初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性优质课ppt课件
展开2 . 5等腰三角形的轴对称性
看到下边三角形了吗,它有何特点呢?我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.
第1课时 等腰三角形的性质
把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠,你有什么发现?
如图(1),在△ABC 中,AB =AC沿∠BAC 的平分线AD 把△ABD 翻折.
因为∠BAD=∠CAD, 所以AB 落在射线 AC 上. 因为AB=AC, 所以点 B 与点 C 重合, 从而△ABD 与△ACD 重合(2).
等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴.
由 △ABD 与△ACD 重合,可知∠B=∠C,∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD.
于是,我们得到如下定理:
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
你还可用什么方法证明上述定理?
作顶角的平分线,用“SAS”证明.
作底边上的中线,用“SSS”证明.
也可以作底边上的高,用“HL”证明.
几何语言:如图,在△ ABC 中, ∵ AB=AC, ∴∠B =∠ C.
性质1 等腰三角形的两底角相等 (简称“等边对等角”).
作用:是证明角相等的常用方法,应用它证角相等时可省去三角形全等的证明,因而更简便.
性质2 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).
(1) ∵ AB=AC,AD⊥BC, ∴ AD 平分∠ BAC,BD=DC.(2)∵ AB=AC,BD=DC, ∴ AD⊥BC,AD 平分∠BAC.(3)∵ AB=AC,AD 平分∠BAC, ∴ BD=DC,AD ⊥ BC.
如图, 在△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC. (1) 求∠ADB 的度数; (2) 若∠BAC=100°,求∠B、∠C 的度数; (3) 若BC=3 cm,求BD 的长.
(1) 在等腰三角形中,运用“三线合一”时,已知其中“一线”,就可以得到另外“两线”. 根据等腰三角形的“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条线段互相垂直. (2) “等边对等角”的前提是在同一个三角形中.
(1) 求∠ADB 的度数;
解:∵ AB=AC,AD平分∠BAC, ∴ AD ⊥ BC, ∴∠ ADB=90° .
(2) 若∠BAC=100°,求∠B、∠C 的度数;
(3) 若BC=3 cm,求BD 的长.
按下列作法,用直尺和圆规作等腰三角形 ABC,使底边 BC=a,高AD=h.
例 1 已知:如图2-30,在△ABC 中,AB=AC,点D 在BC 上,目AD=BD. 求证:∠ADB=∠BAC.
证明:∵AB=AC,AD=BD,∴∠B=∠C,∠B=∠1(等边对等角)∴∠C=∠1.∵∠ADB 是△ADC 的外角,∴∠ADB=∠C+∠2.∴∠ADB=∠1+∠2=∠BAC.
1. 在 △ABC 中,AB=AC,点D在 BC 上. 如果∠BAD =∠CAD,那么AD⊥BC,BD=CD; 如果 BD=CD,那么∠_______=∠_______,________⊥________; 如果 AD⊥BC,那么________________,________.
2. 在 △ABC 中,AB=AC. (1) 如果∠B=70°,那么∠C=_______°, ∠A=_______°; (2) 如果∠A=70°,那么∠B= _______°, ∠C=_______°; (3) 如果有一个角等于120°,那么∠A= _______°, ∠B =_______°,∠C = _______°.
(4) 如果有一个角等于 50°,那么另两个角等于多少度?
解:当顶角为 50°,即∠A = 50°时,另两个角∠B=∠C =(180° - 50°) ÷2 = 65°; 当底角为 50°,如∠B=50°时,则另两个角∠C=50°,∠A=180° - 50° × 2 = 80°.
3. 在如图的房屋人字梁架中,AB=AC,∠BAC = 110°, AD⊥BC. 求∠B、∠C、∠BAD、∠CAD 的度数.
第2课时 等腰三角形的判定
试说出“等腰三角形的两底角相等”这个命题的逆命题,并判断它是真命题还是假命题.
逆命题:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形. 这是一个真命题.
如图,在△ABC 中,∠B=∠C. 作△ABC 的角平分线AD. 由∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,AD=AD,可证△ABD ≌ △ACD. 可知AB=AC.
