素养拓展16 解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题【一轮复习讲义】高考数学高频考点题型归纳（新高考通用）

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一、知识点梳理
1.正弦定理
.（其中为外接圆的半径）
（边化角）
（角化边）
2.余弦定理：

3.三角形面积公式：
=12a+b+crr为三角形ABC的内切圆半径
4.三角形内角和定理：
在△ABC中，有.
5.基本不等式（优先用基本不等式）
①
②
6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）
利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。
二、题型精讲精练
【典例1】若，，求的最大值．建议使用两种方法来解决：
法一：余弦定理＋不等式．
法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式．
【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得最大值；
方法二：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得的范围，代入三角形面积公式即可求得最大值.
解：方法一：由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），，
（当且仅当时取等号），的最大值为；
方法二：由正弦定理得：，
；
，，，，
，的最大值为.
【典例2】若，，求周长的取值范围．建议使用两种方法来解决：
法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系．
法二：正弦定理＋辅助角公式．
【分析】方法一：利用余弦定理构造方程，根据可求得的最大值，结合三角形三边关系可求得结果；
方法二：利用正弦定理角化边，可将化为，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得结果.
解：方法一：由余弦定理得：，
又（当且仅当时取等号），，
解得：（当且仅当时取等号），
又，，周长的取值范围为；
方法二：由正弦定理得：，
，
，，，，
即周长的取值范围为.
【题型训练1-刷真题】
1．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
2．（2020·全国·统考高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
3．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
【题型训练2-刷模拟】
1.面积的最值（范围）问题
一、解答题
1．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）在中，角，，的对边分别是，，，满足.
(1)求角；
(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值.
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
3．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）已知内角所对的边长分别为.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
4．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求∠C.
(2)若，求面积的最小值.
5．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若．
(1)求角的值；
(2)若，求面积的最大值．
6．（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）的内角的对边分别为，已知.
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
7．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，D为边上一点，平分．
(1)求角A；
(2)求面积的最小值．
8．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若，且，求面积的取值范围．
9．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为.
(1)若外接圆的半径为，求面积的最大值；
(2)若内切圆的半径为，求面积的最小值.
10．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，且，求面积的取值范围．
11．（2023·江西·校联考二模）在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
12．（2023·广东茂名·统考二模）已知中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，点、在边上，，求面积的最小值.
13．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC面积的最大值．
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．
(1)求A；
(2)点D在边上，且，，求面积的最大值．
15．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若，求三角形ABC面积的最大值．
16．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）在中，角、、所对的边分别为、、，.
(1)求；
(2)若，求面积的最小值.
2.周长（边）的最值（范围）问题
一、解答题
1．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在中，.
(1)求；
(2)若，求周长的最小值.
2．（2023·全国·高三专题练习）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角A的大小．
(2)若，求c的取值范围．
3．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知平面四边形中，，若，的面积为．
(1)求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
4．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角，，的对边分别是，，，满足．
(1)求角的大小；
(2)若的外接圆半径为，求周长的取值范围．
5．（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求BC边上的高AD的最大值．
6．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，C=.
(1)当 时，求的面积;
(2)求周长的取值范围.
7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围．
8．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）在中，内角A、、所对的边分别为、、，已知．
(1)求角A的大小；
(2)点为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围．
9．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
10．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
(1)求B；
(2)若的面积等于，求的周长的最小值．
11．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，求的周长的取值范围．
12．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.
13．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若为锐角三角形，，求周长范围．
14．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）已知的内角，，的对边分别为，，，若.
(1)求的值；
(2)若的面积为，求周长的最大值.
15．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知．
(1)求B；
(2)若为锐角三角形，且，求△ABC周长的取值范围．
16．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围．
17．（2023·江苏盐城·统考三模）在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
18．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围．