新高考数学一轮复习《空间点、直线、平面之间的位置关系》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《空间点、直线、平面之间的位置关系》课时练习

一              、选择题

1.若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则(　　)

A.a∥c            B.a，c是异面直线

C.a，c相交        D.a，c平行或相交或异面

【答案解析】答案为：D

解析：若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c可以平行，可以相交，可以异面.

2.已知平面α，β，直线m，n，则下列命题中正确的是(　　)

A.若m∥α，n⊂α，则m∥n

B.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

C.若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l

D.若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

【答案解析】答案为：C.

解析：对于A，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；

对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；

对于C，若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则由线面平行的性质得m∥l，故C正确；

对于D，若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m与β不一定垂直，故D错误.

3.在空间，已知直线l及不在l上的两个不重合的点A，B，过直线l作平面α，使得点A，B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是(　　)

A.1           B.2          C.3       D.无数

【答案解析】答案为：C

解析：(1)如图，当直线AB与l异面时，则只有一种情况；

(2)如图，当直线AB与l平行时，则有无数种情况，平面α可以绕着l转动；

(3)如图，当l过线段AB的中垂面时，有两种情况.

4.如图，E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是(　　)

A.直线EF，HG有可能平行

B.直线EF，HG一定异面

C.直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上

D.直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上

【答案解析】答案为：C

解析：∵BE＝2AE，DH＝2HA，∴＝＝，则EH∥BD，且EH＝BD，

又CF＝2FB，CG＝2GD，∴＝＝2，则FG∥BD，且FG＝BD，∴EH∥FG，且EH≠FG，

∴四边形EFGH为平面四边形，故直线EF，HG一定共面，故B错误；

若直线EF与HG平行，则四边形EFGH为平行四边形，可得EH＝GF，与EH≠FG矛盾，故A错误；

由EH∥FG，且EH≠FG，EH＝BD，FG＝BD，可得直线EF，HG一定相交，设交点为O，

则O∈EF，又EF⊂平面ABC，可得O∈平面ABC，同理，O∈平面ACD，

而平面ABC∩平面ACD＝AC，∴O∈AC，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上，故C正确，D错误.

5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点.设AM与平面BB1D1D的交点为O，则(　　)

A.D1，O，B三点共线，且OB＝2OD1

B.D1，O，B三点不共线，且OB＝2OD1

C.D1，O，B三点共线，且OB＝OD1

D.D1，O，B三点不共线，且OB＝OD1

【答案解析】答案为：A

解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接AD1，BC1，如图，

C1D1∥CD∥AB，连接BD1，平面ABC1D1∩平面BB1D1D＝BD1，

因为M为棱D1C1的中点，则M∈平面ABC1D1，而A∈平面ABC1D1，即AM⊂平面ABC1D1，又O∈AM，则O∈平面ABC1D1，

因为AM与平面BB1D1D的交点为O，则O∈平面BB1D1D，于是得O∈BD1，即D1，O，B三点共线，

显然D1M∥AB且D1M＝D1C1＝AB，于是得OD1＝BO，即OB＝2OD1，

所以D1，O，B三点共线，且OB＝2OD1.

6.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，E，F，G分别为棱AA1，AB，CC1上的点，其中AE＝1，AF＝2，CG＝，平面α经过点E，F，G，则α截此正方体所得的截面为(　　)

A.三角形         B.四边形      C.五边形         D.六边形

【答案解析】答案为：C

解析：如图所示，

取BB1的中点H，BM＝1，因为AE＝1，AF＝2，CG＝，所以EF∥A1H, GM∥D1E，所以五边形EFMGD1在平面α上，所以截面是五边形.

7.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将两底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为(　　)

A.         B.       C.         D.

【答案解析】答案为：A

解析：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，则四边形AMEN即是平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形，如图所示，

由已知可得AM＝AN＝，B1C1＝2.

因为N是A1C1的中点，所以＝＝，即PC1＝CC1，则PC1＝BB1，

又M为BB1的中点，所以B1M＝PC1.由△PC1E∽△MB1E，得＝，

可得B1E＝B1C1＝，C1E＝，ME＝＝，

NE＝＝，MN＝＝.

所以平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积

S＝××＋××＝.

8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)

A．         B．         C．           D．

【答案解析】答案为：C；

解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD∥AB，所以异面直线AE与CD所成的角为∠EAB，

设正方体的棱长为2a，则由E为棱CC1的中点，可得CE=a，所以BE=a，

则tan∠EAB===．故选C．

9.已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案解析】答案为：B.

解析：画出正四面体ABCD的直观图，如图所示.

设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO，则EF∥BD，

则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角.△ABC为等边三角形，则CE⊥AB，

易得CE=，同理可得CF=，故CE=CF.因为OE=OF，所以CO⊥EF.

又EO=EF=BD=，所以cos∠FEC===.]