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.
在△ ABC 中, ∵∠B=∠C, ∴ AB=AC.
等边三角形是特殊的等腰三角形,它除了具有等腰三角形的一切性质外,还具有什么特殊的性质?
等边三角形是轴对称图形,并且有3条对称轴.
由AB=AC,可证∠B=∠C;由BA=BC,可证∠C=∠A.所以∠A=∠B=∠C=60°.
等边三角形的各角都等于 60°.
1. 如果一个三角形的三个角都相等,那么这个三角形是等边三角形吗?
由∠A=∠B、∠B=∠C,可证 AC=BC、AB=AC.所以 AB=BC=AC,△ABC是等边三角形.
2. 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形吗? 为什么?
如果顶角是60°,那么两个底角相等,也都是60°.
如果一个底角是60°那么另一个底角也是60°,并且顶角也是60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
1. 如图 ①,在一张长方形纸片上任意画一条线段 AB,将纸片沿线段 AB 折叠(如图②). 重叠部分的 △ABC 是等腰三角形吗?试说明理由.
解:△ABC 是等腰三角形.
理由如下:由折叠,可知∠1=∠2,由长方形对边平行,可得∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴△ABC 是等腰三角形.
2. 图中的每一个三角形都是等边三角形,试画出这个图 形所有的对称轴.
解:这个图形有 6条对称轴,对称轴略.
3. 如图,BD、CE 是等边三角形ABC 的中线. 求∠1、∠2、∠3、∠4 的度数.
∴∠CEB=90°,∠ABD=∠CBD=30°.∴∠1=180°-∠CEB-∠ABD =180°-90°-30°=60°.∴∠2=∠1=60°,∴∠3=180°-∠1 =180°-60°=120°,∴∠4=∠3=120°.
例2 已知:如图 2-32,∠EAC 是△ABC的外角,AD 平分∠EAC,AD∥BC. 求证:AB=AC.
证明:∵AD∥BC. ∴∠EAD=∠B, ∠DAC=∠C. ∴∠EAD=∠DAC, ∴ ∠B=∠C. ∴ AB=AC(等角对等边).
在图中,如果AB=AC,AD∥BC,那么AD 平分∠EAC 吗?试证明你的结论.
证明如下: ∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∵AD∥BC, ∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C, ∴∠EAD=∠DAC, ∴AD 平分∠EAC.
第3课时 直角三角形斜边上的中线的性质
剪一张直角三角形纸片,如图 2-33(1).
把纸片按图 2-33(2) 所示的方法折叠,再把纸片展平后按图 2-33(3)所示的方法折叠,你有什么发现?
两条折痕与斜边相交于同一点.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
在图2-34 中,如果∠A=30,那么BC与AB 有怎样的数量关系?试证明你的结论.
1. 如图,在Rt△ABC中,CD 是斜边AB上的中线, DE⊥AC,垂足为 E. (1) 如果 CD=2.4 cm,那么AB=_____cm;
(2) 写出图中相等的线段和角.
解:相等的线段有 BD=AD=CD,CE=AE; 相等的角有∠A=∠ACD, ∠B=∠BCD=∠CDE=∠ADE, ∠BCA=∠DEC=∠DEA.
2. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,角平分线 BD、 CE 相交于点O. 求证:OB=OC.
1. (1) 已知等腰三角形的周长为 10,底边长为 4, 求它的腰长; (2) 已知等腰三角形的周长为 10,腰长为 4, 求它的底边长;
解:10-4×2=2,即它的底边长为 2.
(3) 已知等腰三角形的周长为 12,一边长为 5,求它的 另外两边的长.
2. 用三角尺画一个等腰三角形的对称轴,你有几种画法?
解:主要有4种画法: ①用三角尺量出等腰三角形的底边的长,找出中点,再过中点与顶角的顶点画直线; ②用三角尺过顶角的顶点作底边的垂线;
③折叠等腰三角形,使两腰重合,用三角尺沿折痕画直线; ④ 折叠三角形,分别让底边与两腰重合,折痕即为等腰三角形的两底角的平分线,过其交点与顶角的顶点作出直线,即为对称轴.
