新高考数学一轮复习专题三导数及其应用3-1导数的概念及运算练习含答案

这是一份新高考数学一轮复习专题三导数及其应用3-1导数的概念及运算练习含答案，共12页。试卷主要包含了1　导数的概念及运算，设函数f=exx+a，已知函数f=12-x2等内容，欢迎下载使用。

五年高考
高考新风向
1.(2024全国甲理,6,5分,易)设函数f(x)=ex+2sinx1+x2,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( A )
A.16 B.13 C.12 D.23
2.(2024新课标Ⅰ,13,5分,中)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a= ln 2 .
考点 导数的运算及几何意义
1.(2020课标Ⅰ理,6,5分,易)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为( B )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
2.(2023全国甲文,8,5分,易)曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为( C )
A.y=e4x B.y=e2x
C.y=e4x+e4 D.y=e2x+3e4
3.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( D )
A.ebC.04.(2021全国甲理,13,5分,易)曲线y=2x−1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为 y=5x+2 .
5.(2020课标Ⅲ文,15,5分,易)设函数f(x)=exx+a.若f '(1)=e4,则a= 1 .
6.(2022新高考Ⅰ,15,5分,中)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 (-∞,-4)∪(0,+∞) .
7.(2022新高考Ⅱ,14,5分,中)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 y=1ex , y=-1ex(不分先后) .
8.(2021新高考Ⅱ,16,5分,难)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1))和点B(x2, f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则|AM||BN|的取值范围是 (0,1) .
9.(2022全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.
(1)若x1=-1,求a;
(2)求a的取值范围.
解析 解法一:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-x1),即y=(3x12-1)x-2x13.
因为曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以y=(3x12−1)x−2x13,y=x2+a有且仅有一组解,
即方程x2-(3x12-1)x+2x13+a=0有两个相等的实数根,
从而Δ=(3x12-1)2-4(2x13+a)=0⇔4a=9x14-8x13-6x12+1.
(1)若x1=-1,则4a=12⇔a=3.
(2)4a=9x14-8x13-6x12+1,
令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,
则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),
令h'(x)>0,得-131,
令h'(x)<0,得x<-13或0所以h(x)在−13,0和(1,+∞)上单调递增,在−∞,−13和(0,1)上单调递减,
又h(1)=-4,h−13=2027,所以h(x)≥-4,
所以a≥-1.
解法二:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)·(x-x1),即y=(3x12-1)x-2x13①,
设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,x22+a),
又g'(x2)=2x2,
则切线可表示为y-(x22+a)=2x2(x-x2),
即y=2x2x-x22+a②,
因为①②表示同一直线方程,所以3x12−1=2x2,−2x13=−x22+a,
则(3x12-1)2-8x13=4a⇔4a=9x14-8x13-6x12+1.
下面同解法一.
易错警示
不能认为两曲线的公切线切点相同.
10.(2020北京,19,15分,中)已知函数f(x)=12-x2.
(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;
(2)设曲线y=f(x)在点(t, f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.
解析 (1)因为f(x)=12-x2,所以f '(x)=-2x,
令-2x=-2,解得x=1,
又f(1)=11,所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),
整理得2x+y-13=0.
(2)由(1)可知f '(x)=-2x,所以曲线y=f(x)在点(t, f(t))处的切线斜率k=-2t,又f(t)=12-t2,所以切线方程为y-(12-t2)=-2t(x-t),整理得2tx+y-(t2+12)=0,当x=0时,y=t2+12,所以切线与y轴的交点为(0,t2+12),
当y=0时,x=t2+122t,所以切线与x轴的交点为t2+122t,0.
①当t>0时,S(t)=12·t2+122t·(t2+12)=(t2+12)24t,
则S'(t)=3(t2−4)(t2+12)4t2,
当0当t>2时,S'(t)>0,此时S(t)在(2,+∞)上单调递增,
所以S(t)min=S(2)=32.
②当t<0时,S(t)=-(t2+12)24t,则S'(t)=-3(t2−4)(t2+12)4t2,
当t<-2时,S'(t)<0,此时S(t)在(-∞,-2)上单调递减;
当-20,此时S(t)在(-2,0)上单调递增,
所以S(t)min=S(-2)=32.
综上所述,当t=±2时,S(t)取最小值,为32.
