+c2−b2=ac，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
又B∈(0,π)，所以B=π3；
(2)△ABC为锐角三角形，AC=2，D是线段AC的中点，
因为a2+c2−b2=ac，所以a2+c2=ac+4．
又BD=12(BA+BC)，
所以BD2=[12(BA+BC)]2=14(a2+c2+ac)=1+12ac，
由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2sinπ3=4 33，所以a=4 33sinA，c=4 33sinC，
所以ac=4 33sinA⋅4 33sinC=163sinAsin(A+π3)=83sin(2A−π6)+43，
又△ABC为锐角三角形，所以0所以ac∈(83,4]，所以BD2∈(73,3],
所以BD∈( 213, 3]，即BD的长的取值范围是( 213, 3]．
【解析】(1)根据正弦定理和余弦定理求解即可；
(2)根据正弦定理和向量的相关知识求解即可．
19.解：(1)依题意f(x)=2sinx,2kπ≤x≤π+2kπ0,π+2kπ故f(x)∈[0,2]，|f(x)|≤2，
故f(x)=|sinx|+sinx的上确界为2；
(2)证明：令lnx+x=t∈(ln23+23,2+ln2)，
故原函数化为g(t)=t+1t−4，
由对勾函数性质可知，g(t)在t∈(ln23+23,1)上单调递减，在t∈(1,ln 2+2)上单调递增，
且g(1)=−2,−2故|g(t)|<2，故2为函数f(x)的一个上界；
(3)依题意，|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立，即−3≤f(x)≤3对x∈[0,+∞)恒成立，
令t=12x∈(0,1]，故−(t+4t)≤λ≤2t−t对t∈(0,1]恒成立，
所以[−(t+4t)]max≤λ≤(2t−t)min，
设ℎ(t)=−(t+4t)，p(t)=2t−t,t∈(0,1],
因为ℎ(t)在(0,1]上单调递增，p(t)在(0,1]上单调递减，
所以ℎ(t)在(0,1]上的最大值为ℎ(1)=−5，p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)=1，
所以实数λ的取值范围为[−5,1]．
【解析】(1)依题意f(x)=2sinx,2kπ≤x≤π+2kπ0,π+2kπ(2)令lnx+x=t∈(ln23+23,2+ln2)，故原函数化为g(t)=t+1t−4，再结合对勾函数的性质证明即可；
(3)依题意，−3≤f(x)≤3对x∈[0,+∞)恒成立，令t=12x∈(0,1]，故−(t+4t)≤λ≤2t−t对t∈(0,1]恒成立，所以[−(t+4t)]max≤λ≤(2t−t)min，再利用对勾函数的性质求解即可．
1.已知A={x|2x>1}，B={x|x2+x−2≤0}，则A∪B=( )
A. {x|x>−2}B. {x|x≥−2}C. {x|0
A. 1B. 2C. 3D. 2
3.已知向量a=(3,4)，|b|= 3，且a与b的夹角θ=π6，则|a−b|=( )
A. 10B. 10C. 13D. 13
4.圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为( )
A. 10πB. 20πC. 8πD. 16π
5.某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成.其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为( )
A. 5B. 4.5C. 3.5D. 18
6.已知α为锐角，且cs(α+π6)=35，则sinα=( )
A. 3+110B. 2− 35C. 2 3−110D. 4 3−310
7.命题p：0
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A. [53,136)B. [53,196)C. (136,83]D. (136,196]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量a=(m,n)(m,n∈R)，b=(1,2)，则以下说法正确的是( )
A. a//b⇔1m=2n
B. a⊥b⇒m+2n=0
C. 若m≠0，n=0，则cs〈a,b〉=± 55
D. 若a=(2,1)，则b在a方向上的投影向量的坐标为(85,45)
10.已知正数a，b满足a+5b=ab，则( )
A. 1a+5b=1B. a与b可能相等
C. ab≥6D. a+b的最小值为6+2 5
11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点(包括边界)，且B1F//平面A1BE，则下列说法正确的有( )
A. 动点F轨迹的长度为 2
B. 三棱锥B1−D1EF体积的最小值为13
C. B1F与A1B不可能垂直
D. 当三棱锥B1−D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为25π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若角α满足tanα=2，则sin(π−α)+cs(3π2+α)sin(π2−α)−cs(−π−α)= ______．
13.某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查.他们从3～6岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x份.因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本.若在7～12岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在16～18岁年龄段的问卷中抽取的份数为______．