3. 在等腰三角形 ABC 中,∠A=4∠B,根据下列条件 分别求∠C的度数 : (1) ∠A是顶角;
解:∵△ABC 是等腰三角形,∠A 是顶角, ∴∠B=∠C. 又∵∠A=4∠B,∠A+∠B+∠C= 180°, ∴4∠B+∠B+∠B = 180°. ∴∠B=30°. ∴∠C=30°.
(2) ∠A 是底角.
解:∵△ABC是等腰三角形,∠A是底角, 且∠A=4∠B, ∴ ∠B 只能是顶角, ∴∠C=∠A=4∠B, ∵∠A+∠B+∠C= 180°, ∴4∠B+∠B+4∠B=180°, ∴∠B=20°. ∴∠C=4∠B=80°.
4. 如图,在三角测平架中,AB=AC,在 BC的中点 D 处 挂一重锤,让它自然下垂。如果调整架身,使重锤线 正好经过点 A,那么就能确认 BC 处于水平位置。 为什么?
解:∵AB=AC,BD=DC, ∴AD⊥BC (等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合). 由题意知 AD 是重锤线所在的直线,所以 BC处于水平位置.
5. 在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,点D在AB 上,根 据下列条件分别求∠BCD的度数: (1) CD是△ABC的角平分线; (2) CD是△ABC的高; (3) CD = AD; (4) CD = CB.
(2)∵CD⊥AB, ∴∠BCD=90°-∠B=90°-70°=20°.(3)∵CD=AD, ∴∠A=∠ACD=40°, ∴∠BCD=70°-40°=30°.(4)∵CD=CB, ∴∠B=∠BDC=70°, ∴∠BCD=180°-70°-70°=40°.
6. 在△ABC中,∠A=40. 当∠B为多少度时,△ABC是 等腰三角形?
解:当∠A 是顶角时,∠B等于70°,△ABC是等腰三角形;当∠A 是底角,∠B 也是底角时,∠B=40°,△ABC 是等腰三角形;当∠A 是底角,∠C 是底角时,∠B =100°,△ABC 是等腰三角形.
7. 如图,∠C=36°,∠B=72°,∠BAD=36°. (1) 求∠1和∠2的度数;
解:∵∠C=36°,∠B=72°, ∴∠BAC=180°-72°-36°=72°. ∵∠BAD=36°, ∴∠1=∠BAC-∠BAD=36°, ∴∠2=∠1+∠C=36°+36°=72°.
(2) 找出图中的等腰三角形,并加以证明.
解:图中的等腰三角形有 3个: △ABD,△ACD,△ABC.
证明如下: ∵∠2=∠B=72°, ∴ AD=AB(等角对等边) 即△ABD 是等腰三角形.
∵∠1=∠C=36°,∴ AD=CD(等角对等边). 即△ACD 是等腰三角形.∵∠BAC=∠B=72°,∴AC=BC(等角对等边),∴△ABC 是等腰三角形.
8. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°, 点 D、E 在 BC 上,△DAB,△EAC. 求证:△AED是等边三角形,
∴∠CAD=120°-90°=30°,∴∠ADE=60°.同理,∠BAE=30°,∠AED=60°.∴∠EAD=120°-∠BAE-∠CAD=60°.∴∠EAD=∠ADE=∠AED,∴△AED 是等边二角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
9. 已知:如图,AB=AC,∠ABD=∠ACD. 求证:BD=CD.
证明:如图所示,连接 BC.
在△ABC 中, ∵AB=AC. ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵∠ABD=∠ACD, ∴∠ABD-∠ABC=∠ACD-∠ACB, 即∠CBD=∠BCD. ∴ BD=CD(等角对等边).
10. 如图,△ABC和△CDE 都是等边三角形,且点 A、C、 E 在一条直线上,AD与BE 相等吗? 证明你的结论.
解:AD=BE.证明如下:∵△ABC与△CDE 都是等边三角形,∴ AC=BC,CD=CE, ∠ACB=∠DCE=60°.
