初中数学3 角平分线图文ppt课件

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知识点4　角平分线的性质定理
1.(2024河南许昌十中月考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, AD平分∠CAB,若CD=4,则点D到AB的距离是 (　    ) A.4　　　    B.3　　　    C.2　　　    D.5
如图,作DH⊥AB于H.∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,∴CD=DH,∵CD=4,∴DH=4,即点D到AB的距离是4.故选A.
2.(2023四川攀枝花期中)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E且AB=6 cm,则△DEB的周 长为 (　    ) A.12 cm　　　    B.10 cmC.8 cm　　　    D.6 cm
解析　∵AD平分∠CAE,∠C=∠AED=90°,∴CD=DE,∴BD+ DE=BD+CD=BC=AC,在△ACD和△AED中, ∴△ACD≌△AED(),∴AE=AC,∴C△BED=BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6 cm.故选D.
3.(新独家原创)如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足 为E,AB=8,BC=5,DE=4,则△ABD与△BCD的面积差为　　         . 
解析　作DF⊥BC于F,如图,
∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF=4, ∴S△ABD-S△CBD= ·AB·DE- ·BC·DF= ×8×4- ×5×4=6.故答案为6.
4.如图,AB∥CD,∠BAC、∠ACD的平分线交于点O,OE⊥AC 于E,且OE=3 cm,则直线AB与CD的距离为　　　    cm. 
解析　如图,过点O作MN⊥AB于M,交CD于N,∵AB∥CD,∴ MN⊥CD,∵AO是∠BAC的平分线,OM⊥AB,OE⊥AC,OE=3 cm,∴OM= OE=3 cm,∵CO是∠ACD的平分线,OE⊥AC,ON⊥CD,∴ON= OE=3 cm,∴MN=OM+ON=6 cm,即AB与CD之间的距离是6 cm. 
5.(2024上海金山期末)如图,∠ABC和∠ACD的平分线交于点 E,过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G,EF⊥AC交AC于点F.(1)求证:EG=EF.(2)连结AE,求证:∠AEG=∠AEF. 
证明    (1)如图,过点E作EH⊥BD于点H,
∵BE平分∠ABC,EG⊥BG,EH⊥BD,∴EG=EH,
∵CE平分∠ACD,EF⊥AC,EH⊥CD,∴EF=EH,∴EG=EF.(2)∵EG⊥BG,EF⊥AC,∴∠AGE=90°=∠AFE,在Rt△AEG和Rt△AEF中, ∴Rt△AEG≌Rt△AEF(H.L.),∴∠AEG=∠AEF.
知识点5　角平分线的性质定理的逆定理
6.(2024福建厦门外国语学校期中)如图,点P在射线OC上,PD ⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E,且PD=PE,若∠AOB=70°,则 ∠POE=　　　    . 
解析　∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴OC平分∠AOB,∴∠POE= ∠AOB= ×70°=35°.
7.(2023吉林长春期末)如图,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点 D和点E,BD与CE相交于点F,BF=CF.求证:点F在∠BAC的平 分线上. 
证明　∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠CDF=∠BEF=90°,在△CDF 和△BEF中, ∴△CDF≌△BEF(),∴DF=EF,又∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴点F在∠BAC的平分线上.
8.(新考向·尺规作图)(2023湖南湘潭中考,15,★☆☆)如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小 于AC的长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N 为圆心,以大于 MN的长为半径作弧,在∠BAC内两弧交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则CD的 长为　　　    . 
解析　由作图知AD平分∠BAC,∵∠C=90°,点D到AB的距离 为1,∴CD=1.
9.(等积法求面积)(2024福建泉州惠安一中期中,16,★★☆)如 图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,点F、G分别是 AB、AC上的点,且DF=DG,△ADG与△DEF的面积分别是20 和6,则△ADF的面积为　　　    . 
解析　如图,过点D作DH⊥AC于H,∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DE=DH,在Rt△DEF和Rt△DHG中, ∴Rt△DEF≌Rt△DHG(H.L.),∴S△DEF=S△DHG=6,同理Rt△ADE≌Rt△ADH,∴S△ADE=S△ADH=S△ADG-S△DHG=20-6=14,
∴S△ADF=S△ADE-S△DEF=14-6=8.
10.(2024四川宜宾筠连民主中学期中,22,★★☆)如图,已知 ∠AOB和两点M、N,试确定一点P,使得P到射线OA、OB的 距离相等,并且到点M、N的距离也相等.(尺规作图,不写作 法,保留作图痕迹) 
解析　如图,点P即为所求. 
