2025年高考物理一轮复习讲义学案 第四章　曲线运动 第二讲　抛体运动

这是一份2025年高考物理一轮复习讲义学案 第四章　曲线运动 第二讲　抛体运动，共22页。

考点1 平抛运动的规律及应用

1.平抛运动
2.两个重要推论
（1）平抛运动任意时刻的速度偏转角θ与位移偏转角α满足：tanθ＝2tanα（正切2倍）.
推导：tanθ＝vyv0＝gtv0tanα＝yAxA＝gt2v0→tanθ＝2tanα.
（2）平抛运动任意时刻的速度反向延长线通过对应水平位移的中点（反延过中）.
推导：tanθ＝yAxA－xBtanα＝yAxAtanθ=2tanα→xB＝xA2.
将小球以一定的速度水平抛出，不计空气阻力，判断下列说法的正误.
（1）小球所做的运动就是平抛运动.（ √ ）
（2）小球的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化.（ ✕ ）
（3）小球的加速度方向与速度方向总垂直.（ ✕ ）
（4）小球的初速度越大，水平位移越大.（ ✕ ）
（5）小球的初速度越大，在空中飞行时间越长.（ ✕ ）
（6）从同一高度平抛的小球，在空中飞行时间相等.（ √ ）
（7）相等时间内小球的速度变化量相同.（ √ ）
（8）相等时间内小球的速度大小变化相同.（ ✕ ）
如图，将一飞镖以3m/s的初速度从距离地面高0.8m处水平抛出.（g取10m/s2）
（1）飞镖在水平方向运动的时间为 0.4 s，在竖直方向运动的时间为 0.4 s.
（2）飞镖在空中运动的水平位移为 1.2 m.
（3）飞镖落地时的速度大小为 5 m/s.

1.[对平抛运动规律的理解/2022广东]如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力.下列关于子弹的说法正确的是（ B ）
A.将击中P点，t＞Lv
B.将击中P点，t＝Lv
C.将击中P点上方，t＞Lv
D.将击中P点下方，t＝Lv
解析 由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间t相同，根据h＝12gt2可知子弹与积木下落高度相同，故子弹将击中P点，由平抛运动规律知子弹运动的时间t＝Lv，B正确.
2.[平抛运动的应用/2022全国甲]将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05s发出一次闪光.某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示.图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7.重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空气阻力.求在抛出瞬间小球速度的大小.
答案 0.8m/s
解析 设s1对应的水平位移为x，对应的竖直位移为y，则根据平抛运动的特点可知，s2对应的水平位移也为x，对应的竖直位移为3y
有y＝12g（4T）2＝0.2m
s1＝x2＋y2
s2＝x2＋（3y）2
又s1s2＝37
解得x＝0.032m
抛出瞬间小球的速度大小为v0＝x4T
解得v0＝0.8m/s.
考点2 与斜面或弧面相关的平抛运动

1.平抛运动与斜面结合
2.平抛运动与弧面结合
跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆.如图，现有某运动员从跳台上a处沿水平方向飞出，在斜坡上b处着陆，斜坡倾角为30°.
（1）运动员到达b处时位移的偏转角为 30° .
（2）运动员在a处飞出时的速度增大，并且还落在斜坡上，运动员落在斜坡上时速度的偏转角的正切值为 233 .