名师点拨
本题主要考查导数在研究函数中的应用和导数的概念及几何意义.本题第(2)问先求出切线与x轴和y轴的交点,再求出三角形的面积表达式,分t>0和t<0两种情况,也可以只研究t>0时S(t)的最小值,由上面解析知当t=2时,S(t)取最小值,S(t)min=S(2)=32,利用f(x)=12-x2是偶函数,图象关于y轴对称,得出t<0时,S(t)min=S(-2)=32.
11.(2020新高考Ⅰ,21,12分,中)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
解析 f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=aex-1-1x.
(1)当a=e时, f(x)=ex-ln x+1, f '(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.
直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为−2e−1,2.
因此所求三角形的面积为2e−1易错:容易忽略三角形的面积应大于0而把结果写成−2e−1.
(2)解法一:当0当a=1时, f(x)=ex-1-ln x, f '(x)=ex-1-1x.当x∈(0,1)时,f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以当x=1时, f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时, f(x)=aex-1-ln x+ln a>ex-1-ln x≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
解法二:由f(x)≥1,可得aex-1-ln x+ln a≥1,
即ex−1+lna-ln x+ln a≥1,
即ex−1+lna+ln a+x-1≥ln x+x=eln x+ln x.
令g(t)=et+t,则g'(t)=et+1>0,
∴g(t)在R上单调递增.
∵g(ln a+x-1)≥g(ln x),
∴ln a+x-1≥ln x,
即ln a≥ln x-x+1.
令h(x)=ln x-x+1,∴h'(x)=1x-1=1−xx,
当00,函数h(x)单调递增,
当x>1时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减,
∴h(x)≤h(1)=0,
∴ln a≥0,∴a≥1,
故a的取值范围为[1,+∞).
思路导引
(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程,可得三角形的面积;
(2)解法一:对a进行分类讨论,看哪种情况下可使f(x)≥1;
解法二:不等式等价于ex−1+lna+ln a+x-1≥ln x+x=eln x+ln x,令g(t)=et+t,根据函数单调性可得ln a≥ln x-x+1,再构造函数h(x)=ln x-x+1,利用导数求出函数的最值,即可求出a的取值范围.
三年模拟
练速度
1.(2024福建厦门一模,3)已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切,则l的倾斜角为( C )
A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6
2.(2024湖北八市联考,6)已知函数f(x)为偶函数,其图象在点(1, f(1))处的切线方程为x-2y+1=0,记f(x)的导函数为f '(x),则f '(-1)=( A )
A.-12 B.12 C.-2 D.2
3.(2024广东茂名一模,4)曲线f(x)=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行,则a=( C )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.(2024山东名校考试联盟联考,6)若曲线f(x)=ex在x=1处的切线与曲线g(x)=ln x+a也相切,则a=( D )
A.12 B.1 C.32 D.2
5.(2024湖南衡阳一模,7)若函数f(x)=x3+4与g(x)=x2-2x图象的交点为A,则曲线y=f(x)在点A处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( B )
A.4 B.6 C.23 D.83
6.(2024辽宁葫芦岛学业质量监测,8)已知直线y=ax-1与曲线y=lnxx相切,则a的值为( A )
A.1 B.1e C.1−ln24 D.2e2
7.(多选)(2024河北质量监测,10)过点A(1,2)与曲线f(x)=x3+x相切的直线为( CD )
A.2x+y-4=0 B.3x-y-1=0
C.4x-y-2=0 D.7x-4y+1=0
练思维
1.(2024湖南长沙适应性考试,7)已知直线y=a与函数f(x)=ex,g(x)=ln x的图象分别相交于A,B两点.设k1为曲线y=f(x)在点A处切线的斜率,k2为曲线y=g(x)在点B处切线的斜率,则k1k2的最大值为( A )
A.1e B.1 C.e D.ee
2.(2024河北唐山期末,7)已知函数f(x)=sin πx,x∈(0,2)的图象与直线y=a(x-1)有3个交点,则实数a的取值范围为( D )
A.(-∞,0) B.(-1,0)
C.(-∞,-π) D.(-π,0)
3.(2024福建部分地市质量检测,7)若直线y=ax+b与曲线y=ex相切,则a+b的取值范围为( A )
A.(-∞,e] B.[2,e]
C.[e,+∞) D.[2,+∞)
4.(2024湘豫名校联考一模,15)已知曲线y=ex-1与曲线y=f(x)关于直线x-y=0对称,则与两曲线均相切的直线的方程为 x-y=0 .