11.(2023江西赣州石城期末,21,★★☆)如图1,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∠A=α.(1)如图1,若∠A=50°,求∠BOC的度数.(2)如图2,连结OA,求证:AO平分∠BAC.(3)如图3,若射线BO与△ACB的外角∠ACD的平分线交于点 P,求证:OC⊥PC. 
图1 图2 图3
解析    (1)∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°,∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB=65°,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=115°.(2)证明:过点O作OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别 为D,E,F,
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC,∴OD=OE,OD=OF,∴OE=OF,∴AO平分∠BAC.(3)证明:∵CO平分∠ACB,CP平分∠ACD,∴∠ACO= ∠ACB,∠ACP= ∠ACD,∴∠OCP=∠ACO+∠ACP= ∠ACB+ ∠ACD= ∠BCD= 
12.(方程思想)(2024河南漯河郾城期中,21,★★☆)如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线PQ于P点,PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E,连结PB,PC.(1)试探究线段BD与线段CE的数量关系,并说明理由.(2)若∠DAC=84°,∠APB=24°,求∠ACB的度数. 
解析    (1)BD=CE.理由如下:∵点P在BC的垂直平分线上,∴BP=CP,∵AP是∠DAC的平分线,PD⊥BD,PE⊥AC,∴DP=EP,在Rt△BDP和Rt△CEP中, ∴Rt△BDP≌Rt△CEP(H.L.),∴BD=CE.(2)∵∠DAC=84°,AP平分∠DAC,∴∠DAP=∠PAE= ×84°=42°,
∵∠APB=24°,∴∠ABP=42°-24°=18°,∵Rt△BDP≌Rt△CEP,∴∠DBP=∠ECP=18°,∵PB=PC,∴∠PBC=∠PCB,设∠ACB=x°,则∠PBC=∠PCB=(x+18)°,∵∠DAC=∠ABC+∠ACB,∴18+(x+18)+x=84,解得x=24,∴∠ACB=24°.
13.(推理能力)(新考向·过程性学习试题)(2023吉林长春九台期末)在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B、C重合),连结AD.(1)如图1,当点D是BC边的中点时,S△ABD∶S△ACD=　　　    .(2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求S△ ABD∶S△ACD的值(用含m,n的代数式表示).(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得DE=AD,连结BE,如 果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC=　　　    .
图1 图2 图3
解析    (1)1∶1.(2)过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∵AD为∠BAC的平分线,∴DE=DF,∵AB=m,AC=n,∴S△ABD∶ S△ACD=  ·AB·DE ∶  ·AC·DF =m∶n= . (3)∵AD=DE,∴由(1)知S△ABD∶S△EBD=1∶1,∵S△BDE=6,∴S△ABD=6,
∵AC=2,AB=4,AD平分∠CAB,∴由(2)知S△ABD∶S△ACD=AB∶ AC=4∶2=2∶1,∴S△ACD=3,∴S△ABC=3+6=9.故答案为9.
微专题　应用角平分线的性质解决面积问题
　    (2023山东东营中考)如图,在△ABC中,以点C为圆心,任 意长为半径作弧,分别交AC,BC于点D,E;分别以点D,E为圆 心,大于 DE的长为半径作弧,两弧交于点F;作射线CF交AB于点G.若AC=9,BC=6,△BCG的面积为8,则△ACG的面积为 　　　    .
解析　如图,过点G作GM⊥AC于点M,GN⊥BC于点N. 由作图可知CG平分∠ACB,∴GM=GN.∵S△BCG= ·BC·GN=8,BC=6,∴GN= .∴GM=GN= . ∴S△AGC= ·AC·GM= ×9× =12.
1.(由求面积改为求面积比)(2023福建福州平潭第一中学期中)如图,△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16,点O是△ABC三条角平分线的交点,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC为 (　    ) A.4∶3∶2　　　    B.5∶3∶2C.2∶3∶4　　　    D.3∶4∶5
解析    　如图,过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥BC于点E,OF ⊥AC于点F, ∵点O是△ABC三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF,∵S△OAB= AB·OD= ×16·OD=8OD,S△OBC= BC·OE= ×12·OE=6OE,
S△OAC= AC·OF= ×8·OF=4OF,∴S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=8OD∶6OE∶4OF=4∶3∶2.故选A.
2.(条件变为周长)(2023福建厦门湖里中学期中)如图,已知点O为△ABC的两条角平分线的交点,过点O作OD⊥BC于点D, 且OD=4.若△ABC的周长是17,则△ABC的面积为　　　    .