2020年初升高数学衔接课程第16讲对数运算与对数函数（教师版含解析）练习题

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第16讲对数运算与对数函数一.对数的概念一般地，对于指数式，我们把“以为底的对数”记作，即.其中，数叫做对数的底数，叫做真数，读作“等于以为底的对数”. 【定义理解】训练1.将下列指数式写成对数式：(1) ； (2). 【答案】(1)；(2) 训练2.将下列对数式写成指数式：(1)； (2) .【答案】(1)；(2) 二.对数运算法则（1）（2）（3）（4）（5）例1.计算：（1） (2) (3) (4)(5) (6) (7) 【答案】(1)1；(2)1；(3)0；(4)19；(5)；(6)；(7)15 练习1：计算：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)【答案】(1)；(2)16；(3)3；(4)-1；(5)0；(6)；(7)【解析】(4)；（5）；（6）；（7）. 例2.已知， , 用表示 .【答案】【解析】，三．对数函数的概念1.定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 2.常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数,例如简记为.3.自然对数：我们通常把无理数为底的对数叫做自然对数，例如简记为.四．对数函数的性质图象性质定义域：值域：过点，即当时，时时时时在上是增函数在上是减函数例3.函数是对数函数，则实数________．【答案】1【解析】依题意，解得. 例4.比较下列各组中两个值的大小．(1)；(2)；(3)【答案】(1)；(2)；(3)时；时，例5.求下列函数的定义域．(1) (2) (3)【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)要使函数有意义，则，解得，定义域为；（2）要使函数有意义，则，解得且，定义域为；（3）要使函数有意义，则，即，解得，定义域为. 例6.求下列函数的值域：(1) (2)【答案】(1)；(2).【解析】(1)函数定义域为，，，故值域为；(2)由得，故定义域为，，，故值域为. 例7.已知，求的最大值及相应的的值．【答案】【解析】，要使函数有意义，则，解得，令，则，，即时，取得最大值. 五、对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数过定点，即对任意的对数函数都有.(2)对数函数的图象变换的问题①②③④ 例8.若函数的图象恒过定点，则实数的值分别为 .【答案】-2，2 例9.作出函数的图象．【答案】略例10. 解下列不等式：(1)； (2)．【答案】(1)；(2).【解析】(1)，解得；(2)由得，，解得. 例11. 若，求实数的取值范围.【答案】【解析】，，即，当时，，解得；当时，，解得，综上，的取值范围是. 例12. 求函数的单调区间．【答案】单调递减区间为，无单调递增区间.【解析】由得，故定义域为，是由和复合而成的，是增函数，是减函数，的单调递减区间为，无单调递增区间. 例13. 求函数的单调区间．【答案】当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为，无单调递增区间.【解析】函数是由和复合而成的，要使函数有意义，则，即，①当时，解得，即定义域为，此时是增函数，而是减函数，则的单调递减区间为，无单调递增区间；②当时，解得，即定义域为，此时是减函数，而是增函数，则的单调递减区间为，无单调递增区间，综上，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为，无单调递增区间.例14. 已知在上是增函数，求实数的取值范围．【答案】【解析】是由和复合而成的，是减函数，在上是增函数，在上是减函数，且恒成立，且当时，解得，的取值范围是. 例15. 判断函数的奇偶性.【答案】奇函数【解析】恒成立，函数定义域为，，是奇函数. 例16. 已知函数．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求使的的取值范围．【答案】(1)；(2)奇函数；(3)当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.【解析】(1)要使有意义，则，解得，故定义域为；（2），是奇函数；（3）由得，①若，则，解得；②若，则，解得，综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是. 扩充：反函数(1)对数函数的反函数指数函数与对数函数互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．例17. 若函数是函数的反函数，且，则(　　)A． B． C． D．【答案】A 例18. 函数的反函数的定义域为(　　)A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的反函数的定义域就是的值域，，，故选B. 例19. 若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点(　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】原函数与反函数关于直线对称，点关于直线对称的点为，必过点，选A.
