新高考数学一轮复习专题四三角函数与解三角形4-1三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换课件

这是一份新高考数学一轮复习专题四三角函数与解三角形4-1三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换课件，共18页。

题型一　同角三角函数基本关系式的应用1.利用sin2α+cs2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用 =tan α可以实现角α的弦切互化 α,cs α的齐次式的应用(1)已知tan α的值,求关于sin α与cs α的齐n次分式的值:分子、分母同除以csnα,转化 为关于tan α的式子求解.(2)“1”的代换问题:含有sin2α,cs2α及sin α·cs α的整式求值问题,可将所求式子的分 母看作“1”,利用“sin2α+cs2α=1”代换后转化为“切”,然后求解.
3.同角三角函数的基本关系式的常用变形(1)sin2α=1-cs2α,cs2α=1-sin2α.(2)(sin α±cs α)2=1±2sin αcs α.(3)sin α=cs αtan α.(4)sin2α= = .(5)cs2α= = .
例1　已知θ为第二象限角❶,sin θ,cs θ是关于x的方程2x2+( -1)x+m=0(m∈R)的两根❷, 则sin θ-cs θ❸的值为 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D.- 
  知识联想    由❶确定sin θ,cs θ的符号;由❷联想一元二次方程根与系数的关系,从而得出sin θ,cs θ的和与积;由❸想到利用(sin θ±cs θ)2=1±2sin θcs θ求得sin θ-cs θ的 值.
  解析    因为sin θ,cs θ是关于x的方程2x2+( -1)x+m=0(m∈R)的两根,所以sin θ+cs θ= ,sin θcs θ= .由(sin θ+cs θ)2=1+2sin θcs θ得 =1+m,所以m=- ,又因为θ为第二象限角,所以sin θ>0,cs θ<0,(在第二象限内正弦值为正,余弦值为负)即sin θ- cs θ>0(判断sin θ-cs θ的符号是关键),因为(sin θ-cs θ)2=(sin θ+cs θ)2-4sin θcs θ=  -2m= ,所以sin θ-cs θ= = ,故选B.
例2    (2024广东中山纪念中学第三次测试,4)已知tan αcs =(3-2 )cs ,则cs 2α= (　    )A. 　    B. 　    C.- 　    D.-1
  解析    tan αcs =(3-2 )cs ,  =(3-2 )· ,(切化弦)  =(3-2 )  cs α+ sin α , · =3-2 ,(关键:两边同除以cs α+sin α) =3-2 , =3-2 ,(构造齐次式转化为关于tan α的表达式)tan2α+(2-2 )tan α+3-2 =0,
解得tan α= -1.故cs 2α=cs2α-sin2α= (关键:把“分母1”用cs2α+sin2α代换)= = = = .故选B.
题型二　三角函数式的化简和求值1.三角函数式的化简原则 
2.三角函数式化简的方法化简三角函数式的常见方法有弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂与升幂等.3.三角函数式求值的基本类型(1)给角求值:①化为特殊角的三角函数值;②化为正、负相消的项,消去求值;③化分 子、分母,使其出现公约数,然后约分求值.(2)给值求值:解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把待求三角函 数值的角用含已知角的式子表示出来,求解时要注意对角的范围的讨论.(3)给值求角:实质上可转化为“给值求值”问题,先求所求角的某一三角函数值,再利 用该三角函数值结合所求角的范围求得角.
例3    (2024安徽合肥一中期末,4)2sin 80·cs 20°- = (　    )A. 　    B. 　    C.1　    D. 
  解析    2sin 80°cs 20°- =2sin(60°+20°)cs 20°- (把80°表示成60°与20°的和,用两角和的正弦公式展开)=2(sin 60°cs 20°+cs 60°sin 20°)cs 20°- 
= cs220°+sin 20°cs 20°- = + - = + cs 40°+ sin 40°-cs 10°(运用辅助角公式)= +sin(60°+40°)-cs 10°(运用诱导公式)
= +cs 10°-cs 10°= .
例4    (2024海南开学摸底联考,13)设α为锐角,若cs = ,则sin 的值为    　　    .
  解析    令α+ =θ,(不好找已知角与所求角之间的联系时,可以设中间元)则α=θ- ,cs =cs θ= ,又α是锐角,cs θ>0,∴θ是锐角,∴sin θ= ,∴sin =sin =sin =sin 2θcs  -cs 2θsin  ,易得sin 2θ=2sin θcs θ= ,cs 2θ=cs2θ-sin2θ= ,
∴sin = × - × =- .
例    (2024福建名校联盟联考,8)方程2cs 2x· =cs 4x-1所有正根的和为     (　    )A.810π　    B.1 008π　    C.1 080π　    D.1 800π
  解析    2cs 2x =cs 4x-1=2cs22x-2,令a=cs 2x,b=cs  ,则2a(a-b)=2a2-2,即ab=1,(提示:将复杂的表达式用简单字母代换,使计算简化)因为a=cs 2x,所以a∈[-1,1],同理b∈[-1,1],所以a=1,b=1或a=-1,b=-1,当a=1,b=1时,cs 2x=1,cs  =1,所以x=kπ,k∈Z,x= ,k1∈Z,因为1 007=1×19×53,所以x=π,19π,53π,1 007π,
当a=-1,b=-1时,cs 2x=-1,cs  =-1,则x= ,k2∈Z,x= ,k3∈Z,令 = ,k2,k3∈Z,得(2k2+1)·(2k3+1)=4 028,k2,k3∈Z,方程无解,(提示:奇数×奇数≠偶数)所以方程所有正根的和为π+19π+53π+1 007π=1 080π,故选C.