苏科版八年级数学上册讲练第2章轴对称图形章末复习培优卷(原卷版+解析)

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第2章 轴对称图形章末复习培优卷注意事项：本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．下列由数字组成的图案中，属于轴对称图形的是（       ）A． B．C． D．2．如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为8，则的周长为（       ）A．9 B．10 C．11 D．123．如图，已知，，则点O是（       ）A．三条边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点4．如图，长方形纸片中，AB，DC边上分别有点E，F，将长方形纸片沿EF翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若，则∠DFE的度数是（       ）A．75° B．76° C．77° D．78°5．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，过D作DE⊥AC于点E，若AC＝10，CB＝4，则AE＝（　　）A．2 B．3 C．6 D．76．如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（       ）A．4 B．5 C．6 D．无数7．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，其中（       ）A． B． C． D．8．如图，在四边形ABCD中，，，，，，则CD的长为（       ）．A．6 B．5 C．4 D．39．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（     ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（       ）A．5 B．6 C．8 D．10二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）11．如图，在中，，，CD是的高，且，则AD的长是______12．将一张纸按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则的度数为__________．13．如图，中，，将沿折痕对折，点恰好与的中点重合，若，则的长为______．14．如图, 在 中, 边的垂直平分线分别交于点, 边的垂直平 分线分别交于点, 若, 则的周长为________15．如果等腰三角形一条边上的高等于这条边长的一半，那么这个等腰三角形的顶角的度数是_____________________．16．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于点P．有下列结论：①②；③当时，； ④PC平分∠APB．其中正确的是___．（把你认为正确结论的序号都填上）17．如图，在中，，的平分线交于点，的平分线交于点，点在边上，，连接，则________．18．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝___．三、解答题（10小题，共76分）19．已知：如图，在中，，是的中点，，，，分别是垂足，求证：．20．如图，已知△ABC，AB＞AC，∠B＝45°．请用尺规作图法，在AB边上求作一点P，使∠PCB＝45°．（保留作图痕迹，不写作法）21．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．(1)在图①中，画△ABC的高线AD．(2)在图②中，画△ABC的中线BE．(3)在图③中，画△ABF，使△ABF的面积为622．如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．(1)求证；(2)连接，若，，求的长．23．如图，在和中，，，，垂足为M，连接EA．(1)与全等吗？为什么？(2)若，判断与的数量关系，并说明理由．24．已知：如图，△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F．(1)求证：BE＝CF；(2)若AB=16，CF=2，求AC的长．25．如图①，在等边中，点D、E分别是BC、AB上的点，，CE与AD交于点O．(1)填空：______度；(2)如图②，以AO为边作等边，BF与CO相等吗？并说明理由；(3)如图③，若点G是AC的中点，连接BO、GO，判断BO与GO有什么数量关系？并说明理由．26．在中，，点D是BC边上一点，将沿AD折叠后得到，射线AE交射线CB于点F．(1)当点D在线段BC上时，①如图1，若，说明；②如图2，若，请判断与的数量关系，并说明理由；(2)若，，求的度数．27．（1）如图①，已知：在中，，，点A在直线m上，直线m，直线m，垂足分别为点D，E．证明：．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中a为任意锐角或者钝角．请问结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图③，点D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接BD，CE，若，试判断的形状，并说明理由．28．阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．第2章 轴对称图形章末复习培优卷注意事项：本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．下列由数字组成的图案中，属于轴对称图形的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可．【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2．如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为8，则的周长为（       ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：解：是的垂直平分线，，，，的周长为8，，的周长，故选：D．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3．如图，已知，，则点O是（       ）A．三条边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点【答案】A【解析】【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．【详解】解：∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上，∵OB=OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上，∴点O为△ABC的三条边的垂直平分线的交点，故选：A．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．4．如图，长方形纸片中，AB，DC边上分别有点E，F，将长方形纸片沿EF翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若，则∠DFE的度数是（       ）A．75° B．76° C．77° D．