5.(2024山东日照联考)已知函数f(x)=x+sin x的图象上存在三个不同的点A,B,C,使得曲线y=f(x)在A,B,C三点处的切线重合,则此切线的方程为 y=x+1(或y=x-1) .(写出符合要求的一条切线即可)
6.(2024河北石家庄模拟,15)已知函数f(x)=eax-ex-b在x=0处的切线为x轴.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
解析 (1)因为f(x)=eax-ex-b,所以f '(x)=aeax-e,
依题意f(0)=0且f '(0)=0,
所以e0−b=0,ae0−e=0,解得a=e,b=1.
(2)由(1)可得f(x)=eex-ex-1,定义域为R,
又f '(x)=eex+1-e=e(eex-1),
令g(x)=f '(x)=eex+1-e,则g'(x)=eex+2>0,
所以g(x)在定义域R上单调递增,即f '(x)在R上单调递增.又f '(0)=0,所以当x<0时f '(x)<0,当x>0时f '(x)>0,
所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
7.(2024湖北武汉四调,16)已知函数f(x)=ln x-ax+x2.
(1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)讨论f(x)的单调性.
解析 (1)a=-1时, f(x)=ln x+x+x2, f '(x)=1x+1+2x,
则f '(1)=4, f(1)=2,
所以所求切线方程为y=4(x-1)+2,整理得y=4x-2.
(2)f '(x)=1x-a+2x=2x2−ax+1x,
因为x>0,所以a≤0时, f '(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,对于y=2x2-ax+1,Δ=a2-8,
若0若a>22,令2x2-ax+1=0,得x=a±a2−84>0,00, f(x)单调递增;
x>a+a2−84时, f '(x)>0, f(x)单调递增;
a−a2−84综上所述,a≤22时, f(x)在(0,+∞)上单调递增;
a>22时, f(x)在0,a−a2−84,a+a2−84,+∞上单调递增,在a−a2−84,a+a2−84上单调递减.
8.(2024河南新乡三模,15)已知函数f(x)=xln x.
(1)求f(x)的极值;
(2)若过点(a,b)可以作两条直线与曲线y=f(x)相切,证明:b解析 (1)因为f(x)=xln x,所以f '(x)=ln x+1.(1分)
令f '(x)=0,得x=1e,当x∈0,1e时, f '(x)<0, f(x)单调递减,当x∈1e,+∞时, f '(x)>0, f(x)单调递增,(3分)
故当x=1e时, f(x)取得极小值,且极小值为f1e=-1e,无极大值.(5分)
(2)证明:设切点为(x0,x0ln x0),则切线的方程为y-x0ln x0=(1+ln x0)(x-x0),(6分)
则b-x0ln x0=(1+ln x0)(a-x0),整理得b=aln x0-x0+a.(7分)
由过点(a,b)可以作两条直线与曲线y=f(x)相切,可得方程b=aln x-x+a有两个不相等的正根.(9分)
令g(x)=aln x-x+a,则g'(x)=a−xx.(10分)
当a≤0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,则方程b=aln x-x+a最多只有一个正根,不符合题意.(11分)
当a>0时,若x∈(0,a),则g'(x)>0,g(x)单调递增,若x∈(a,+∞),则g'(x)<0,g(x)单调递减,则g(x)max=g(a)=aln a.(12分)
故要使得方程b=aln x-x+a有两个不相等的正根,则b练风向
1.(新定义理解)(多选)(2024山东济南一中等校联考,10)假设直线L与曲线M相切,若切点唯一,则称直线L与曲线M单切;若切点有两个,则称直线L与曲线M双切;若L还与曲线M相交,则称直线L与曲线M交切.已知函数f(x)=|x3-3x|,则( AC )
A.直线y=2与曲线y=f(x)双切
B.直线y=-4x+1与曲线y=f(x)单切
C.直线y=2与曲线y=f(x)交切
D.存在唯一的直线,与曲线y=f(x)单切且交切
2.(创新考法)(2024山东淄博一模,13)已知定义在R上的函数f(x), f '(x)为f(x)的导函数,
f '(x)定义域也是R, f(x)满足f(x+1 012)-f(1 013-x)=4x+1,则i=12024f '(i)= 4 048 .