人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学ppt课件

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在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法 . 这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理 . 这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式——排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题.
用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号……如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法 . 但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗？
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时
作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理.
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.
思考? 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
因为英文字母共有26个, 阿拉伯数字共有10个, 所以总共可以编出 26+10=36 种不同的号码.
探究! 你能说说这个问题的特征吗?
首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是 “或”字的出现: 一个座位可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示 . 因为英文字母、阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也是互不相同的 . 这两类号码数相加就得到号码的总数.
(1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； (2)分别计算各类号码的个数； (3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
你能举出一些生活中类似的例子吗？
上述计数过程的基本环节是：
一般地，有如下分类加法计数原理
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
解：这名同学可以选择A，B大学中的一所.
分析 : 要完成的事情是“选一个专业” . 因为这名同学在A , B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.
解：这名同学可以选择A，B大学中的一所 . 在A大学中有5种专业选择 方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的.
所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为
探究！如果完成一件事有三类不同方案, 在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法,在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
N＝m1＋m2＋m3
如果完成一件事有n类不同方案, 在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为:
N＝m1＋m2＋…＋mn
练习 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船. 一天中, 火车有4 班 , 汽车有2班，轮船有3班. 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
解: 从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法, 乘火车，有4种方法;
第二类方法, 乘汽车，有2种方法;
第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
所以从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法.
探究！用A , B , C , D , E , F这6个大写英文字母1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题要求不同 . 在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码 .
但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤。
A1A2A3A4A5A6A7A8A9
用下图所示的方法可以列出所有可能的号码.
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有
探究！你能说说这个问题的特征吗？
上述问题要完成的一件事情仍然是给一个座位编号，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.
一般地，有如下分步乘法计数原理：
例2 某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛, 共有多少种不同的选派方法？
解析：第一步: 先选男生 , 从30名男生中选出1人，有30种不同选法；
根据分步乘法计数原理，共有不同的选法种数为
第二步：选女生有，从24名女生中选出1人, 有24种不同选择 .
分析: 要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可分两步：第一步, 选男生；第二步, 选女生.
练习 如图, 由A村去B村的道路有3条, 由B村去C村的道路有2条. 从A村经B村去C村, 共有多少种不同的走法?
解: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法,
第二步, 由B村去C村有2种方法,
所以 , 从A村经B村去C村共有3×2 = 6 种不同的方法.
探究！如果完成一件事需要三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法 , 做第2步有m2种不同的方法 , 做第3步有m3种不同的方法, 那么完成这件事共有多少种不同的方法？
N= m1×m2×m3
如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法 ， ……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
N= m1×m2×… ×mn
乘法原理看成“串联电路”
加法原理看成“并联电路”;
例 3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书， (1)从书架上任取1本书，有多少不同的取法？ (2)从书架的第1, 2, 3层各取1本书, 有多少不同的取法?
解：(1)从书架上任取1本书，有三类方案：
第1类方案, 从第1层中任取一本计算机书, 有4种方法;
第2类方案, 从第2层中任取一本文艺书, 有3种方法;
第3类方案：从第3层中任取一本体育书, 有2种方法.
根据分类加法记数原理, 不同取法种数是
N = 4+3+2= 9 .
分析: (1)要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；
例 3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书， (2)从书架的第1, 2, 3层各取1本书, 有多少不同的取法?
分析: (2)要完成的一件事是“从书架第1层、第2层、第3层中各取1本书”，可以分三个步骤完成.
解：(2)从书架的第1 , 2 , 3层各取1本书, 可以分成三个步骤完成：
第1步: 从第1层中任取一本计算机书, 有4种方法;
第2步:从第2层中任取一本文艺书, 有3种方法;
第3步:从第3层中任取一本体育书, 有 2 种方法；
根据分步乘法记数原理, 不同取法种数是
N=4×3×2=24 .