78°【答案】B【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠AEF=∠GEF，再由，可得∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，从而得到∠AEF=104°，然后根据AB∥CD，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠AEF=∠GEF，∠AEF+∠BEF=180°，AB∥CD，∵，∴∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，∴∠AEF=104°，∵AB∥CD，∴∠DFE=180°-∠AEF=76°．故选：B【点睛】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键．5．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，过D作DE⊥AC于点E，若AC＝10，CB＝4，则AE＝（　　）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案．【详解】解：连接、，作于，如图所示：点在的垂直平分线上，点在的平分线上，，，．在和中，，，，同理：，，，，，，；故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．6．如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（       ）A．4 B．5 C．6 D．无数【答案】A【解析】【分析】因为添加的钢管长度都与OE相等，且∠AOB＝18 ，所以 ∠EFO＝18 ，∠FEG＝36，   ∠FGO＝∠FEG＝36，依次类推，第4个等腰三角形的底角为72，第5个等腰三角形的底角为90，则第5个等腰三角形不存在．因此，最多添加4根．【详解】                                             如图∵△OEF中，OE＝EF，∠AOB＝18 ∴ ∠EFO＝∠EOF＝18   ∴ ∠FEG＝∠EFO＋∠EOF＝36∵FE＝FG∴ ∠FGO＝36∴ ∠GFH＝∠GOF＋∠FGH＝54∵GF＝GH∴∠GHO＝54∴∠HGM＝∠GOH＋∠GHO＝72∵HG＝HM∴∠HMO＝72∴∠MHB＝∠MOH＋∠HMO＝90此时，不能再添加了，因此最多添加4根，故选：A．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．7．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，其中（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等可得，再根据等腰三角形和三角形外角可得.【详解】解：∵正五边形 ABCDE内角和为：,∴，∵，∴，，∴，∴.故选：C.【点睛】本题主要考查正五边形的性质和等腰三角形的性质，三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，解决本题的关键是要熟练运用正五边形和等腰三角形的性质.8．如图，在四边形ABCD中，，，，，，则CD的长为（       ）．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】【分析】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，根据AD=8，BC=2和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．【详解】解：延长AD、BC交于E，∵∠A=30°,∠B=90°，∴∠E=60°，∵∠ADC=120°，∴∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，∵AD=8，BC=2，∴2(2+x)=x+8，解得；x=4，∴CD=4，故选：C【点睛】本题考查30度角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．9．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（     ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【详解】∵∠B、∠C的角平分线交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，∵，∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF与△CEF为等腰三角形，∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，∵只有当△ABC是等腰三角形时，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF，∴②③正确，①④不正确，∵∠A＝80°，∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．10．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（       ）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，当时，最短，此时的周长最小，最小值为的长．【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，如图所示：由对称性可知，，，的周长，，，，，，，当时，最短，此时的周长最小，，的面积9，，的周长最小值为6，故选：B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，三角形面积公式是解题的关键．二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）11．如图，在中，，，CD是的高，且，则AD的长是______【答案】3【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余可证出∠BCD=∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求得AB的长，即可解题．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，∴∠BCD=∠A=30°，∵BD=1，∴BC=2，∴AB=4，∴AD=AB-BD=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得AB的长是解题的关键．12．将一张纸按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则的度数为__________．【答案】90°【解析】【分析】根据折叠前后两图形全等可得到，，再根据平角为180°即可求出．【详解】解：如下图所示，设图中四个角分别为，∵BC、BD为折痕，∴，，∵∴∴=故答案为：90°．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，也考查了平角的定义．13．如图，中，，将沿折痕对折，点恰好与的中点重合，若，则的长为______．【答案】6【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得∠A=∠ABE，根据折叠的性质得∠ABE=∠CBE，然后根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解∶ 根据题意得：∠BDE=∠C=90°，∠ABE=∠CBE，∵点D为AB的中点，∴DE垂直平分AB，∴AE=BE=4，∴∠A=∠ABE，∴∠ABC=2∠A，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠A=30°，∴∠ABE=∠CBE =30°，∴，∴AC=4+2=6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．