素养拓展14 平面向量中等和线的应用（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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一、知识点梳理
一、平面向量共线定理
已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然.
二、等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.
当等和线恰为直线AB时，k=1；
当等和线在O点和直线AB之间时，；
当直线AB在点O与等和线之间时，；
当等和线过O点时，k=0；
若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.
三、证明步骤
如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以，于是
综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；
（3）从长度比计算最值.
二、题型精讲精练
【典例1】设是边上的点，,若，则 =（ ）
【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即.
【典例2】如图，四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上，且，点是（含边界）的动点，设，则的最大值为（ ）
【解析】当点位于点时，过点作，交的延长线于,则，且，所以，所以.
故答案为：.
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1.已知为的外心，若且，则（ ）
2.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，，则的值为
A．B．C．1D．4
3.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A.3 B. C. D.2
4.在中，点D是线段BC上任意一点，且满足，若存在实数m和n，使得，则m+n=（ ）
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为F，点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛物线上任意一点，若，则m+n的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为( )

7.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
二、填空题
1.如图，在同一个平面内，向量的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则m+n=______.
2.已知P是内任一点，且满足，，则y+2x的取值范围是_____.
3.如图，正六边形，是内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是____________