2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理应用举例【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理应用举例【含解析】，共14页。
【基础落实练】
1.(5分)在相距2 km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为( )
A.6 kmB.2 km
C.3kmD.2 km
2.(5分)如图,在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为( )
A.4003 mB.40033 m
C.20033 mD.2003 m
3.(5分)位于灯塔A处正西方向相距(53-5) n mile的B处有一艘甲船需要海上救援,位于灯塔A处北偏东45°相距52 n mile的C处的一艘乙船前往营救,则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西( )
A.30°B.60°C.75°D.45°
4.(5分)(2023·铁岭模拟)如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1 km,CD=3 km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠AEC=150°,则两山顶A,C间的距离为( )
A. 27 km B. 33 km
C. 42 km D. 25 km
5.(5分)(多选题)八一广场是南昌市的心脏地带,江西省最大的城市中心广场,八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑,现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量,并绘制出测量方案示意图,A为纪念塔最顶端,B为纪念塔的基座(即B在A的正下方),在广场内(与B在同一水平面内)选取C,D两点,测得CD的长为m.兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BDC,则根据下列各组中的测量数据,能计算出纪念塔高度AB的是( )
A. m,∠ACB,∠BCD,∠BDC
B. m,∠ACB,∠BCD,∠ACD
C. m,∠ACB,∠ACD,∠ADC
D. m,∠ACB,∠BCD,∠ADC
【加练备选】
在某次巡航中,军舰B在海港A的正南方向,军舰C在军舰B的正西方向,军舰D在军舰B,C之间,且CD=100海里,若在军舰C处测得海港A在东偏北45°的位置,在军舰D处测得海港A在东偏北75°的位置,则军舰B到海港A的距离为( )
A. 503海里
B. (506+502)海里
C. (503+50)海里
D. (253+25)海里
6.(5分)泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一,被列为“世界文化遗产”.如图所示,为了估算泰姬陵的高度,现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB,高约为50 m,在它们之间的地面上的点Q(B,Q,D三点共线)处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°,在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°,则估算泰姬陵的高度CD为( )
A. 75 m B. 502 m C. 256 m D. 80 m
7.(5分)如图,某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长 m.
8.(5分)甲船在A处观察到乙船在它北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正在向北行驶,若甲船的速度是乙船的3倍,则甲船应取北偏东θ方向前进才能尽快追上乙船,此时θ= .
9.(5分)(2023·无锡模拟)某校研究性学习小组想要测量某塔的高度,现选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B,现测得∠DAB=75°,∠ABD=60°,
AB=48米,在点A处测得塔顶C的仰角为30°,则塔高CD为 米.
10.(10分)(2023·重庆模拟)綦江区东溪中学,始建于1944年,位于千年古镇东溪镇,是一所有着悠久历史和深厚文化底蕴并能与时俱进、持续创新的学校.东溪中学设施齐全,拥有200 m标准环形跑道的塑胶球场.学校的标志性建筑是“飞机楼”.
小华同学为了估算飞机楼的高度,他进行了一番估测:飞机楼底部中点近似处于球场的中心轴上,飞机楼正前方的塑胶球场可近似看作两个等大半圆夹一个矩形的形状,估测得圆的半径为r=15.3 m,站在两个半圆圆心(记为点C,D)处分别测得对飞机楼顶点A的仰角为α=15°和β=45°.
(1)估算距离CD;
(2)根据以上数据估算飞机楼高度AB.(结果保留两位小数.可能用到的数据:π≈3.14,3≈1.732)
【能力提升练】
11.(5分)(2023·葫芦岛模拟)滕王阁,江南三大名楼之一,位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸,滕王阁分为上部主体建筑和下部象征古城墙的高台座,始建于唐朝永徽四年.如图,为了测量滕王阁的高度,选取了与该阁底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=111.2 m,在C点测得滕王阁顶端A的仰角为45°,则滕王阁的高AB=( )
(参考数据:sin 53°≈0.8)
A. 69.5 m B. 68.8 m
C. 70.2 m D. 71.5 m
12.(5分)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作,也为地图学提供了数学基础,根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧,若在B,C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°,且BC=100 m,则该球体建筑物的高度约为( )(cs 10°≈0.985)
A. 45.25 m B. 50.76 m
C. 56.74 m D. 58.60 m
2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理应用举例【解析版】(时间:45分钟 分值:65分)
【基础落实练】
1.(5分)在相距2 km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为( )
A.6 kmB.2 km
C.3kmD.2 km
【解析】选A.如图,在△ABC中,
由已知可得∠ACB=45°,所以ACsin60°=2sin45°,所以AC=22×32=6(km).