14．如图, 在 中, 边的垂直平分线分别交于点, 边的垂直平 分线分别交于点, 若, 则的周长为________【答案】10【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得，，进而求得的周长．【详解】的垂直平分线分别交于点，，的垂直平分线分别交于点，，的周长为，故答案为：10．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．15．如果等腰三角形一条边上的高等于这条边长的一半，那么这个等腰三角形的顶角的度数是_____________________．【答案】30°，90°，150°【解析】【分析】三种情形①BD是腰上的高．②AD是底边上的高，分别求解即可．③△ABC是钝角三角形．【详解】①如图1中，∵AB=AC，BD⊥AC，BD=AC=AB，∴∠A=30°；②如图2中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵AD=BC，∴AD=DB=DC，∴∠DAB=∠DAC=45°，∴∠BAC=90°；③如图，AB=AC，BD⊥AC，BD=AB，则∠BAD=30°，∠BAC=150°，∴等腰三角形的顶角为30°或90°或150°．故答案为：30°或90°或150°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、30°直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于点P．有下列结论：①②；③当时，； ④PC平分∠APB．其中正确的是___．（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①②③④【解析】【分析】根据SAS证明△ACE≌△DCB可判断①；由三角形的外角性质可判断②；由 AC=DC，AC=BC，BC=EC，可得AC=DC =BC=EC，运用等腰三角形的性质即可判断③正确；由△ACE≌△DCB可知AE=BD，根据全等三角形的面积相等，从而证得AE和BD边上的高相等，即CH=CG，最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得∠APC=∠BPC，故可判断④．【详解】解：①∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=DG，故①正确；②∵∠APB是△APD的外角，∴∠APD=∠ADP+∠DAP由①得△ACE≌△DCB∴∠CAE=∠CDB∵AC=DC∴∠CAD=∠CDA∴∠APD=∠ADC+∠DAC=2∠ADC，故②正确；③∵AC=DC，AC=BC，BC=EC，∴AC=DC =BC=EC，∴∠CAE=∠CEA，∠CDB=∠CBD，∵∠CAE=∠CDB，∴，，，，所以③正确；④如图，分别过点C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G，∵△ACE≌△DCB，∴AE=BD，S△ACE=S△DCB，∴AE和BD边上的高相等，即CH=CG，∴∠APC=∠BPC，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理，三角形的外角的性质，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等．17．如图，在中，，的平分线交于点，的平分线交于点，点在边上，，连接，则________．【答案】90°##90度【解析】【分析】设BD、EF交于点G，先证明BD⊥EF，则有∠AFE=90°+∠ABC，再证明2∠BDE=∠BDC=90°-∠ABC，即可求解．【详解】设BD、EF交于点G，如图，∵BF=BE，∴△BEF是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，BD⊥EF，∴∠BGE=∠BGF=90°，∵∠AFE=∠BGF+∠ABG，∴∠AFE=90°+∠ABC，∵DE平分∠BDC，∴2∠BDE=∠BDC，∵∠C=90°，∴∠BDC+∠DBC=90°，∴∠BDC+∠ABC=90°，∴2∠BDE=∠BDC=90°-∠ABC，∵，∴，∴，故答案为：90°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的性质等知识，证明BD⊥EF，是解答本题的关键．18．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝___．【答案】【解析】【分析】根据平分，平分，可得，，再根据外角的性质可得，，化简得；过作于点，于点，延长线于点，易得，可得平分，即有，根据，可得，，则有，再根据求解即可．【详解】解：∵平分，平分，∴，，又∵，，∴∴∴如图示，过作于点，于点，延长线于点，∵平分，平分，∴，，即∴平分，∴又∵∴∴∴∴故答案是：．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．三、解答题（10小题，共76分）19．已知：如图，在中，，是的中点，，，，分别是垂足，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据AB=AC，等边对等角，得到∠B=∠C；由D点是BC中点，可知BD=CD；DE⊥AB，DF⊥AC，得到，进而得到△BDE≌△CDF．【详解】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，，∵D是的中点，∴BD=CD，在和中∴△BDE≌△CDF∴BE=CF，∵AB=AC，∴AB-BE=AC-CF即AE=AF．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定．通过全等三角形对应边相等，得到线段之间的关系是解题的关键．20．如图，已知△ABC，AB＞AC，∠B＝45°．请用尺规作图法，在AB边上求作一点P，使∠PCB＝45°．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】答案见解析【解析】【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在边上求作一点，使，根据可知,即为的垂直平分线与的交点．【详解】解：作法：以、为圆心，以为半径画弧，分别交于、两点，连接交 于，连接，即。【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．21．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．(1)在图①中，画△ABC的高线AD．(2)在图②中，画△ABC的中线BE．(3)在图③中，画△ABF，使△ABF的面积为6【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）根据网格线即可知，AD和BC互相垂直，AD即为△ABC的高线；（2）根据矩形的对角线互相平分可知点E为AC的中点，BE为△ABC的中线；（3）因为根据S∆ABF= ，即可得出S∆ABF面积为6；(1)如图①，AD为△ABC的高线；(2)如图②，BE为△ABC的中线；(3)如图③，△ABF的面积为6；【点睛】本题考查了网格中应用与设计作图，用到了三角形高，中线，和三角形的面积等知识，解题的关键是正确掌握三角形面积求法，灵活应用所学知识解决问题．22．如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．