人教版高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1节导数的概念及运算学案理含解析

这是一份人教版高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1节导数的概念及运算学案理含解析，共11页。
第一节　导数的概念及运算[最新考纲][考情分析][核心素养]1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.4.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 5.了解微积分基本定理的含义.　　导数的几何意义的应用仍是2021年高考考查的热点，多为选择题、填空题，分值为5分.数学运算‖知识梳理‖1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝ ＝ .(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos_xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax (a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax (a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．►常用结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．5．定积分的概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．6．定积分的性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)．7．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．8．定积分的几何意义定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.①S＝f(x)dx；②S＝－f(x)dx；③S＝f(x)dx－f(x)dx；④S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.►常用结论常见被积函数的原函数(1)cdx＝cx；(2)xndx＝(n≠－1)；(3)sin xdx＝－cos x；(4)cos xdx＝sin x；(5)dx＝ln x；(6)exdx＝ex.‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)(6)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)(7)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(　　)(8)若f(x)是奇函数，则f(x)dx＝0.(　　)(9)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的区域面积是.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√　(7)√　(8)√　(9)×二、走进教材2．(选修2－2P19B2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)A．－9 B．－3C．9 D．15答案：C3．(选修2－2P50A5改编)定积分|x|dx＝(　　)A．1 B．2C．3 D．4答案：A4．(选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　)A．10t B．5tC．t D．t答案：B5．(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝__________m/s，加速度a＝________m/s2.答案：－9.8t＋6.5　－9.8三、易错自纠6．下列求导运算正确的是(　　)A．′＝1＋ B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x解析：选B　′＝x′＋′＝1－；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．故选B．7．已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝(　　)A．1 B．－2C．－2或4 D．4解析：选D　由(2x－2)dx＝8，得(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．故选D．8．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为______________．解析：∵y′＝，∴k＝y′＝2.故所求切线方程为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0|题组突破|1．已知f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0＝(　　)A．e2 B．1C．ln 2 D．e解析：选B　因为f(x)＝x(2 017＋ln x)，所以f′(x)＝2 017＋ln x＋1＝2 018＋ln x.又f′(x0)＝2 018，所以2 018＋ln x0＝2 018，所以x0＝1.故选B．2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)A．－e B．－1C．1 D．e解析：选B　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，所以f′(1)＝2f′(1)＋1，所以f′(1)＝－1，故选B．3．求y＝x2sin x的导数．解：y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.4．求y＝－sin 的导数．解：∵y＝－sin ＝－sin ＝sin x，∴y′＝′＝(sin x)′＝cos x.►名师点津导数的计算技巧(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中、低档题．常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)根据切线的性质求参数或参数的取值范围．●命题角度一　求切线方程【例1】　(1)(2019年全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0(2)经过原点(0，0)作函数f(x)＝x3＋3x2的图象的切线，则切线方程为_________________．[解析]　(1)依题意得，y′＝2cos x－sin x，k＝y′|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C．(2)由题意得，f′(x)＝3x2＋6x.当(0，0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为y＝0；当(0，0)不为切点时，设切点为P(x0，x＋3x)(x0≠0)，则切线方程为y－(x＋3x)＝(3x＋6x0)·(x－x0)，因为切线过原点，所以x＋3x＝3x＋6x，所以x0＝－，此时切线方程为9x＋4y＝0.[答案]　(1)C　(2)9x＋4y＝0或y＝0►名师点津与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.●命题角度二　求切点坐标【例2】　(2019年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．[解析]　设A(x0，ln x0)，又y′＝，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入，得－1－ln x0＝(－e－x0)，化简得ln x0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)．