2.(5分)如图,在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为( )
A.4003 mB.40033 m
C.20033 mD.2003 m
【解析】选A.设山顶为A,塔底为C,塔顶为D,过点A作CD的垂线,交CD的延长线于点B(图略),则易得AB=BCtan60°,BD=AB·tan 30°=BCtan60°·tan 30°=2003×33=2003(m),
所以CD=BC-BD=200-2003=4003(m).
3.(5分)位于灯塔A处正西方向相距(53-5) n mile的B处有一艘甲船需要海上救援,位于灯塔A处北偏东45°相距52 n mile的C处的一艘乙船前往营救,则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西( )
A.30°B.60°C.75°D.45°
【解析】选B.依题意,过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D,如图,
则AB=53-5,AC=52,∠ACD=45°,
在Rt△ADC中,AD=DC=5,在Rt△BDC中,BD=53,DC=5,所以tan∠BCD=BDDC=3,又∠BCD∈(0,π2),所以∠BCD=π3,则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西60°.
4.(5分)(2023·铁岭模拟)如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1 km,CD=3 km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠AEC=150°,则两山顶A,C间的距离为( )
A. 27 km B. 33 km
C. 42 km D. 25 km
【解析】选A.AB=1,CD=3,
∠AEB=30°,∠CED=60°,∠AEC=150°,
所以AE=2AB=2,CE=CDsin 60°=332=23.
在△ACE中,由余弦定理得,
AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×cs∠AEC=4+12-2×2×23×(-32)=28,
所以AC=27,即两山顶A,C间的距离为27 km.
5.(5分)(多选题)八一广场是南昌市的心脏地带,江西省最大的城市中心广场,八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑,现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量,并绘制出测量方案示意图,A为纪念塔最顶端,B为纪念塔的基座(即B在A的正下方),在广场内(与B在同一水平面内)选取C,D两点,测得CD的长为m.兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BDC,则根据下列各组中的测量数据,能计算出纪念塔高度AB的是( )
A. m,∠ACB,∠BCD,∠BDC
B. m,∠ACB,∠BCD,∠ACD
C. m,∠ACB,∠ACD,∠ADC
D. m,∠ACB,∠BCD,∠ADC
【解析】选ACD.对于A:由m,∠BCD,∠BDC可以解△BCD,可求BC,又AB=BC·tan∠ACB,可求塔高AB;
对于B:在△BCD中,由CD=m,∠BCD无法解三角形,在△ACD中,由CD=m,∠ACD无法解三角形,
在△BCA中,已知两角∠ACB,∠ABC无法解三角形,所以无法解出任意三角形,故不能求塔高AB;
对于C:由CD=m,∠ACD,∠ADC可以解△ACD,可求AC,又AB=AC·sin∠ACB,可求塔高AB;
对于D:过B作BE⊥CD于E,连接AE(图略),由cs∠ACB=BCAC,cs∠BCD=ECBC,
cs∠ACE=ECAC知,cs∠ACE=cs∠ACB·cs∠BCD.
故可知∠ACD的大小,由∠ACD,∠ADC,m可解△ACD,可求AC.
又AB=ACsin∠ACB,可求塔高AB.
【加练备选】
在某次巡航中,军舰B在海港A的正南方向,军舰C在军舰B的正西方向,军舰D在军舰B,C之间,且CD=100海里,若在军舰C处测得海港A在东偏北45°的位置,在军舰D处测得海港A在东偏北75°的位置,则军舰B到海港A的距离为( )
A. 503海里
B. (506+502)海里
C. (503+50)海里
D. (253+25)海里
【解析】选C.由题意知,CD=100,∠B=90°,∠ACD=45°,∠ADB=75°,
所以∠ADC=105°,∠CAD=30°.
在△ACD中,由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsin∠CAD,
所以AC=CD·sin∠ADCsin∠CAD=100×sin105°sin30°,
又因为sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cs 45°+cs 60°sin 45°=32×22+12×22=2+64,
所以AC=100×2+6412=506+502,
则军舰B到海港A的距离为506+5022=(503+50)海里.
6.(5分)泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一,被列为“世界文化遗产”.如图所示,为了估算泰姬陵的高度,现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB,高约为50 m,在它们之间的地面上的点Q(B,Q,D三点共线)处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°,在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°,则估算泰姬陵的高度CD为( )
A. 75 m B. 502 m C. 256 m D. 80 m
【解析】选A.因为∠AQB=45°,∠CQD=60°且AB=50,在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°,所以∠CAQ=60°,∠ACQ=45°,AQ=502,
则CQsin60°=AQsin45°,所以CQ=50222×32=503,故CD=CQsin 60°=75 (m).
7.(5分)如图,某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长 m.