命题点1 与斜面相关的平抛运动
3.[垂直打到斜面]如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底端A点正上方与顶端C点等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D点，重力加速度为g，则（ C ）
A.小球在空中飞行的时间为v0g
B.小球落到斜面上时的速度大小为v0csα
C.CD与DA长度的比值为12tan2α
D.小球的位移方向垂直于AC
解析 小球的运动轨迹如图所示，小球垂直于斜面落到D点，把小球在D点的速度沿水平、竖直方向分解，有tan α＝vxvy＝v0gt，解得t＝v0gtanα，故A错误；小球垂直于斜面落到D点，所以小球落到斜面上时的速度大小为v＝v0sinα，故B错误；根据几何关系可知，DA＝v0tcsα，CD＝12gt2sinα，整理得CD与DA长度的比值为12tan2α，故C正确；由位移方向与水平方向夹角的正切值是速度方向与水平方向夹角的正切值的12可知，位移方向不垂直于AC，故D错误.
4.[再次落到斜面]如图所示，钢球从斜槽轨道末端以速度v0水平飞出，经过时间t落在斜靠的挡板AB的中点.若钢球以2v0的速度水平飞出，则（ C ）
A.下落时间仍为tB.下落时间为2t
C.下落时间为2tD.落在挡板底端B点
解析 假设钢球以速度v水平飞出后落在挡板AB上，则钢球的位移与水平方向的夹角等于挡板的倾角θ，由几何关系可知tan θ＝yx，又y＝12gt2，x＝vt，整理得t＝2vtanθg，则钢球的运动时间与初速度成正比.钢球以速度v0水平飞出时落在挡板AB的中点，钢球以速度2v0水平飞出时竖直位移应变为原来的4倍，显然当钢球水平飞出的速度为2v0时，钢球应落在水平面上，钢球竖直方向的分位移变为原来的2倍，在空中运动的时间变为原来的2倍，故A、B、D错误，C正确.
命题拓展
[命题条件拓展]若钢球以v0的速度水平飞出，落在挡板AB上时速度方向与挡板AB的夹角为α；钢球以0.5v0的速度水平飞出，落在挡板AB上时速度方向与挡板AB的夹角为β.试分析β和α的关系.
答案 β＝α
解析 钢球分别以v0和0.5v0的速度水平飞出落在挡板上时，钢球的位移偏转角均等于挡板的倾角，根据平抛运动的推论可知，钢球两次落在挡板上时速度的偏转角也相等，由几何知识可得β＝α.
命题点2 与弧面相关的平抛运动
5.[与圆弧相切]如图所示，一小球从固定在水平面上的半圆轨道左端A点正上方某处水平抛出（小球可视为质点），飞行轨迹恰好与半圆轨道相切于B点.O为半圆轨道的圆心，半圆轨道的半径为R，OB与水平面的夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的速度大小为（ B ）
A.3gR2B.33gR2
C.3gR2D.3gR3
解析 设小球水平抛出运动到B点经历的时间为t，由几何关系可知小球抛出时的速度v0＝3gt，又v0t＝32R，解得v0＝33gR2，B正确.
命题拓展
[设问拓展]小球抛出点距离A点的高度是多少？
答案 334R
解析 抛出点距B点的竖直距离y＝12gt2，B点与A点的竖直距离为R sin 60°，则抛出点距离A点的高度h＝y＋R sin 60°＝334R.
6.[落在圆弧内]如图所示，水平面上固定一半径为5m的四分之一圆弧轨道，O为轨道的圆心，圆弧轨道与水平面相切于B点.在圆心O右侧同一水平线上的某点水平向左抛出一个小球，小球可视为质点，恰好垂直击中轨道上的C点，C点到水平面的高度为2m，取g＝10m/s2，则小球抛出时的速度大小为（ C ）
A.352m/sB.453m/s
C.8153m/sD.4153m/s
解析 作出小球的运动轨迹，将小球在C点的速度沿水平和竖直方向进行分解，如图所示，小球在竖直方向做自由落体运动，则竖直分速度vy＝2ghCD＝215 m/s，小球垂直击中C点，速度的反向延长线过圆心，根据几何关系有 sin θ＝hCDR＝35，可得tan θ＝34，小球抛出时的速度v0＝vytanθ＝8153 m/s，故C正确.
考点3 平抛运动的临界和极值问题

1.临界点的确定
（1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点.
（2）若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点.
（3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点.
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
（1）找出临界状态对应的临界条件.
（2）分解速度或位移.
（3）若有必要，画出临界轨迹.
在水平路面上骑摩托车的人，遇到一条壕沟，其尺寸如图所示.摩托车后轮离开地面后失去动力，可以视为做平抛运动.摩托车后轮落到壕沟对面才算安全.g取10m/s2.摩托车的速度至少要多大才能安全越过这条壕沟？
答案 510m/s
解析 水平方向有x＝vt，竖直方向有y＝12gt2，其中x＝5 m，y＝0.5 m，解得摩托车的最小速度v＝510 m/s.

