2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第7章　§7.2　空间点、直线、平面之间的位置关系（2份打包，原卷版+含解析）

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1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
知识梳理
1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：在同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
常用结论
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
(4)两两相交的三条直线共面．( )
2．(必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(\r(6),3) D.eq \f(\r(3),3)
3．(多选)给出以下四个命题，其中错误的是( )
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面
C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则：
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
题型一 基本事实的应用
例1 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
跟踪训练1 在如图所示的空间几何体中，四边形ABEF与ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝eq \f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq \f(1,2)AF，G，H分别为AF，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
题型二 空间位置关系的判断
例2 (1)(多选)下列推断中，正确的是( )
A．M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
(2)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能
(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是( )
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
题型三 异面直线所成的角
例3 (1)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(30),6) D.eq \f(\r(6),6)
(2)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC与PD所成角的余弦值为eq \f(\r(10),5)，则四棱锥外接球的表面积为( )
A．48π B．12π C．36π D．9π
跟踪训练3
(1)若正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为eq \r(6)，则直线AE1和EF所成角的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
(2)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,3)
课时精练
一、单项选择题
1．若直线上有两个点在平面外，则( )
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
2．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知平面α∩平面β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l＝M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )
A．直线CM B．直线BM
C．直线AB D．直线BC
4.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(15),3) B.eq \f(\r(15),5) C.eq \f(\r(6),4) D.eq \f(\r(10),4)
5．在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，E，F，G分别为AB，PC，AD的中点，直线BF与EG所成角的余弦值为eq \f(\r(6),3)，则三棱锥P－EFG的体积为( )
A.eq \f(5\r(2),12) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(\r(2),6)
二、多项选择题
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是( )
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，B1，B四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
7．在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝eq \r(2)，AD＝BC＝AC＝BD＝eq \r(5)，则( )
A．AB⊥CD
B．三棱锥A－BCD的体积为eq \f(2,3)
C．三棱锥A－BCD外接球的半径为eq \r(6)
D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为eq \f(3,5)
三、填空题
8．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．
9．如图，AB和CD是异面直线，AB＝CD＝3，E，F分别为线段AD，BC上的点，且eq \f(AE,ED)＝eq \f(BF,FC)＝eq \f(1,2)，EF＝eq \r(7)，则AB与CD所成角的大小为________．
四、解答题
10.已知ABCD是空间四边形，如图所示(M，N，E，F分别是AB，AD，BC，CD上的点)．
(1)若直线MN与直线EF相交于点O，证明：B，D，O三点共线；
(2)若E，N为BC，AD的中点，AB＝6，DC＝4，NE＝2，求异面直线AB与DC所成角的余弦值．
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点．
(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；
(2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积．
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a∩α＝A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a⊂α
无数个
平面与平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β＝l
无数个