素养拓展35 圆锥曲线中的定直线问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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一、知识点梳理
一、定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
【一般策略】
①联立方程消去参；
②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；
③将横纵坐标分别用参数表示，再消参；
④设点，对方程变形解得定直线.
解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线．
目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况：
（1），即动点恒过直线．
（2），即动点恒过直线．
（3），即动点恒过直线．
二、题型精讲精练
【典例1】设动直线与椭圆：有且只有一个公共点，过椭圆右焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，求出定直线的方程．
【解析】证明 ∵直线与椭圆相切，
联立得．
∴．
∴．
切点坐标，，
即，
∴，．
∴方程为．
联立，
∴，
解得．
∴在这条定直线上．
【题型训练1-刷真题】
一、解答题
1．（22·23·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
【题型训练2-刷模拟】
一、解答题
1．已知曲线．
(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．
(2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线上，理由见详解.
【分析】（1）由椭圆的标准方程计算即可；
（2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线MN与椭圆联立消，设直线AN、BM的方程解出G纵坐标，结合韦达定理化简计算即可.
【详解】（1）因为曲线C是椭圆，所以，解得；.
（2）是在定直线上，理由如下：
当时，此时椭圆，设点与直线l联立得，
，且，
所以
易知，则，
两式作商得是定值，
故G在定直线上.

2．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用可整理得到轨迹方程；
（2）设，，表示出直线的方程，联立后可整理得到，联立与双曲线方程可得韦达定理的结论，利用可整理得到所求定直线.
【详解】（1），，，整理可得：，
又，曲线的方程为：.
（2）
由题意知：直线斜率不为，则可设，
设，
则直线，直线，
由得：，
由得：，则，即，
，，，
，解得：，
即点在定直线上.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，消掉变量后可得定直线方程.
3．已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】（1）根据条件得到关于的方程组，即可求得椭圆方程；
（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示线段中点坐标，再根据,以及，转化为坐标表示，代入韦达定理后，即可求
【详解】（1）由条件可知，，解得：，，
所以椭圆C的方程是；
（2）假设在轴上存在点，使且，
联立，设，，
方程整理为，
，解得：或，
，，
则线段的中点的横坐标是，中点纵坐标，
即中点坐标，，
则，即，化简为，①
又,
则，，
整理为，
，
化简为②
由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.
当时，，当时，，满足，
所以存在定点,此时直线方程是，当定点,此时直线方程是.
4．已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线AD与直线BE的交点在定直线上
【分析】（1）由题意表示出，，可得，再由椭圆的定义求出，即可求出椭圆的方程；
（2）设，，的直线方程为，与椭圆联立，由韦达定理得，，化积为和得，表示出直线AD和直线BE的方程的方程，计算可得，即可证明直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上
【详解】（1）设椭圆的右焦点为，左焦点为，，
，解得，
∴，
∴，，，
∴椭圆的方程为．
（2）由题设，直线DE斜率一定存在，设的直线方程为．
联立椭圆方程，消去得．
设，，则，．
∴，
又，，
∴直线AD的方程为，直线BE的方程为．
联立得，
∴．
又∵，∴．
∴直线AD与直线BE的交点在定直线上．
5．椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程．
(2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点M在定直线上
【分析】（1）根据左右顶点及点在椭圆上列式求解写书椭圆方程即可；
（2）先设直线方程再联立方程组求韦达定理，再求两个直线的交点，确定交点横坐标即得.
【详解】（1）设椭圆E的方程为．
则，解得，
故椭圆E的方程为．
（2）依题可设直线l的方程为，，，．
联立方程组，整理得，
则，
直线AP的方程为，直线BQ的方程为，
联立方程组，得
由，得，得．
所以.
故点M在定直线上．
6．已知和是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于M，N两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为，直线与直线相交于点，直线PO与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定直线为
【分析】（1）设，，依题意可得，进而结合可得，从而求解；
（2）设直线的方程为：，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理可得，，结合三点共线可得，，进而得到，进而得到直线OP的方程，进而联立直线OP与直线的方程即可求解.
【详解】（1）设，，
所以，即，
由题意知，所以，
所以，
则椭圆的标准方程为．
（2）证明：设直线的方程为：，
联立椭圆的方程，得，
所以，
则，
由根与系数的关系，得，，
设，
由P，S，三点共线，得，
由P，N，三点共线，得，
则
．
所以直线OP的斜率为，
则直线OP的方程为，
联立直线OP与直线的方程，可得，解得，
所以点在一条定直线上，该定直线的方程为．
7．已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切．
(1)求p的值：
(2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定直线方程为.
【分析】（1）设直线l1的方程为，再根据直线和圆相切求出的值得解；
（2）依题意设，求出切线l2的方程和B点坐标，求出， ，即得证.
【详解】（1）由题得抛物线的焦点坐标为，
设直线l1的方程为，
由已知得圆的圆心，半径，
因为直线l1与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
即，解得或（舍去）．
所以.
（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，
所以，所以，设A，），则以A为切点的切线l2的斜率为
所以切线l2的方程为．
令，即l2交y轴于B点坐标为，
所以，
∴，
∴．
设N点坐标为（x，y），则，
所以点N在定直线上．