7.[平抛的极值问题]如图所示，蜘蛛在水平地面与竖直墙壁之间结网，蛛丝AB与地面之间的夹角为45°，A点到地面的距离为1m，已知重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计.若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8m的C点以水平速度v0跳出，要到达蛛丝AB，水平速度v0至少为（ B ）
A.1m/sB.2m/s
D.5m/s
解析 水平速度v0最小时，设经过时间t蜘蛛到达蛛丝，由题意有v0t＝12gt2＋0.2 m，v0＝vy＝gt，解得t＝0.2 s，v0＝2 m/s，故B正确.
8.如图所示，排球比赛中，某运动员在距网水平距离为4.8m、距地面3.2m高处将排球沿垂直网的方向以16m/s的速度水平击出.已知网高为2.24m，排球场地长为18m，重力加速度g取10m/s2，可将排球视为质点，下列判断正确的是（ B ）
A.球不能过网
B.球落在对方场地内
C.球落在对方场地端线上
D.球落在对方场地端线之外
解析 设击球位置离地高度为h1，网高为h2，运动员击球时离网的水平距离为x1，排球场地长为L，若排球的击出速度为v1时刚好过网，则根据平抛运动规律有h1－h2＝12gt12，v1＝x1t1，由以上两式代入数据解得v1≈11 m/s，由于排球的初速度v＝16 m/s＞v1，因此排球可以过网，故A错误；排球以v＝16 m/s的速度水平飞出做平抛运动的水平位移为x＝vt＝v2h1g＝12.8 m＜L2＋x1，因此排球将落到对方场地内，故B正确，C、D错误.
考点4 斜抛运动

在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，如图所示，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐.这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐的距离为9.8m，不考虑空气阻力，g取10m/s2.
（1）篮球进筐的速度有多大？
（2）篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是多少？
答案 （1）72m/s （2）2.45m
解析 （1）篮球从投出点运动到最高点过程中在水平方向做匀速直线运动，有v0tcs45°＝x2，其中x＝9.8m，在竖直方向做匀减速直线运动，有v0sin45°＝gt，解得篮球的初速度v0＝72m/s，运动至最高点的时间t＝0.7s.根据斜抛运动的对称性可知，篮球进筐的速度等于篮球的初速度，为72m/s.
（2）篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度h＝12gt2＝2.45m.

9.[逆向分析斜抛]如图所示，一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中竖直篮板上A点.后来该运动员后退到更远处将篮球从与B点等高的C点以速度v1斜向上抛出，篮球仍垂直击中篮板上A点.关于两次投篮的比较，下列选项正确的是（ D ）
A.v1＜v0，θ1＞θ0B.v1＜v0，θ1＜θ0
C.v1＞v0，θ1＞θ0D.v1＞v0，θ1＜θ0
解析 两次斜抛运动均可看作从篮板上A点做平抛运动的逆过程，第一次抛到B点，第二次抛到C点，下落的高度相同，因此运动时间相同，竖直分速度相同，落到C点时说明篮球的水平分速度更大，速度与水平面的夹角更小，因此v1＞v0，θ1＜θ0，A、B、C错误，D正确.
