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新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题二概率与数列综合问题练习含答案
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这是一份新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题二概率与数列综合问题练习含答案,共6页。试卷主要包含了甲进行摸球跳格游戏,可得X的分布列为,并证明等内容,欢迎下载使用。
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望;
(2)证明:数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24)为等比数列.
解析 (1)根据题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C22C52=110,P(X=1)=C21C31C52=610=35,P(X=2)=C32C52=310.可得X的分布列为
所以E(X)=0×110+1×35+2×310=65.
(2)证明:由(1)知两球颜色相同的概率为25,颜色不同的概率为35.
棋子在第1格为必然事件,则P1=1,
棋子跳到第2格的概率为P2=25,所以P2-P1=-35,
当3≤n≤24时,Pn=25Pn-1+35Pn-2,
所以5(Pn-Pn-1)=-3(Pn-1-Pn-2),所以Pn−Pn−1Pn−1−Pn−2=-35,
所以数列{Pn-Pn-1}是以-35为首项,-35为公比的等比数列.
2.(2024甘肃二诊,18)民间谚语“杨柳儿活,抽陀螺;杨柳儿青,放空钟;杨柳儿死,踢毽子”,体现随着季节变化,可以进行不同的健身活动,其中踢毽子在我国流传很广,有着悠久的历史.据考证,踢毽子起源于中国汉代,盛行于六朝、隋、唐.某市高中学校为弘扬传统文化,增强学生身体素质,在高一年级开展了“人人参与”“团队竞赛”的踢毽子活动.在“人人参与”的环节中记录高一年级700名学生每人每分钟踢毽子的次数,从中抽取100名学生的成绩进行统计,如图所示,得到样本的频率分布直方图.将踢毽子每分钟次数样本数据第60百分位数(精确到1),记为“达标”的指标界值.
(1)请根据样本数据,求高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值;
(2)“团体竞赛”规则为,每班选出由3名选手组成的代表队参赛,上场的甲、乙、丙3人,由甲将毽子等可能地踢给另外两人中的1人,接到毽子的人再等可能地踢向另外两人中的1人,如此不停地传下去,直到有选手没有接到毽子则比赛结束,记录此时的传踢个数作为团队成绩.记第i(i∈N*)次传踢之前毽子在甲的概率为ai,易知a1=1,a2=0.求第6次传踢前,毽子传到甲的概率a6,并讨论第i次传踢前(i∈N*,且i≥3)毽子在甲、乙、丙三人中哪一人的概率最大.
解析 (1)设高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值为x,分析得x∈[45,50),
依题意有(x-45)×0.06=0.6-(0.01+0.024+0.036+0.040)×5,
即x=45+≈46.
(2)设第i次传踢之前毽子在乙、丙的概率为bi,ci,
由传递的对称性知bi=ci,又ai+bi+ci=1,
则有bi=ci=1−ai2,ai+1=12×1−ai2+12×1−ai2=1−ai2,
所以ai+1=-ai2+12,即有ai+1-13=-12ai−13(i∈N*),
所以ai−13为等比数列,其中首项为a1-13=23,公比为-12,即ai-13=23−12i−1,
所以ai=13+23−12i−1(i∈N*),a6=516,
i为偶数时,ai13,毽子在乙、丙的概率较大,
i为奇数时,ai>13,bi=cik)①,
当k≥2时,把k换成k-1,得P(X=k)=0.1P(X>k-1)②,
①-②,得P(X=k)-P(X=k+1)=0.1P(X=k),
即P(X=k+1)P(X=k)=0.9(k≥2),
又P(X=2)=0.1P(X>1)=0.1×(1-P(X=1))=0.9P(X=1),于是P(X=k+1)P(X=k)=0.9对任意k∈N*都成立,
从而{P(X=k)}是首项为0.1,公比为0.9的等比数列,
所以P(X=k)=0.1×0.9k-1.
(ii)由定义知,E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+…+kP(X=k)
=0.1×0.90+0.2×0.91+…+0.1×(k-1)×0.9k-2+0.1×k×0.9k-1
=0.1[0.90+2×0.91+…+(k-1)×0.9k-2+k×0.9k-1],
令Tk=1×0.90+2×0.91+…+(k-1)×0.9k-2+k×0.9k-1,
则0.9Tk=1×0.91+2×0.92+…+(k-1)×0.9k-1+k×0.9k,
两式相减得0.1Tk=1+0.91+0.92+…+0.9k-1-k×0.9k
=1×(1−0.9k)1−0.9-k×0.9k=10-(k+10)×0.9k,
因此E(X)=10-k×0.9k-10×0.9k,当k足够大时,k×0.9k≈0,10×0.9k≈0,则E(X)≈10,可认为E(X)=10.
所以该植物寿命的期望E(X)是10.X
0
1
2
P
110
35
310
X1
0
1
2
P
14
12
14
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