初升高数学衔接讲义 第12讲.函数的奇偶性（教师版+学生版）

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奇函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数叫做奇函数.
偶函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数叫做偶函数.
奇函数、偶函数的性质
奇函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于原点对称；③若定义域内包含0，则；
④.
偶函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于轴对称；③.
用定义证明函数奇偶性的步骤：
①求定义域.若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则进行下一步;
②化简的解析式.
③求，判断与的关系.若，则为奇函数；若，则为偶函数；若都不满足，则既不是奇函数也不是偶函数；若两个等式都满足，则既是奇函数也是偶函数.
判断函数奇偶的方法
定义法；
图像法；
性质法: ①偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数；
③一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为0)为奇函数.
（性质法里面需要注意定义域）
函数的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】C
【解析】定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，选C.
下列说法正确的是( )
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数的定义域为，且，则是奇函数
【答案】B
设奇函数的定义域是且图象的一部分如图所示，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】是奇函数，可作出如下在的图象，
由图象可知的解集为.
判断下列函数的奇偶性：
（1） ； （2）；
（3） ； （4）
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）既奇又偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数.
【解析】（1）的定义域为，不关于原点对称，
为非奇非偶函数；
（2）中有，解得，
且，为既奇又偶函数；
（3）定义域为，
且，为偶函数；
（4）函数定义域为，且，
当时，，
此时；
当时，，
此时，
综上可知，为奇函数.
设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是偶函数
【答案】D
已知函数是奇函数，则________．
【答案】2
【解析】当时，，
是奇函数，，解得.
函数，若对任意实数都有，求证：为奇函数．
【证明】令得，则，
令，依题意得，即，
又定义域为，为奇函数．
已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，__________．
【答案】
【解析】当时，，
是定义在上的偶函数，.
已知分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
【答案】
【解析】分别是上的奇函数和偶函数，，
又，则，即，
联立解得.
若函数是偶函数，且定义域为，则__________，__________．
【答案】
【解析】依题意得且恒成立，
解得且恒成立，则.
已知为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为__________．
【答案】
【解析】奇函数在上是增函数，
在上是增函数，
又，，
由得或，
解得或，
的解集为.
定义在上且满足，且时，，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】依题意，
令得，，
任取且，则，
，
在上单调递增，
不等式转化为且，
，解得，故解集为.
设定义在区间上的偶函数，当时，单调递减，若成立，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】是定义在区间上的偶函数，
可化为，
又时，单调递减，
，解得，
故的取值范围为.
函数是定义在区间上的奇函数，且．
确定函数的解析式；
用定义证明：在区间上是增函数；
解不等式：．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）依题意得，解得，
；
（2）任取且，
则，
且，，
，即，
在区间上是增函数
（3）可化为，
则，解得.
跟踪训练
已知函数是定义在上的奇函数，且，则等于( )
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】依题意，选D.
下面五个命题中，正确命题的个数是（ ）
①偶函数的图像一定与轴相交；②奇函数图像一定过原点；③偶函数图像一定关于轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是；⑤偶函数与轴若有交点，则交点横坐标之和为0.
A.2B.3 C.4D.5
【答案】A
【解析】①错误，③正确：偶函数的图像关于轴对称，但不一定与轴相交；②错误：奇函数图像关于原点对称，但不一定经过原点，只有在原点处有定义才通过原点；④错误：若既是奇函数，又是偶函数，则且，则，但不一定，只要定义域关于原点对称即可；⑤正确.故正确命题个数是2，选A.
对于定义在上的任意奇函数，都有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于定义在上的任意奇函数，都有，
则，故选D.
若函数为偶函数，则（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意得，
即，，解得，选C.
函数的图像关于（ ）
A.轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称
【答案】C
【解析】定义域为，且，
是奇函数，图象关于原点对称，选C.
已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】是定义在上的奇函数，且当时，，
则时，，此时，
，故选B.
已知函数，则下列结论正确的是( )
A.是偶函数，递增区间是 B.是偶函数，递减区间是
C.是奇函数，递减区间是 D.是奇函数，递增区间是
【答案】C
【解析】定义域为，且，
是奇函数，
当时，，在上递减，在递增；
当时，，在上递减，在递增，
综上，递减区间是，选C.
如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是（ ）
A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是
C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是
【答案】A
【解析】奇函数在区间上是增函数且最大值为，
则在上也是增函数，，
在区间上由最小值，选A.
若函数是偶函数，则的递减区间是 .
【答案】
【解析】依题意，解得，
，的递减区间是.
若函数在上是奇函数,则的解析式为________.
【答案】
【解析】在上是奇函数，
，解得，.
设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则由大到小的关系是__________．
【答案】
【解析】偶函数在上是增函数，
，即.
若函数是奇函数，则实数的值为______．
【答案】1
【解析】函数是奇函数，时，，
则，.
设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图,则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】奇函数图象关于原点对称，作出在的图象如下：
由得，由图可知，
的解集为.
已知，则 ．
【答案】
【解析】由已知得，
则.
已知函数的定义域是，且满足，,如果对于，都有.
求；
解不等式.
【答案】（1）0；（2）.
【解析】（1）令，得，；
（2）依题意，，，
由对于，都有，可知在 单调递减，
由得，
，解得，故解集为.
判断下列函数的奇偶性．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
【答案】（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶函数.
【解析】（1）定义域为，且，
是奇函数；
（2）中有，解得，不关于原点对称，
是非奇非偶函数；
（3）中有，解得，
，，
是奇函数；
（4）当时，，此时且，
是非奇非偶函数.
已知奇函数是定义在上的减函数，求不等式的解集.
【答案】
【解析】奇函数是定义在上的减函数，
由得，
，解得，故解集为.
已知函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集．
【答案】
【解析】奇函数在上是增函数，且，
在上是增函数，且，
由得或，
解得或，
故解集为.
若是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式．
【答案】
【解析】是定义在上的奇函数，，
当时，，
此时，
综上，.