10.[平抛与斜抛综合/2023湖南]如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种.某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上.忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ B ）
图（a） 图（b）
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O到P的运动时间相等
D.两谷粒从O到P的平均速度相等
解析 竖直方向只受重力→两谷粒加速度a＝g，A错从O到P位移相同→谷粒2先上升后下降，用时更长，即t2＞t1，C错
水平方向从O到P位移相同谷粒2在最高点只有水平速度v1＞v2水平，B对
谷粒合位移xOPv1＞v2，D错
11.[斜抛中的极值问题/2024江西赣州模拟]某同学在水平地面上方高h处以一定大小的速度v0抛出一小球，当其速度方向不同时，落地点与抛出点的水平距离即射程大小也不同，若不计空气阻力，则最大射程为（ D ）
A.2v02gB.v02+2ghg
C.h＋v02gD.v0v02+2ghg
解析 解法1：三角函数公式＋判别式
设小球被抛出时速度v0与水平方向夹角为θ，则
x＝v0csθ·t
h＝－v0sinθ·t＋12gt2
由于sin2θ＋cs2θ＝1，因此有（xv0t）2＋（12gt2－hv0t）2＝1，整理得
14g2t4－（gh＋v02）t2＋h2＋x2＝0
要使x最大，t应有唯一解，即
Δ＝（gh＋v02）2－4×14g2×（h2＋xm2）＝0
解得xm＝v0gv02+2gh.D正确.
解法2：位移矢量图＋配方
将小球的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动，其位移矢量图如图所示.由几何知识可知x2＝（v0t）2－（12gt2－h）2＝－14g2t4＋（gh＋v02）t2－h2＝
－14g2[t2－2（gh＋v02）g2]2＋v02（2gh＋v02）g2
当t2＝2（gh＋v02）g2，即t＝2（gh＋v02）g时，有最大射程xm＝v0v02+2ghg.D正确.
解法3：速度矢量三角形＋数形结合
设小球落地时速度v与水平地面夹角为α，则v与初速度v0、竖直分速度gt构成速度矢量三角形，如图所示.
三角形“面积”S△＝12×gt×v0csθ＝12×v×v0sin（α＋θ）
根据机械能守恒定律有12mv2＝12mv02＋mgh
又x＝v0csθ·t
以上各式联立得gx＝v0v02+2ghsin（α＋θ）
即x＝v0v02+2ghgsin（α＋θ）
由此可知，当α＋θ＝90°时，有最大射程xm＝v0v02+2ghg.D正确.
方法点拨
分析斜抛运动的两种方法
1.正交分解法：通常分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动.有时为了方便解决某个问题，可选取某个方向垂直于该方向的正交坐标轴进行分解.
2.逆向思维法：对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动；分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题.

