初升高数学衔接讲义 第16讲.对数运算与对数函数（教师版+学生版）

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一.对数的概念
一般地，对于指数式，我们把“以为底的对数”记作，即.其中，数叫做对数的底数，叫做真数，读作“等于以为底的对数”.
【定义理解】
训练1.将下列指数式写成对数式：
（1） ；（2）.
【答案】（1）；（2）
训练2.将下列对数式写成指数式：
（1）；（2） .
【答案】（1）；（2）
二.对数运算法则





计算：
（2） （3）（4）
（5）（6）（7）
【答案】（1）1；（2）1；（3）0；（4）19；（5）；（6）；（7）15
练习1： 计算：
（1）（2）（3）（4）
（5） （6） （7）
【答案】（1）；（2）16；（3）3；（4）-1；（5）0；（6）；（7）
【解析】（4）；
；
；
.
已知 ， , 用表示 .
【答案】
【解析】，
三．对数函数的概念
1.定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是.
2.常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数,例如简记为.
3.自然对数：我们通常把无理数为底的对数叫做自然对数，例如简记为.
四．对数函数的性质
函数是对数函数，则实数________．
【答案】1
【解析】依题意，解得.
比较下列各组中两个值的大小．
（1）；（2）；（3）
【答案】（1）；（2）；
（3）时；时，
求下列函数的定义域．
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）要使函数有意义，则，解得，定义域为；
要使函数有意义，则，解得且，定义域为；
要使函数有意义，则，即，
解得，定义域为.

求下列函数的值域：
（1） (2)
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）函数定义域为，
，，故值域为；
（2）由得，故定义域为，
，，
故值域为.
已知，求的最大值及相应的的值．
【答案】
【解析】，要使函数有意义，
则，解得，
令，则
，
，即时，取得最大值.
五、对数函数的图象变换及定点问题
（1）与对数函数有关的函数图象过定点问题
对数函数过定点，即对任意的对数函数都有.
（2）对数函数的图象变换的问题
①
②
③
④
若函数的图象恒过定点，则实数的值分别为 .
【答案】-2，2
作出函数的图象．
【答案】略
解下列不等式：
(1)； （2）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），解得；
（2）由得，
，解得.
若，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】，，即，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上，的取值范围是.
求函数的单调区间．
【答案】单调递减区间为，无单调递增区间.
【解析】由得，故定义域为，
是由和复合而成的，
是增函数，是减函数，
的单调递减区间为，无单调递增区间.
求函数的单调区间．
【答案】当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为，无单调递增区间.
【解析】函数是由和复合而成的，
要使函数有意义，则，即，
①当时，解得，即定义域为，
此时是增函数，而是减函数，
则的单调递减区间为，无单调递增区间；
②当时，解得，即定义域为，
此时是减函数，而是增函数，
则的单调递减区间为，无单调递增区间，
综上，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为，无单调递增区间.
已知在上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】是由和复合而成的，
是减函数，在上是增函数，
在上是减函数，且恒成立，
且当时，解得，
的取值范围是.
判断函数的奇偶性.
【答案】奇函数
【解析】恒成立，函数定义域为，
，
是奇函数.
已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)求使的的取值范围．
【答案】（1）；（2）奇函数；（3）当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.
【解析】（1）要使有意义，则，解得，故定义域为；
，是奇函数；
由得，
①若，则，解得；
②若，则，解得，
综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.
扩充：反函数
（1）对数函数的反函数
指数函数与对数函数互为反函数．
（2）互为反函数的两个函数之间的关系
①原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；
②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
若函数是函数的反函数，且，则( )
A．B．C． D．
【答案】A
函数的反函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的反函数的定义域就是的值域，
，，故选B.
若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】原函数与反函数关于直线对称，点关于直线对称的点为，
必过点，选A.
跟踪训练——对数与对数运算（一）
对应的指数式是（ ）
B. C.D.
【答案】B
下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A.与B.与
C.与D.与
【答案】C
设，则的值等于（ ）
10B.C.100D.1000
【答案】C
【解析】，，解得，选C.
设，则底数的值等于（ ）
2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】，，，故选D.
已知，那么等于（ ）
B.C.D.
【答案】C
【解析】，，，
，选C.
若，则 ；若，则 .
【答案】
计算： ； .
【答案】8，-6
求下列各式的值：______；_______.
【答案】-6，
求下列各式中的取值范围：（1）； （2）.
【答案】（1）；（2）
（1）设，求的值.
（2）设，且，求的值.
【答案】（1）12；（2）2
【解析】（1），，；
（2），，
且，，解得.
对数与对数运算（二）
（ ）
A.1B.C.2D.
【答案】B
化简得结果是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】，故选C.
化简的结果是（ ）
A.B.1C.2D.
【答案】A
已知， 则的值等于（ ）
A.1B.2C.8 D.12
【答案】A
【解析】，，故选A.
化简的结果是 （ ）
A.1B.C.2D.3
【答案】C
【解析】，选C.
计算 .
【答案】1
【解析】原式
若，则 .
【答案】
【解析】，，
.
（1）已知，试用表示的值；
（2）已知，用表示.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，
；
（2），
.
跟踪训练——对数函数及其性质（一）
下列各式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
当时,在同一坐标系中,函数与的图象是（ ）
A B C D
【答案】C
【解析】，，是增函数，且经过定点，是减函数，且经过定点，故选C.
下列函数中哪个与函数是同一个函数（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】定义域为，A错误：定义域为；B错误：定义域为；C正确：，且定义域为；D错误：，故选C.
函数的定义域是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】要使有意义，则，即，
解得，故定义域为，选D.
若，那么满足的条件是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】，，，
，故选C.
求下列函数的定义域：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依题意，解得或，
故定义域为；
（2）依题意，即，解得，
故定义域为.
已知函数，，求：
的值域；
的最大值及相应的值.
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）是增函数且，
，，所以值域为；
（2）定义域为，要使有意义，
则，解得，
令，则
，
，即时，取得最大值-6.
跟踪训练——对数函数及其性质（二)
函数的图象关于（ ）
A.轴对称B.轴对称C.原点对称D. 直线对称
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则，解得，
故定义域为，关于原点对称，
又，
为奇函数，关于原点对称，选C.
函数的值域是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】，
，故值域为，选C.
设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）
A.B.2C.D.4
【答案】D
【解析】，，
，故选D.
图中的曲线是的图象，已知的值为，则曲线相应的依次为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，在图中作直线从左到右与曲线相交，
对应横坐标等于底数，且底数依次增大，
故相应的依次为，故选A.
下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A.B.
C. D.
【答案】D
【解析】A错误：在为减函数；
B错误：为增函数，在为减函数，为增函数，在为减函数，在为增函数；
C错误：为增函数，在为减函数，在为减函数；
D正确：为减函数，在为增函数，在为减函数，
在为减函数，在为增函数.
函数是 函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）
【答案】奇
【解析】恒成立，定义域为，关于原点对称，
又，
是奇函数.
函数的反函数的图象过点，则的值为 .
【答案】3
【解析】函数的反函数的图象过点，则的图象过点，
代入得，，.
求函数的单调区间.
【答案】单调增区间为，单调减区间为.
【解析】由解得或，
是由和复合而成的，
是减函数，在为减函数，在为增函数，
的单调增区间为，单调减区间为.
若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】是由和复合而成的，
为减函数，在区间上是增函数，
在为减函数且恒成立，
且时，，解得，
的取值范围为.
图
象
性
质
定义域：
值域：
过点，即当时，
时
时
时
时
在上是增函数
在上是减函数