[答案]　(e，1)►名师点津求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标．●命题角度三　根据切线的性质求参数或参数的取值范围【例3】　(1)(2019年全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1(2)(2019届巴蜀中学期中测试)曲线f(x)＝ln x＋x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．[解析]　(1)因为y′＝aex＋ln x＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)·(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得(2)由题意，得f′(x)＝＋x＋a，故存在切点P(t，f(t))，使得＋t＋a＝3，所以3－a＝＋t有解．因为t>0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时取等号)，即a≤1.[答案]　(1)D　(2)(－∞，1]►名师点津一般已知曲线上一点P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k＝f′(x0)＝tan α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步求得角度α或有关参数的取值范围．|跟踪训练|1．若点P是函数y＝ex－e－x－3x图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是(　　)A． B．C． D．解析：选B　由导数的几何意义，知k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，所以－1≤tan α<0，α∈[0，π)．又－≤x≤，tan α＝ex＋e－x－3≤＋－3<0，所以α的最小值是，故选B．2．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析：设P(x0，y0)，因为y′＝－e－x，所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，所以x0＝－ln 2，则y0＝eln 2＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)．答案：(－ln 2，2)3．(2018年全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y＝2ln(x＋1)，所以y′＝.当x＝0时，k＝y′＝2，所以曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.答案：y＝2x【例4】　(1)dx＋dx＝________．(2)由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为________．(3)一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.[解析]　(1)因为dx＝ln x＝1－0＝1，且表示的是圆x2＋y2＝4在x轴及其上方的面积，故dx＝π×22＝2π，故答案为2π＋1.(2)解法一：画出草图，如图所示．解方程组及得交点分别为B(1，1)，O(0，0)，A(3，－1)，所以所求图形的面积S＝dx＋(2－x)－－xdx＝dx＋dx＝＋＝＋6－×9－2＋＝.解法二：如图所求阴影的面积就是△OAC的面积减去由y轴，y＝，y＝2－x围成的曲边三角形的面积，即S＝×2×3－(2－x－)dx＝3－＝3－＝.(3)由题意知，力F(x)所做的功为W＝F(x)dx＝5dx＋(3x＋4)dx＝5x＋＝10＋＝36(J)．[答案]　(1)2π＋1　(2)　(3)36►名师点津利用定积分求平面图形面积的4个步骤|跟踪训练|4．(2019届厦门模拟)定积分|x2－2x|dx＝(　　)A．5 B．6C．7 D．8解析：选D　|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(2x－x2)dx＝＋＝8.5．(2019届衡阳模拟)如图，阴影部分的面积是(　　)A．32 B．16C． D．解析：选C　由题意得，阴影部分的面积S＝(3－x2－2x)dx＝＝.6．汽车以72 km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以匀减速a＝4 m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.解析：先求从刹车到停车所用的时间t，当t＝0时，v0＝72 km/h＝20 m/s，刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.令v(t)＝0，可得t＝5 s，所以汽车从刹车到停车所走过的路程为(20－4t)dx＝(20t－2t2)＝50(m)，即汽车从开始刹车到停止走的距离为50 m.答案：50【例】　(2019届河南洛阳二模)已知a>0，曲线f(x)＝3x2－4ax与g(x)＝2a2ln x－b有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为(　　)A．0 B．－C．－ D．－[解析]　设曲线y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点P(x0，y0)处的切线相同，因为f′(x)＝6x－4a，g′(x)＝，由题意得，f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，所以3x－4ax0＝2a2ln x0－b，6x0－4a＝，解得x0＝a或x0＝－a(舍去)，即有b＝a2＋2a2ln a．令h(t)＝t2＋2t2ln t(t>0)，则h′(t)＝4t(1＋ln t)，当4t(1＋ln t)>0，即t>时，h′(t)>0，当4t(1＋ln t)<0，即0<t<时，h′(t)<0，故h(t)在上为减函数，在上为增函数，于是h(t)在(0，＋∞)上的最小值为h＝－，故b的最小值为－.故选B．[答案]　B►名师点津(1)设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标(x0，f(x0))，(x1，g(x1))，并分别求出两曲线的切线方程；(2)建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y轴上的截距都分别相等，得到关于参数x0，x1的方程组，解方程组，求出参数x0，x1的值；(3)求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可．|跟踪训练|(2020届广州四校联考)已知函数f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)，若函数f(x)满足∀x∈I(其中I为函数f(x)的定义域)，当x≠x0时，[f(x)－g(x)](x－x0)>0恒成立，则称x0为函数f(x)的“转折点”．已知函数f(x)＝ex－ax2－2x在区间[0，1]上存在一个“转折点”，则a的取值范围是(　　)A．[0，e] B．[1，e]C．[1，＋∞) D．(－∞，e]解析：选B　∵[f(x)－g(x)](x－x0)>0，x∈[0，1]，∴当x∈[0，x0]时，f(x)<g(x)，即f(x)的图象在其切线下方；当x∈[x0，1]时，f(x)>g(x)，即f(x)的图象在其切线上方．∴f(x)非凸凹函数，满足f″(x)＝0.由题意得f′(x)＝ex－ax－2.令h(x)＝ex－ax－2，则h′(x)＝ex－a，令h′(x)＝ex－a＝0，则其解就是“转折点”，故ex＝a，x∈[0，1]，则1≤a≤e，故选B．