11. 如图,在△ABC中,AD是高,E、F分别是AB、AC 的中点. (1) AB=10,AC=8,求四边形 AEDF 的周长; (2) EF与AD 有怎样的位置关系? 证明你的结论.
(1) AB=10,AC=8,求四边形 AEDF 的周长;
∴ DE,DF 分别为 Rt△ABD 和Rt△ACD 斜边上的中线.∴ DE=AB=5,DF=AC=4 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),∴四边形AEDF 的周长为 AE+ED+DF+FA=5+5+4+4 =18.
证明如下:∵DE为 Rt△ABD斜边上的中线, ∴AE=DE. ∴点E在AD的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 同理,点F也在AD的垂直平分线上. ∴ EF垂直平分AD(两点确定一条直线).
(2) EF与AD 有怎样的位置关系? 证明你的结论.
12. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC, D是AB的中点,点E在AC上,点F在BC上, 且 AE=CF . 求证:DE=DF.
证明:∵AC=BC,∴∠A=∠B(等边对等角).∵∠ACB=90,D是AB 的中点,
∴CD=AD=BD (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).∴∠B=∠DCB,∴∠DCB=∠A.在△ADE 和△CDF 中,∴△ADE≌△CDF(SAS),∴DE=DF.
小学里已经学过:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形称为梯形,平行的一组对边称为底,不平行的一组对边称为腰.
如图(1),在等腰三角形纸片 ABC 上,画底边 BC 的平行线 DE,可得到一个梯形 DBCE. 由∠B=∠C,DE // BC, 可知∠ADE=∠AED,于是 AD =AE. 又AB=AC,从而 DB= EC. 像梯形 DBCE,两腰相等的梯形称为等腰梯形.
如果把如图(1)的等腰三角形纸片 ABC 沿顶角平分线 AM 折,那么AB与AC 重合,由于AD=AE,可知点D与点E 重合 (如图(2)),于是 MB=MC,ND=NE。
由此,我们可以得到如下结论:
等腰梯形是轴对称图形,过两底中点的直线是它的对称轴. 等腰梯形在同一底上的两个角相等. 等腰梯形的对角线相等.
利用等腰梯形与等腰三角形的内在联系,还可以研究:具备什么条件的梯形是等腰梯形?
如图(3),在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=∠C.
若 BA、CD 的延长线交于点 E,则 ∠EAD =∠B=∠C=∠EDA,所以△EAD、△EBC 都是等腰三角形,于是 EB-EA = EC-ED,即AB=DC,梯形 ABCD 是等腰梯形.
如图(4),在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC=BD.
若过点D作 DE∥AC,交 BC 的延长线于点E,则可证 △ADC≌△ECD,得 DE=AC=DB. 所以∠DBC=∠E=∠ACB. 于是,由△ABC≌△DCB. 可得 AB=DC,梯形ABCD 是等腰梯形.
由此可知: 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 对角线相等的梯形是等腰梯形.
折纸,常常能为证明一个命题提供思路和方法. 例如,在△ABC 中,AB>AC(如图 2-35(1)),怎样证明∠C>∠B 呢?
把AC沿∠A的平分线 AD 翻折,因为 AB>AC,所以点 C 落在AB上的点C处(如图2-35 (2)). 于是,由∠ACD=∠C,∠AC′D>∠B,可得∠C>∠B.
请选用下面提供的活动材料,折纸并证明. 1.用一张正方形纸片折等边三角形.
(1) 如图 2-36,把正方形纸片 ABCD 对折后再展开,折痕为 EF;
(2) 如图 2 - 37,将点A翻折到EF 上的点A处,且使折痕过点 B;
(3) 如图2-38,沿 A′C 折叠,得△A′BC(如图2-39).
你能证明 △A′BC 是等边三角形吗?
2. 用纸条折一个正五边形.
(1) 把纸条打好一个结(如图2-40),再拉紧压平 (如图2-41);
(2) 沿图2-42中的虚线剪开,就得五边形ABCDE (如图2-43).
各边相等、各角相等的五边形是正五边形。你能证明五边形 ABCDE 是正五边形吗?
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