素养拓展13 三角形中的“四心”问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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一、知识点梳理
一、三角形的四心定义
外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；
重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
二、三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
重要结论：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、
、，，则有.
三、三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
重要结论：若点是△的外心，则 或
；反之，若或
，则点是△的外心。
四、三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
重要结论：若点是△的内心，则有；反之，若，则点是△的内心．
五、垂心
三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.
重要结论：若是△的垂心，则或
，反之，若或
，则是△的垂心．
二、题型精讲精练
【典例1】若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___．
【答案】
【解析】在中，取中点，连接，由重心的性质可得为的三等分点，且，
又为的中点，所以，所以，所以.故答案为：
【典例2】已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】设中点为，所以，
所以，
即，所以，
又由为中点可得点在的垂直平分线上，所以点是的外心，故选：B
【典例3】已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】C
【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.
【典例4】设为的外心，若，则是的（ ）
A．重心（三条中线交点）B．内心（三条角平分线交点）
C．垂心（三条高线交点）D．外心（三边中垂线交点）
【答案】C
【解析】在中，为外心，可得，
∵，∴，设的中点为，则，，
∴，可得在边的高线上．同理可证，在边的高线上，
故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心，故选：C

【题型训练-刷模拟】
1.重心
一、单选题
1．（四川省泸州市泸县第五中学2023届高三下学期二诊模拟考试文科数学试题）已知△ABC的重心为O，则向量（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．垂心C．内心D．重心
3．（陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）设为的重心，则（ ）
A．0B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）边长为2的正中，G为重心，P为线段BC上一动点，则（ ）
A．1B．2
C．D．
6．（陕西省西安市长安区2023届高三一模理科数学试题）在平行四边形中，为的重心，，则（ ）
A．B．2C．D．3
7．（福建省福州第一中学2023届高三适应性考试（三）数学试题）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
10．（2023·全国·高三专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
11．（江苏省盐城市2022-2023学年高三上学期11月模拟数学试题）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．2
12．（重庆市第八中学校2023届高三上学期高考适应性月考（二）数学试题）在中，，G为的重心，若，则外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（ ）
A．B．C．D．
14．（吉林省吉林市2023届高三第四次调研考试数学试题）点是的重心，，则（ ）
A．32B．30C．16D．14
15．（贵州省毕节市2023届高三诊断性考试（三）数学（文）试题）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
16．（2023·全国·高三专题练习）已知为的重心，，，则的可能取值为（ ）
A．B．1C．D．
17．（重庆市2023届高三学业水平选择性考试模拟调研（二）数学试题）如图，是所在平面内任意一点，是的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．3
三、填空题
19．（山东省济宁市育才中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）在中，为重心，，，则= .
20．（黑龙江省齐齐哈尔市2023届高三二模数学试题）已知等边的重心为O，边长为3，则 .
21．（2023·全国·高三专题练习）已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则 .
22．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为的重心，，，则 .
23．（江苏省南京市教学研究室2022届高三下学期高考前辅导数学试题）在中，，，，为的重心，在边上，且，则 ．
24．（2023·全国·高三专题练习）设为的重心，若，则 ．
25．（2023·全国·高三专题练习）若点为的重心，且，则的最大值为 ．
2.外心
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）点是平面外一点，且，则点在平面上的射影一定是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
2．（2023·全国·高三专题练习）已知O为锐角三角形的外心，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（河南省名校青桐鸣2023届高三3月联考理科数学试题）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
4．（广东省佛山市第一中学2023届高三4月一模数学试题）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
5．（山东省滨州市邹平市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则（ ）
A．B．C．10D．20
6．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题）的外心满足，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．2
7．（重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷））已知点是的外心，，，，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．（2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学理科试题）在中，， ，点满足，点为的外心，则的值为（ ）
A．17B．10C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，点为的外心，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．（河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题）已知O是的外心,且满足,若在上的投影向量为,则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）在中，，为的外心，，，则（ ）
A．2B．C．4D．
12．（2023·全国·高三专题练习）在中，是的外心 ，若，则（ ）
A．B．3C．6D．6
13．（福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试题）已知平面向量 ，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
14．（北京市八一学校2023届高三模拟测试数学试题）已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．0D．2
15．（安徽省黄山市2022-2023学年高三上学期第一次质量检测数学试题）在中,,O是的外心,则的最大值为（ ）
A．1B．C．3D．
二、多选题
16．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）设点是的外心，且，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若是正三角形，则
D．若，，，则四边形的面积是
17．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
18．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，的面积S满足，点O为的外心，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
19．（2023·河北·校联考一模）已知O为的外心，若，且，则 .
20．（2023·河北·模拟预测）已知为的外心，，，则 ．
21．（2023·全国·高三专题练习）在中，为其外心，，若，则 ．
22．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）已知O是的外心，，若且，则的面积为 .
23．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知点O是锐角的外心，，，，若，则 ．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知是的外心，且，则 ．
25．（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则的值为 .
3.内心
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，则直线通过的（ ）
A．垂心B．外心C．重心D．内心
2．（安徽省淮南市2023届高三上学期一模数学试题）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心B．外心C．重心D．垂心
3．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
5．（2023·全国·高三专题练习）平面内及一点满足，则点是的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
6．（山东省聊城市2021届高三三模数学试题）在中，，，，M为BC中点，O为的内心，且，则（ ）
A．B．C．D．1
7．（2023·全国·高三专题练习）若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
8．（2023·全国·高三专题练习）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的
A．外心B．垂心C．重心D．内心
10．（2023·全国·高三专题练习）已知点O是ABC的内心，若，则cs∠BAC = （ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，设O为的内心，则的面积为 ．
12．（2023·天津·三模）设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则 ．
13．（2023·湖北·模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知G为的内心，且，则 ．
4.垂心
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
2．（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中、、两两垂直，是在平面内的射影，则是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
4．（2023·全国·高三专题练习）已知H为的垂心，，，M为边BC的中点，则（ ）
A．20B．10C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
6．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
7．（2023·全国·高三专题练习）已知H为的垂心，若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设是所在平面上一点，点是的垂心，满足，且，则角的大小是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ）
①若，则点为的重心；
②若，，，则；
③若，则点为的垂心；
④若，，且为边中点，则．
A．个B．个C．个D．个
10．（2023·全国·高三专题练习）若是的垂心，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使
12．（2023·全国·高三专题练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
13．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则点的轨迹不可能经过的外心
B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C．若，则点的轨迹不可能经过的重心
D．若，，则点的轨迹一定过的外心
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 .