8．已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
【答案】(1)1
(2)是在定直线上，定直线
【分析】（1）根据题意列出方程组得到，设，，，利用点差法即可求解；
（2）根据（1）的结论得出，，设直线l：，，设，，联立直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线与直线的方程得出，进而得证.
【详解】（1）由题意得，所以，
设，，，
则，
作差得，
又MN的斜率，，
所以.
（2）∵，∴，，，
直线l：，，
设，，
联立得，
所以，所以，
设直线AN：，BM：，
所以，
所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．
9．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由点A的坐标求得，结合双曲线的定义求得，进一步计算得出双曲线的方程即可；
（2）设直线PQ的方程为，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得，得到直线l的方程.
【详解】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，
焦点，，.
所以，，故C：.
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由已知得，，设，，
则，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直线l：满足条件.
10．已知椭圆的离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当椭圆的焦点在x轴上时，直线与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点Q且斜率为的直线与l交于点M，点N满足轴，轴，求证：点N在直线上．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）分焦点在轴和轴上两种情况求椭圆方程即可；
（2）联立椭圆和直线的方程得到点的坐标，根据点和点的对称关系得到点的坐标，即可得到经过点的直线方程，然后联立直线方程得到点的横坐标，即可得到点的坐标，最后根据点横纵坐标的关系即可证明点在直线上.
【详解】（1）当椭圆的焦点在轴上时，，解得，，所以此时椭圆方程为
；
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，解得，所以此时椭圆方程为.
（2）
由题意得，椭圆方程为，联立得，
设点，则，所以，故，，
所以经过点且斜率为的直线方程为，
联立得，所以，，,
又，所以点在直线上.
11．已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意推出，结合双曲线定义即可求得答案；
（2）设出直线l的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线和的方程，推得，结合根与系数的关系化简，即可证明结论.
【详解】（1）由得，其半径为4，
因为线段的垂直平分线与直线交于点，

故，则,
而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线，
则，
故点的轨迹的方程为.
（2）证明：由题意知，