热点3 生活中的抛体问题
1.[平抛运动/2021河北]铯原子钟是精确的计时仪器.图1中铯原子从O点以100m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2.O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2m.重力加速度取g＝10m/s2，则t1∶t2为（ C ）
A.100∶1B.1∶100
C.1∶200D.200∶1
解析 铯原子做平抛运动时，水平方向做匀速直线运动，有x＝v0t1；铯原子做竖直上抛运动时，根据对称性可知上升时间和下降时间相等，则下降过程有h＝12g(t22)2，代入数据解得t1t2＝1200，C正确.
2.[斜抛运动/2022山东/多选]如图所示，某同学将离地h＝1.25m的网球以v0＝13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离x＝4.8m.当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为H＝8.45m的P点.网球与墙壁碰撞后，垂直于墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行于墙面的速度分量不变.重力加速度g＝10m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（ BD ）
A.v＝5m/sB.v＝32m/s
C.d＝3.6mD.d＝3.9m
解析 网球飞出时竖直方向初速度大小v0y＝2g（H－h）＝12m/s，则水平方向初速度大小v0x＝v02－v0y2＝5m/s；网球飞出时与P点的水平距离为x0＝v0xt1＝v0xv0yg＝6m；设网球击到墙面时与墙面夹角为θ，如图所示，有sinθ＝4.86＝0.8，可知csθ＝0.6；则网球打在墙面上时平行于墙面的速度分量大小v1＝v0xcsθ＝3m/s，垂直于墙面的速度分量大小v2＝v0xsinθ＝4m/s；反弹后垂直于墙面的速度分量大小v'2＝0.75v2＝3m/s，故反弹后网球的速度大小为v＝v12＋v'22＝32m/s，A错误，B正确.着地点到墙壁的距离d＝v'22Hg＝3.9m，C错误，D正确.
3.[斜面约束/2022广东]如图是滑雪道的示意图.可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地.不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力.下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像可能是（ C ）
解析 设斜坡MN段的倾角为θ，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mg sin θ＝ma1，则此时加速度为a1＝g sin θ；运动员在水平NP段做匀速直线运动，加速度a2＝0；从P点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度，a3＝g，C正确，D错误.设运动员在P点的速度为v0，则从P点飞出后速度大小的表达式为v＝v02＋g2t2，可知从P点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，A、B错误.
1.[平抛运动规律/2020海南/多选]小朋友玩水枪游戏时，若水从枪口沿水平方向射出的速度大小为10m/s，水射出后落到水平地面上.已知枪口离地高度为1.25m，g＝10m/s2，忽略空气阻力，则射出的水（ BD ）
A.在空中的运动时间为0.25s
B.水平位移为5m
C.落地时的速度大小为15m/s
D.落地时竖直方向的速度大小为5m/s
解析 根据h＝12gt2得，运动时间t＝2hg＝2×1.2510 s＝0.5 s，故A错误；水平位移为x＝v0t＝10×0.5 m＝5 m，故B正确；落地时，竖直方向分速度大小为vy＝gt＝10×0.5 m/s＝5m/s，水平方向分速度大小为vx＝v0＝10 m/s，落地速度大小为v＝vx2＋vy2＝55 m/s，故C错误，D正确.
2.[平抛运动特点/2023全国甲]一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中（ B ）
A.机械能一直增加B.加速度保持不变
C.速度大小保持不变D.被推出后瞬间动能最大
解析 铅球水平抛出，只受重力作用，加速度始终为重力加速度g，机械能守恒，A错误，B正确；平抛运动过程中，铅球的水平方向分速度保持不变，竖直方向分速度变大，则铅球运动过程中速度一直增大，动能也一直增大，C、D错误.
3.[平抛运动与弧面/2020全国Ⅱ]如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.E2E1等于（ B ）
A.20B.18C.9.0D.3.0
解析 摩托车落到c点时，根据平抛运动规律有h＝v01t1，h＝12gt12，解得v012＝gh2；同理摩托车落到b点时有v022＝9gh.又动能E1＝12mv012，E2＝12mv022，所以E2E1＝18，故A、C、D错误，B正确.
4.[两小球平抛落地/江苏高考/多选]如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l.忽略空气阻力，则（ AD ）
A.A和B的位移大小相等
B.A的运动时间是B的2倍
C.A的初速度是B的12
D.A的末速度比B的大
解析 由题意可知，落地后，小球A的位移大小为sA＝xA2＋yA2＝l2＋(2l)2＝5l，小球B的位移大小为sB＝xB2＋yB2＝(2l)2＋l2＝5l，显然小球A、B的位移大小相等，A正确；小球A的运动时间为tA＝2yAg＝4lg，小球B的运动时间为tB＝2yBg＝2lg，则tA∶tB＝2∶1，B错误；小球A的初速度为v0A＝xAtA＝l4lg＝gl4，小球B的初速度为v0B＝xBtB＝2l2lg＝2gl，则v0A∶v0B＝1∶22，C错误；落地瞬间，小球A竖直方向的速度为vyA＝4gl，小球B竖直方向的速度为vyB＝2gl，则落地瞬间小球A的速度为vA＝v0A2＋vyA2＝174gl，小球B的速度为vB＝v0B2＋vyB2＝4gl，显然vA＞vB，D正确.