跟踪训练——对数与对数运算(一) 对应的指数式是( ) B. C. D. 【答案】B 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A.与 B.与 C.与 D.与【答案】C 设，则的值等于( ) 10 B. C.100 D.1000【答案】C【解析】，，解得，选C. 设，则底数的值等于( ) 2 B. C. 4 D. 【答案】D【解析】，，，故选D. 已知，那么等于( ) B. C. D. 【答案】C【解析】，，，，选C. 若，则；若，则 .【答案】计算：； .【答案】8，-6 求下列各式的值：______；_______.【答案】-6，求下列各式中的取值范围：(1)； (2).【答案】(1)；(2) (1)设，求的值.(2)设，且，求的值.【答案】(1)12；(2)2【解析】(1)，，；(2)，，且，，解得.对数与对数运算(二)1．( )A.1 B. C.2 D.【答案】B 2．化简得结果是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C. 3．化简的结果是( )A. B.1 C.2 D.【答案】A 4．已知，则的值等于( )A.1 B.2 C.8 D.12【答案】A【解析】，，故选A. 5．化简的结果是 ( )A.1 B. C.2 D.3 【答案】C【解析】，选C. 6．计算 . 【答案】1【解析】原式 7．若，则 . 【答案】【解析】，，. 8．(1)已知，试用表示的值； (2)已知，用表示. 【答案】(1)；(2)【解析】(1)，，；(2)，. 跟踪训练——对数函数及其性质(一) 下列各式错误的是( )A. B. C. D.【答案】B 当时,在同一坐标系中,函数与的图象是( )A B C D【答案】C【解析】，，是增函数，且经过定点，是减函数，且经过定点，故选C. 下列函数中哪个与函数是同一个函数( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】定义域为，A错误：定义域为；B错误：定义域为；C正确：，且定义域为；D错误：，故选C. 函数的定义域是( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】要使有意义，则，即，解得，故定义域为，选D. 若，那么满足的条件是( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，故选C. 求下列函数的定义域：(1) (2)【答案】(1)；(2).【解析】(1)依题意，解得或，故定义域为；(2)依题意，即，解得，故定义域为. 已知函数，，求：(1) 的值域；(2) 的最大值及相应的值.【答案】(1)；(2)，【解析】(1)是增函数且，，，所以值域为；(2)定义域为，要使有意义，则，解得，令，则，，即时，取得最大值-6. 跟踪训练——对数函数及其性质(二) 函数的图象关于( ) A.轴对称 B.轴对称 C.原点对称 D. 直线对称【答案】C【解析】要使函数有意义，则，解得，故定义域为，关于原点对称，又，为奇函数，关于原点对称，选C. 函数的值域是( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故值域为，选C. 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则( ) A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】，，，故选D. 图中的曲线是的图象，已知的值为，则曲线相应的依次为( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】，在图中作直线从左到右与曲线相交，对应横坐标等于底数，且底数依次增大，故相应的依次为，故选A. 下列函数中，在上为增函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】A错误：在为减函数；B错误：为增函数，在为减函数，为增函数，在为减函数，在为增函数；C错误：为增函数，在为减函数，在为减函数；D正确：为减函数，在为增函数，在为减函数，在为减函数，在为增函数. 函数是函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)【答案】奇【解析】恒成立，定义域为，关于原点对称，又，是奇函数. 函数的反函数的图象过点，则的值为 .【答案】3【解析】函数的反函数的图象过点，则的图象过点，代入得，，. 求函数的单调区间.【答案】单调增区间为，单调减区间为.【解析】由解得或，是由和复合而成的，是减函数，在为减函数，在为增函数，的单调增区间为，单调减区间为. 若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】【解析】是由和复合而成的，为减函数，在区间上是增函数，在为减函数且恒成立，且时，，解得，的取值范围为.