(1)求证；(2)连接，若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由平行线的性质，结合条件可证明，即可得出；（2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．(1)证明：∵，∴，在和中，，∴，∴；(2)解： 由（1）知，，又∵，∴是等边三角形，∵，∴．∴的长为．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质．掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．23．如图，在和中，，，，垂足为M，连接EA．(1)与全等吗？为什么？(2)若，判断与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)全等，理由见解析(2)，理由见解析【解析】【分析】（1）先证明，，可得，再利用AAS证明三角形全等即可；（2）先证明，可得，结合，可得，从而可得结论．(1)解：，理由如下：因为，，，所以，所以，所以，在和中，所以；(2)，理由如下：在和中，所以，所以，又因为，所以，所以．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义与性质，熟练的运用AAS，ASA证明三角形全等是解本题的关键．24．已知：如图，△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F．(1)求证：BE＝CF；(2)若AB=16，CF=2，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)12【解析】【分析】（1）连接BD，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得DE=DF，DC=DB，利用HL可证Rt△DCF≌Rt△DBE，从而证出结论；（2）利用HL可证Rt△ADF≌Rt△ADE，利用全等三角形的性质即可求解．(1)连接DB，∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC，在Rt△DCF与Rt△DBE中，DE=DF，DB=DC，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE；(2)∵CF=BE=2，AB=16，∴AE=AB-BE=16-2=14，在Rt△ADF与Rt△ADE中，DE=DF，AD=AD，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF=AE=14，∴AC=AF-CF=14-2=12．【点睛】此题考查的是角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质是解题关键．25．如图①，在等边中，点D、E分别是BC、AB上的点，，CE与AD交于点O．(1)填空：______度；(2)如图②，以AO为边作等边，BF与CO相等吗？并说明理由；(3)如图③，若点G是AC的中点，连接BO、GO，判断BO与GO有什么数量关系？并说明理由．【答案】(1)60(2)，理由见解析(3)OB=2OG，理由见解析【解析】【分析】（1）证明△EBC≌△DCA（SAS），由∠COD=∠CAD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，即可求解；（2）证明△FAB≌△OAC（SAS），即可得出结论；（3）△BFO≌△OCR（SAS），即可得出结论．(1)如图①中，∵△BCA是等边三角形，∴BC=CA，∠B=∠ACD=60°，在△EBC和△DCA中， ，∴△EBC≌△DCA（SAS），∴∠BCE=∠CAD，∴∠COD=∠CAD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，∴∠COD=60°．故答案为：60(2)如图2中，∵△FAO，△BAC都是等边三角形，∴AF=AO，AB=AC，∠FAO=∠BAC=60°，∴∠FAB=∠OAC，在△FAB和△OAC中，，∴△FAB≌△OAC（SAS），∴BF=CO，(3)如图③中，延长OG到R，使得GR=GO，连接AR，CR．在△AGO和△CGR中，，∴△AGO≌△CGR（SAS），∴AO=CR=OF，∠GAO=∠GCR，BF=CO，∴AO∥CR，∵△FAB≌△OAC，∴∠BFA=∠COA=120°，∵∠AFO=∠AOF=60°，∴∠BFO=∠AOF=60°，∴BF∥AO，∴BF∥CR，∴∠BFO=∠RCO，在△BFO和△OCR中，，∴△BFO≌△OCR（SAS），∴OB=OR，∵OR=2OG，∴OB=2OG，【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．．26．在中，，点D是BC边上一点，将沿AD折叠后得到，射线AE交射线CB于点F．(1)当点D在线段BC上时，①如图1，若，说明；②如图2，若，请判断与的数量关系，并说明理由；(2)若，，求的度数．【答案】(1)①见解析；②，证明见解析(2)或【解析】【分析】（1）①根据平行线的性质和折叠的性质即可证得；②利用互余的性质和折叠的性质可证；（2）分两种情况：（ⅰ）若点在线段上；若点在延长线上，利用翻折变换的性质进行求解即可．(1)①∵，∴．∵，∴．由折叠可得，∴，∴，即．②．理由：∵，∴，即，由折叠可得，∴．∵，，∴．由折叠可得，∴，化简得，，即．(2)解：∵，∴．∵，∴，．（ⅰ）若点在线段上，由折叠可得，∵，∴．∵，，∴．∴．由折叠可得．（ⅱ）若点在延长线上，由折叠可得，∴．∵，∴．∴，由折叠可得．综上所述，或．【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．27．（1）如图①，已知：在中，，，点A在直线m上，直线m，直线m，垂足分别为点D，E．证明：．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中a为任意锐角或者钝角．请问结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图③，点D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接BD，CE，若，试判断的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）为等边三角形【解析】【分析】（1）由“一线三等角模型”先证明，再由全等三角形对应边相等得到，据此解答；（2）由“一线三等角模型”先证明，再由全等三角形对应边相等得到，据此解答；（3）由等边三角形性质解得，继而证明，得到，再证明，得到，最后根据等边三角形的判定方法解答．【详解】（1）证明：直线m，直线m，（2）仍成立，理由如下：（3）为等边三角形，理由如下：和均为等边三角形， ，在与中为等边三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题关键．28．阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析【解析】【分析】(1) 延长AD至M，使，连接MC，证明，结合等角对等边证明即可．(2) 延长DF至点M，使，连接BM、AM，证明，△ABM是等边三角形，代换后得证．【详解】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）线段DF与AD的数量关系为：．证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示：∵点F为BE的中点，∴在和中，∵，∴∴，，∴∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE∴，，∴∵是等边三角形∵，，∴∵，∴在和中，∵，∴∴，，∴∴是等边三角形，∴．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．