14.已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax2+x+2，若对任意的1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设a为常数，函数f(x)=asin2x+cs(2π−2x)+1(x∈R)．
(1)设a= 3，求函数y=f(x)的严格增区间；
(2)若函数y=f(x)为偶函数，求此函数在[−π4,π4]上的值域．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，点E在棱PD上．
(1)求证：AC⊥平面PBD；
(2)若OP=2，点E为PD的中点，求二面角P−AC−E的余弦值．
17.(本小题15分)
2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
(1)求a，b的值；
(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x−=90，标准差s=6，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−ac=sinC−sinAsinB+sinA．
(1)求角B；
(2)若△ABC为锐角三角形，AC=2，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
19.(本小题17分)
若定义在D上的函数f(x)满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，最小的M称为函数f(x)的上确界．
(1)求函数f(x)=|sinx|+sinx的上确界；
(2)已知函数f(x)=1lnx+x+lnx+x−4,x∈(23,2)，证明：2为函数f(x)的一个上界；
(3)已知函数f(x)=4−x+λ+2x2x,x∈[0,+∞)，若3为f(x)的上界，求实数λ的取值范围．
参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10．
答案解析
1.B
【解析】解：∵A={x|2x>1}={x|x>0}，
B={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，
∴A∪B={x|x≥−2}．
故选：B．
2.A
【解析】解：由已知可得z+i=2iz+2，
则z=2−i1−2i，所以|z|=|2−i1−2i|=|2−i||1−2i|= 22+(−1)2 12+(−2)2= 5 5=1．
故选：A．
3.C
【解析】解：因为a=(3,4)，所以|a|= 32+42=5，
因为|b|= 3，且a与b的夹角θ=π6，
所以a⋅b=|a||b|csπ6=5× 3× 32=152，
所以|a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 25−2×152+3= 13．
故选：C．
4.D
【解析】解：根据题意，圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，
则该圆台的上、下底面的半径分别为1和3，
又由其母线长为4，
则圆台的侧面积为S=2π×(1+3)2×4=16π．
故选：D．
5.A
【解析】解：设红队的得分数据分别为x1，x2，…，x6，黄队的得分数据分别为x7，x8，…，x12，
则红队数据的平均数为16i=16xi=3，可得i=16xi=18，方差为16i=16(xi−3)2=5，可得i=16(xi−3)2=30．
黄队数据的平均数为16i=712xi=5，可得i=712xi=30，方差为16i=712(xi−5)2=3，可得i=712(xi−5)2=18．
两组数据混合后，新数据的平均数为112i=112xi=18+3012=4，
方差为112[i=16(xi−4)2+i=712(xi−4)2]=112[i=16(xi−3−1)2+i=712(xi−5+1)2]
=112[i=16(xi−3)2+i=712(xi−5)2−2i=16(xi−3)+2i=712(xi−5)+12]
=112×[30+18−2×(3−3)×6+2×(5−5)×6+12]=5．
故选：A．
6.D
【解析】解：α为锐角，且cs(α+π6)=35，
则sin(α+π6)=45，
所以sinα=sin[(α+π6)−π6]=sin(α+π6)csπ6−cs(α+π6)sinπ6=45× 32−35×12=4 3−310．
故选：D．
7.A
【解析】解：设t=6−ax，则f(x)=lga(6−ax)(a>0,a≠1)可化为y=lgat.
充分性：当0
所以f(x)=lga(6−ax)(a>0,a≠1)在(−∞,3)上单调递增，因此充分性成立．
必要性：当0
所以f(x)=lga(6−ax)(a>0,a≠1)在(−∞,3)上单调递增；
当a>1时，y=lgat在(−∞,3)上单调递增，t=6−ax在(−∞,3)上单调递减，且t=6−ax>0在(−∞,3)上恒成立，
所以6−3a≥0，则1
综上可知，当函数f(x)=lga(6−ax)(a>0,a≠1)在(−∞,3)上单调时，0
故选：A．
8.C
【解析】解：当ω<0时，不能满足在区间(0,π)极值点比零点多，所以ω>0；
函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，
ωx+π3∈(π3,ωπ+π3)，
∴5π2<ωπ+π3≤3π，
求得136<ω≤83，
故选：C．
9.BCD
【解析】解：对于A：当a=(0,0)时，满足a//b，但是1m、2n无意义，故A错误；
对于B：当a⊥b，则a⋅b=m+2n=0，故B正确；