二              、多选题

10. (多选)设α，β表示平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题，其中正确的是(　　)

A.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α

B.若α，β不重合且A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB

C.若l⊄α，A∈l，则A∉α

D.若A，B，C∈α，A，B，C∈β，则α与β重合

【答案解析】答案为：AB.

解析：若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α，A正确；

若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则直线AB既在平面α内，又在平面β内，所以α∩β＝AB，B正确；

若l⊄α，则直线l可能与平面α相交于点A，所以A∈l时， A∈α，C不正确；

若A，B，C∈α，A，B，C∈β，当A，B，C共线时，α与β可能不重合，D不正确.

11. (多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(　　)

A.GH＝2EF

B.GH≠2EF

C.直线EF，GH是异面直线

D.直线EF，GH是相交直线

【答案解析】答案为：BD

解析：如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵MH∥A1C1∥AC∥FG，

∴M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，

∴E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，

∵EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，

∴EF与GH是相交直线.由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝MH，

∴EF＝GH，即GH≠2EF.

12. (多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别为棱AB，A1D1的中点，则下列说法中正确的有(　　)

A.D1B⊥CE

B.三棱锥D－CEF的体积为

C.若P是棱C1D1上一点，且D1P＝1，则E，C，P，F四点共面

D.平面CEF截该长方体所得的截面为五边形

【答案解析】答案为：BCD.

解析：连接DE, D1E，如图所示，

因为E为AB的中点，所以EB＝BC＝2，所以CE＝＝2，同理DE＝CE＝2，

又DC＝4，所以DE2＋EC2＝DC2，即DE⊥EC，

又因为DD1⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，所以DD1⊥CE，又DE∩DD1＝D，

所以CE⊥平面DD1E，即CE⊥D1E，

又D1E∩D1B＝D1，即D1E与D1B不平行，所以CE不垂直于D1B，故A错误；

由等体积法可得三棱锥D－CEF的体积VD－CEF＝VF－CED＝××4×2×2＝，故B正确；

作出P，使D1P＝1，取C1D1的中点G，则P为D1G的中点，连接FP，CP，A1G，

因为F，P分别为A1D1，D1G的中点，所以FP∥A1G，

又△A1D1G≌△CBE，且A1D1∥BC，D1G∥EB，所以A1G∥EC，所以FP∥EC，

所以E，C，P，F四点共面，故C正确；

由选项C可得E，C，P，F四点共面，平面CEF即为平面CEFP，

作EH∥CP，交AA1于H ，如图所示，

所以E，H，P，C在同一平面内，即H点在平面ECP内，所以E，C，P，F，H在同一平面内，所以平面CEF截该长方体所得的截面为五边形，故D正确.

三              、填空题

13.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条.

【答案解析】答案为：无数.

解析：在EF上任意取一点M，如图，

直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点.故在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条.

14.在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD－A1B1C1D1截成两部分，则截面与平面BCC1B1的交线段长为________.

【答案解析】答案为：.

解析：如图，连接AE并延长交DC的延长线于M，连接FM交CC1于G，连接EG并延长交B1C1的延长线于N，连接NF并延长交A1D1于H，连接AH，则五边形AEGFH为经过点A，E，F的正方体的截面，

因为E为BC的中点，所以CE＝BC＝2，因为CE∥AD，所以△MCE∽△MDA，

所以＝＝，所以CM＝CD＝4，因为DM∥C1D1，所以△MCG∽△FC1G，

所以＝＝2，所以CG＝×4＝，所以EG＝＝＝，

所以截面与平面BCC1B1的交线段长为.

15.已知三棱锥P－ABC的所有棱长为2，D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，则此三棱锥的外接球被平面DEF所截的截面面积为________.

【答案解析】答案为：.

解析：作PN⊥平面ABC于N点，交平面DEF于M点，取三棱锥P－ABC的外接球球心为O，设外接球半径为r，则OP＝OB＝r，

易知BN＝，PN＝＝，则在Rt△ONB中，r2＝2＋2，解得r＝，又D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，则PM＝PN＝，则球心到平面DEF的距离OM＝－＝.此三棱锥的外接球被平面DEF所截的截面为以＝为半径的圆，

则截面面积为π()2＝.

16.已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.在矩形BCC1B1内有一点P，使D1P与平面BCC1B1所成的角的正切值为，则点P的轨迹长度为________.

【答案解析】答案为：.

解析：如图，取B1C1的中点E，BB1的中点F，CC1的中点G，连接D1E，D1B1，D1F，D1G，EF，EG，EP.

因为∠BAD＝60°，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，所以△D1B1C1为等边三角形，所以D1E＝，D1E⊥B1C1，又四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥D1E，因为BB1∩B1C1＝B1，所以D1E⊥侧面B1C1CB，又EP⊂侧面B1C1CB，所以D1E⊥EP，所以∠D1PE为D1P与平面BCC1B1所成的角，tan∠D1PE＝＝＝，解得EP＝，故点P的轨迹为扇形FEG的，易知∠B1EF＝∠C1EG＝，所以∠FEG＝，所以弧FG＝×＝.