【解析】设坡底需加长x m,由正弦定理得100sin30°=xsin45°,解得x=1002.
答案:1002
8.(5分)甲船在A处观察到乙船在它北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正在向北行驶,若甲船的速度是乙船的3倍,则甲船应取北偏东θ方向前进才能尽快追上乙船,此时θ= .
【解析】如图所示,∠CAB=60°-θ,∠B=120°,设甲船追上乙船时乙船行驶的距离为x,则BC=x,AC=3x.
在△ABC中,根据正弦定理
BCsin∠CAB=ACsinB,即xsin(60°-θ)=3xsin120°,
得sin(60°-θ)=12,又60°-θ为锐角,所以60°-θ=30°,得θ=30°.
答案:30°
9.(5分)(2023·无锡模拟)某校研究性学习小组想要测量某塔的高度,现选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B,现测得∠DAB=75°,∠ABD=60°,
AB=48米,在点A处测得塔顶C的仰角为30°,则塔高CD为 米.
【解析】根据题意可知,在△ABD中,
由∠DAB+∠ABD+∠ADB=180°,可得∠ADB=45°.
利用正弦定理可得ABsin∠ADB=ADsin∠ABD,
即AD=sin∠ABDsin∠ADB·AB=sin 60°sin 45°×48=246.
又在点A处测得塔顶C的仰角为30°,即∠CAD=30°,
所以CD=AD·tan 30°=246×33=242(米),即塔高CD为242米.
答案:242
10.(10分)(2023·重庆模拟)綦江区东溪中学,始建于1944年,位于千年古镇东溪镇,是一所有着悠久历史和深厚文化底蕴并能与时俱进、持续创新的学校.东溪中学设施齐全,拥有200 m标准环形跑道的塑胶球场.学校的标志性建筑是“飞机楼”.
小华同学为了估算飞机楼的高度,他进行了一番估测:飞机楼底部中点近似处于球场的中心轴上,飞机楼正前方的塑胶球场可近似看作两个等大半圆夹一个矩形的形状,估测得圆的半径为r=15.3 m,站在两个半圆圆心(记为点C,D)处分别测得对飞机楼顶点A的仰角为α=15°和β=45°.
(1)估算距离CD;
(2)根据以上数据估算飞机楼高度AB.(结果保留两位小数.可能用到的数据:π≈3.14,3≈1.732)
【解析】(1)根据题意塑胶球场可近似看作两个等大半圆夹一个矩形的形状,
所以200 m标准环形跑道的塑胶球场周长为2πr+2CD=200 m,
将π≈3.14,r=15.3代入可求得CD=51.96 m.
(2)设飞机楼高度AB=h,
由β=45°可得AB=DB=h,
在Rt△ABC中,tan α=ABCB=ℎCD+ℎ,
由α=15°可得tan α=tan(45°-30°)=1-331+33=2-3,
即ℎCD+ℎ=2-3,所以h=2-33-1CD,代入数据可得h≈19.02 m,所以飞机楼高度AB约为19.02 m.
【能力提升练】
11.(5分)(2023·葫芦岛模拟)滕王阁,江南三大名楼之一,位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸,滕王阁分为上部主体建筑和下部象征古城墙的高台座,始建于唐朝永徽四年.如图,为了测量滕王阁的高度,选取了与该阁底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=111.2 m,在C点测得滕王阁顶端A的仰角为45°,则滕王阁的高AB=( )
(参考数据:sin 53°≈0.8)
A. 69.5 m B. 68.8 m
C. 70.2 m D. 71.5 m
【解析】选A.在△BCD中,∠BCD=23°,∠CDB=30°,
则∠CBD=180°-23°-30°=127°,
由正弦定理得BCsin∠CDB=CDsin∠CBD,
即BC=CDsin∠CDBsin∠CBD=111.2sin30°sin127°=55.6sin53°≈69.5(m),
由在C点测得滕王阁顶端A的仰角为45°,
得AB=BC=69.5 m,所以滕王阁的高为69.5 m.
12.(5分)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作,也为地图学提供了数学基础,根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧,若在B,C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°,且BC=100 m,则该球体建筑物的高度约为( )(cs 10°≈0.985)
A. 45.25 m B. 50.76 m
C. 56.74 m D. 58.60 m
【解析】选B.
设球的半径为R,AB=3R,AC=Rtan 10°,BC=Rtan 10°-3R=100,
所以R=1001tan 10°-3=100sin 10°cs 10°-3sin 10°=100sin 10°2sin(30°-10°)=50sin 10°sin 20°=50sin 10°2sin 10°cs 10°=25cs 10°≈250.985.
所以2R≈500.985≈50.76.