对于C：若a=(m,0)(m≠0)，则cs〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=m|m|× 5=± 55，故C正确；
对于D：若a=(2,1)，则b⋅a=2×1+1×2=4，|a|= 22+12= 5，
所以b在a方向上的投影向量的坐标为b⋅a|a|2⋅a=45a=45(2,1)=(85,45)，故D正确．
故选：BCD．
10.BD
【解析】解：因为正数a，b满足a+5b=ab，
两边同时除以ab，得1b+5a=1，A错误；
当a=b=6时，显然符合题意，B正确；
因为ab=a+5b≥2 5ab，当且仅当a=5b，即b=2，a=10时取等号，
所以 ab≥2 5，C错误；
a+b=(a+b)(1b+5a)=6+ab+5ba≥6+2 ab⋅5ba=6+2 5，当且仅当a= 5b，即b=1+ 5，a=5+ 5时取等号，D正确．
故选：BD．
11.AB
【解析】解：取CC1中点M，C1D1的中点N，连接B1M，B1N，MN，ME，则MN//CD1，
正方体中易知CD1//A1B，从而MN//A1B，
又MN⊄平面A1BE，而A1B⊂平面A1BE，所以MN//平面A1BE，
又正方体中ME与C1D1平行且相等，从而ME与A1B1平行且相等，则A1B1ME是平行四边形，所以B1M//A1E，同理可得证B1M//平面A1BE，
B1M∩MN=M，B1M，MN⊂平面A1MN，所以平面B1MN//平面A1BE，
平面B1MN∩平面CDD1C1=MN，所以当F∈MN时，B1F//平面A1BE，即线段MN为点F的轨迹，MN=12CD1= 2，A正确；
三棱锥B1−D1EF中，B1到平面D1EF的距离为定值2，当F与N重合时，△D1EF的面积最小值，此时S△D1EF=12×1×1=12，所以体积最小值为V=13×12×2=13，B正确；
连接C1D，AB，正方体中易知A1B⊥AB1，
AD⊥平面ABB1A1，而A1B⊂平面ABB1A1，所以AD⊥A1B，
AD∩AB1=A，AD，AB1⊂平面ADC1B1，则A1B⊥平面ADC1B1，
设MN∩平面ADC1B1=F(即C1D与MN的交点为F)，此时B1F⊂平面DAB1C1，
所以A1B⊥B1F，C错；
由选项B讨论可知当F与点M重合时，三棱锥B1−D1DF的体积，取AA1中点H，连接MH，则MH//A1C1，
正方体中同理选项C中证明可证A1C1⊥平面B1D1D，所以MH⊥平面B1D1D，
正方体中MH与B1D交于点O且O为MH，B1D的中点，△B1D1D是直角三角形且∠B1D1D=90°，则O是△B1D1D的外心，
因此三棱锥B1−D1DM的外接球的球心K在直线MH上，设外接球半径为R，即KB1=KM=R，又MO=12MH=12A1C1= 2，B1O=12B1D= 3，
由MH⊥平面B1D1D，B1D⊂平面B1D1D得MH⊥B1D，
由勾股定理得R2=( 3)2+(R− 2)2，解得R=5 24，所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×(5 24)2=25π2，D错．
故选：AB．
12.2
【解析】解：sin(π−α)+cs(3π2+α)sin(π2−α)−cs(−π−α)
=sinα+sinαcsα−(−csα)
=tanα
=2．
故答案为：2．
13.120份
【解析】解：因为7～12岁年龄段回收了180份问卷，而样本在7～12岁年龄段的问卷中抽取了60份，
所以抽样比为60180=13，
因为分层抽取的样本的容量为300，故回收的问卷品数为30013=900(份)，
可得x=90−120−180−260=360(份)，
所以在16～18岁年龄段中抽取的问卷为360×13=120(份)．
故答案为：120份．
14.[−34,+∞)
【解析】解：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax2+x+2，
可得f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)=ax2−x+2，
联立方程组f(x)+g(x)=ax2+x+2−f(x)+g(x)=ax2−x+2，解得g(x)=ax2+2，
又因为对任意的1
所以g(x1)−g(x2)<−3x1+3x2，所以g(x1)+3x1
所以由上述过程可得ℎ(x)=ax2+3x+2在x∈(1,2)单调递增，
(i)若a<0，则对称轴x0=−32a≥2，解得−34≤a<0；
(ii) 若a=0，ℎ(x)=3x+2在x∈(1,2)单调递增，满足题意；
(iii) 若a>0，则对称轴x0=−32a≤1恒成立；
综上可得，a≥−34，即实数a的取值范围为[−34,+∞)．
故答案为：[−34,+∞)．
15.解：(1)当a= 3时，函数f(x)= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．
所以此函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；
(2)由题意，得函数f(x)的定义域为R，
因为函数y=f(x)为偶函数，
所以对于任意x∈R，均有f(−x)=f(x)成立，
即asin(−2x)+cs(−2x)+1=asin2x+cs2x+1，
即2asin2x=0对于任意实数x均成立，
只有当a=0时成立，此时f(x)=cs2x+1．
因为0≤cs2x≤1，所以1≤1+cs2x≤2，
故此函数的值域为[1,2]．
【解析】(1)结合辅助角公式先化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
(2)结合偶函数的定义先求出a，然后结合余弦函数的性质即可求解函数的值域．
16.解：(1)证明：因为PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PO⊥AC，
因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
