(新高考)高考数学一轮考点复习4.7.1《正弦定理、余弦定理及应用举例》学案 (含详解)

第七节　正弦定理和余弦定理

第1课时　系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用举例

知识点一　正弦定理、余弦定理

1．正、余弦定理及变形

　[提醒]　若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．

2．谨记常用结论

(1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则

①sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)．

②sin ＝cos ，cos ＝sin .

③sin A＝sin B⇔A＝B；

sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝.

④A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B．

(2)三角形的面积

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

[重温经典]

1．(教材改编题)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)

A．2　　　　　　　　　　　　 B．1

C.  D．

答案：D

2．(教材改编题)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若2asin B＝b，则角A等于(　　 )

A.  B．

C.  D．

答案：A

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝，c＝2，b＝2，则C＝(　　)

A.  B．或

C.  D．或

答案：B

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形   B．等腰非等边三角形

C．等边三角形  D．钝角三角形

解析：选C　∵＝，∴＝，∴b＝c.

又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.

∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．

5．(教材改编题)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin B＝sin A＋sin C，cos B＝，且S△ABC＝6，则b＝________.

解析：在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c，①

由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac×＝(a＋c)2－ac，②

由cos B＝，得sin B＝，故S△ABC＝ac×＝6，③

由①②③得，b＝4.

答案：4

6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为5，则c＝________.

解析：由三角形面积公式，得×4×5sin C＝5，

即sin C＝.又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°.由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝.

答案：

知识点二　解三角形应用举例

　测量中几个术语的意义及图形表示

　[提醒]　(1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．

(2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．

[重温经典]

1．(教材改编题)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.

答案：50

2．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________n mile.

答案：5

3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.

解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos 120°，

∵x>0，∴x＝－1.

答案：－1

4.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m.

解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，

所以AD＝＝，因此CD＝ADsin 60°＝×sin 60°＝10(3－)．

答案：10(3－)