若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；
故直线l的斜率不能为0，故设其方程为，
联立，得，，
故，
设，则直线的方程为，
直线的方程为，
故，
则，
即，解得，
故直线与直线的交点在定直线上.
【点睛】难点点睛：本题考查了利用双曲线定义求解双曲线方程以及直线和双曲线的位置关系中的点在定直线上的问题，难点在于证明直线与直线的交点在定直线上，解答时要设直线方程，利用根与系数的关系进行化简，计算过程比较复杂，且大都是关于字母参数的运算，要十分细心.
12．在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且．
(1)求动点M的轨迹；
(2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线y＝8（x≠0）上．
【详解】（1）设，则，由题意知－4＜x＜4．
∵，∴，即，故动点M的轨迹为．
（2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下：
当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1．
设，，，则，，，由此知．
将y＝kx＋1代入，得，于是
，．①
条件即，也即．
将，代入得．
显然不在直线y＝kx＋1上，∴，从而得，即．
将，代入得．将式①代入得
，解得．
当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意．
因此存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．
【反思】由于关于椭圆的极线是直线y＝8，若恒成立，由命题5知点Q在极线y＝8上，因此存在满足题意的Q，其轨迹为y＝8（x≠0）．本题实质是命题5的逆向应用．
13．已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点．
(1)若，求的值；
(2)若M是线段AN的中点，求直线的方程；
(3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)在定直线上，理由见解析
【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线MN的方程，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而求出直线的方程；
（3）设，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上．
【详解】（1）根据题意，得
因为抛物线，所以准线为，
所以；
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程，
联立，消去，可得，
所以，即，，，
而M是线段AN的中点，所以，故，
解得，故，解得，
所以直线MN的方程为，即；
（3）直线MN的方程，设，
则，，
联立消去可得：，即，整理得：，
将，代入得，故，，
所以直线PM与QN的交点在定直线上．
14．过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程；
(2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）设直线，联立方程组求得，利用弦长公式，分别求得，得到，结合基本不等式，即可求解；
（2）由和共线，得到，，又由和共线，得到和，进而得到，即可求解.
【详解】（1）解：设，
设直线，联立方程组，整理得，
可得，
所以，
同理可得，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以抛物线的方程为.
（2）解：当为时，，
由共线，可得，可得 ①，
同理由共线 ②
又由共线，可得，所以 ③
同理由共线，可得 ④
由①③得，
即 ⑤
又由②④得，
即 ⑥
由⑤⑥得，
即，即，所以在上.

15．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
16．已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．
(1)求的标准方程；
(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当直线的斜率为时，写出直线的方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，结合可求出的值，即可得出抛物线的标准方程；
（2）分析可知直线、都不与轴重合，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，设、，由韦达定理可得，同理可得出，写出直线、的方程，求出这两条直线的交点的横坐标，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：当直线的斜率为时，直线的方程为，设点、，
联立可得，
，因为，可得，
由韦达定理可得，，
，
整理可得，解得或（舍去），
因此，抛物线的方程为.
（2）证明：当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线不与轴重合，同理可知直线也不与轴重合，
设直线的方程为，联立可得，
则可得，
设点、，由韦达定理可得，
设直线的方程为，设点、，同理可得，
直线的方程为，即，
化简可得，
同理可知，直线的方程为，
因为点在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，

交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证明点的横坐标为定值即可，
由，消去，
因为直线与相交，则，
解得
，
所以，点的横坐标为，因此，直线与的交点必在定直线上.
17．已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直线的点斜式方程写出直线方程，与抛物线联立方程，利用弦长公式，求出的值，从而求出抛物线的标准方程；
（2）设直线方程为或，与抛物线联立方程，由韦达定理得出，，求出直线方程和直线方程，求出交点的横坐标，然后进行化简，可以证明结论.
【详解】（1）当的斜率为时，得方程为，
由,消元得，，，；
由弦长公式得，
即，解得或（舍去），满足，
从而的标准方程为.
（2）法一：因为l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在
设直线的方程为，设，
由，消去得，则.
设直线的方程为，
同理，消去得可得．
直线方程为，即，
化简得，
同理，直线方程为，
因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．
由消去，
因为直线与相交，所以，
解得，
所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．
法二：设直线方程为，由消去得，
设，则．
设直线的方程为，
同理可得．
直线方程为，即，
化简得，
同理，直线方程为，．
因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．
由消去，
因为直线与相交，所以，
解得，
所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．
【点睛】关键点点睛：本题中的证明问题的关键是：设出直线的横截距或者纵截距方程，联立抛物线，结合韦达定理，把目标逐步化简，得出待证明的结论.