又BD∩PO=O，BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，
所以AC⊥平面PBD．
(2)如图，连接OE，则OE⊂平面ACE，
由AC⊥平面PBD，OE⊂平面PBD，OP⊂平面PBD，
得AC⊥OE，AC⊥OP，
故∠POE即为二面角P−AC−E的平面角，
在菱形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=120°，
所以BD=2 3,OD= 3，
又PO=2，所以PB=PD= 22+( 3)2= 7，
由点E为PD的中点，得OE=12PD= 72,PE=12PD= 72，
所以△POE为等腰三角形，
在△POE内过点E作高，垂足为H，则HO=1，
所以cs∠POE=cs∠HOE=HOOE=1 72=2 77，
即二面角P−AC−E的余弦值为2 77．
【解析】(1)先根据线面垂直的性质定理得PO⊥AC，再结合菱形性质利用线面垂直的判定定理证明即可．
(2)根据二面角的平面角定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的边角关系求解即可．
17.解：(1)由题意知，所以0.0162=0.008a，
解得a=0.032，
又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1，
解得b=0.004．
所以a=0.032，b=0.004；
(2)成绩落在[50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48，
落在[50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88，
设第80百分位数为m，则(m−70)0.04=0.8−0.48，
解得m=78，所以晋级分数线划为78分合理；
(3)x−=90，
故x1+x2+x3+⋯+x10=10×90=900，
又s2=110(x12+x22+⋯+x102)−902=62，x12+x22+⋯+x102=81360，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为x1，x2，x3，…，x8，
平均数与标准差分别为x0−，s0，
则剩余8个分数的平均数：x0−=x1+x2+x3+⋯+x88=900−95−858=90，
方差：s02=18(x12+x22+⋯+x82)−902=18(81360−952−852)−902=38.75．
【解析】(1)由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出a的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值；
(2)利用频率分布直方图计算第80百分位数即可；
(3)根据平均数和方差的计算公式求出结果．
18.解：(1)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−ac=sinC−sinAsinB+sinA．
由正弦定理得b−ac=c−ab+a，
所以a2+c2−b2=ac，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
又B∈(0,π)，所以B=π3；
(2)△ABC为锐角三角形，AC=2，D是线段AC的中点，
因为a2+c2−b2=ac，所以a2+c2=ac+4．
又BD=12(BA+BC)，
所以BD2=[12(BA+BC)]2=14(a2+c2+ac)=1+12ac，
由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2sinπ3=4 33，所以a=4 33sinA，c=4 33sinC，
所以ac=4 33sinA⋅4 33sinC=163sinAsin(A+π3)=83sin(2A−π6)+43，
又△ABC为锐角三角形，所以0
所以BD∈( 213, 3]，即BD的长的取值范围是( 213, 3]．
【解析】(1)根据正弦定理和余弦定理求解即可；
(2)根据正弦定理和向量的相关知识求解即可．
19.解：(1)依题意f(x)=2sinx,2kπ≤x≤π+2kπ0,π+2kπ
故f(x)=|sinx|+sinx的上确界为2；
(2)证明：令lnx+x=t∈(ln23+23,2+ln2)，
故原函数化为g(t)=t+1t−4，
由对勾函数性质可知，g(t)在t∈(ln23+23,1)上单调递减，在t∈(1,ln 2+2)上单调递增，
且g(1)=−2,−2
(3)依题意，|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立，即−3≤f(x)≤3对x∈[0,+∞)恒成立，
令t=12x∈(0,1]，故−(t+4t)≤λ≤2t−t对t∈(0,1]恒成立，
所以[−(t+4t)]max≤λ≤(2t−t)min，
设ℎ(t)=−(t+4t)，p(t)=2t−t,t∈(0,1],
因为ℎ(t)在(0,1]上单调递增，p(t)在(0,1]上单调递减，
所以ℎ(t)在(0,1]上的最大值为ℎ(1)=−5，p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)=1，
所以实数λ的取值范围为[−5,1]．
【解析】(1)依题意f(x)=2sinx,2kπ≤x≤π+2kπ0,π+2kπ
(3)依题意，−3≤f(x)≤3对x∈[0,+∞)恒成立，令t=12x∈(0,1]，故−(t+4t)≤λ≤2t−t对t∈(0,1]恒成立，所以[−(t+4t)]max≤λ≤(2t−t)min，再利用对勾函数的性质求解即可．
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