1.[2023海南海口模拟]如图所示，这是质点只在重力作用下所做的曲线运动轨迹的示意图，已知B为轨迹的最高点，则下列说法正确的是（ C ）
A.质点在B点时的加速度方向与速度方向不垂直
B.质点在A点时的加速度比在B点时的加速度小
C.质点在C点时的速率大于在B点时的速率
D.质点从A点到C点，加速度方向与速度方向的夹角先减小后增大，速度先增大后减小
解析 质点只受重力作用做匀变速曲线运动，在最高点B时，速度方向水平向右，与重力加速度的方向垂直，整个过程中重力加速度保持不变，A、B错误.质点从B点运动到C点，加速度方向与速度方向夹角小于90°，因此该过程质点的速度增大，所以质点在C点时的速率大于在B点时的速率，C正确.质点只受重力作用，加速度方向始终竖直向下，质点的速度方向沿运动轨迹的切线方向，质点从A点到C点，加速度方向与速度方向的夹角一直减小；从A到B的过程中，质点的加速度方向与速度方向的夹角大于90°，质点做减速运动，从B到C的过程中，质点的加速度方向与速度方向的夹角小于90°，质点做加速运动，速度增大，因此质点从A到C的过程中，速度先减小后增大，D错误.
2.套圈游戏是一项趣味活动，如图所示，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45m处水平抛出半径为0.1m的圆环（圆环面始终水平），套住了距圆环前端水平距离为1.0m、高度为0.25m的竖直细圆筒.若重力加速度大小g＝10m/s2，则小孩抛出圆环的初速度可能是（ B ）
解析 根据h1－h2＝12gt2得t＝0.2 s，则圆环做平抛运动的最大速度v1＝x+2Rt＝6.0 m/s，最小速度v2＝xt＝5.0 m/s，则5.0 m/s＜v＜6.0 m/s，B正确.
3.[联系体育运动/2024辽宁沈阳统考]某篮球运动员正在进行超远三分球投篮，篮球的运动轨迹如图所示，A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点.已知篮球在A点的速度大小为v0、与水平方向的夹角为60°，C点速度与水平方向的夹角为45°，重力加速度大小为g，不计空气阻力.下列说法正确的是（ B ）
A.篮球在B点的速度大小为3v02
B.篮球在C点的速度大小为2v02
C.从A点到B点，篮球的运动时间为3v0g
D.A、C两点的高度差为v028g
解析 篮球做斜抛运动，到达最高点时竖直分速度为零，但水平分速度不为零，在最高点B的速度大小为vx＝v0 cs 60°＝v02，A错误；在C点，把速度vC分解可得vx＝vC cs 45°，则vC＝22v0，B正确；篮球在A点时的竖直分速度为vy＝v0 sin 60°＝32v0，从A点到B点，竖直方向做竖直上抛运动，有vy＝gt，解得t＝3v02g，C错误；设篮球由A点运动到C点的高度为h，由机械能守恒定律可得12mv02＝mgh＋12mvC2，解得h＝v024g，D错误.
4.在同一水平线上相距L的两位置处分别沿相同方向水平抛出两小球甲和乙，两球在空中相遇，运动轨迹如图所示.不计空气阻力，则下列说法正确的是（ B ）
A.甲球要先抛出才能相遇
B.甲、乙两球必须同时抛出才能相遇
C.从抛出到相遇过程中，甲球运动的时间更长
D.两球相遇时乙球加速度更大
解析 两小球从抛出到相遇，竖直方向上位移相同，由h＝12gt2可知，两球做平抛运动的时间相同，故两小球必须同时抛出才能相遇，A、C错误，B正确；两小球在空中运动过程中的加速度均为g，D错误.
5.[2024安徽芜湖模拟/多选]如图，倾角为α＝45°的斜面ABC固定在水平面上，质量为m的两小球先后从顶点A以初速度v0和2v0向左水平抛出，分别落在斜面上的P1、P2点，经历的时间分别为t1、t2；A点与P1、P2之间的距离分别为l1和l2，不计空气阻力影响.下列说法正确的是（ AD ）
A.t1∶t2＝1∶2
B.l1∶l2＝1∶2
C.两球刚落到斜面上时的速度比为1∶4
D.两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1∶1
解析 根据题意可知，两球做平抛运动的位移偏向角相同，与斜面倾角相等，则有12gt12v0t1＝12gt222v0t2＝tan 45°，解得两球做平抛运动的时间之比为t1∶t2＝1∶2，故A正确；根据几何关系可知l1＝v0t1cs 45°，l2＝2v0t2cs 45°，联立解得l1∶l2＝1∶4，故B错误；两球做平抛运动落到斜面上时竖直方向上的分速度分别为gt1和gt2，由速度的合成与分解规律可知两球落到斜面上时的合速度分别为v02＋g2t12和2v02＋g2t12，则两球落到斜面上时的速度比为1∶2，故C错误；结合C项分析可知，两球落在斜面上时的速度方向相同，即与斜面之间的夹角相同，因此可知两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1∶1，故D正确.
6.如图，小球从A点斜向上抛出，恰好垂直撞到竖直墙壁的B点，已知小球在A点速度大小为23m/s，与水平方向成60°角.g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（ C ）
A.小球上升的最大高度为0.6m
B.小球在最高点时的速度大小为3m/s
C.小球从A运动到B的时间为0.3s
D.A、B间的水平距离为1.6m
解析 将小球在A点的速度沿水平和竖直方向进行分解，则小球在水平方向做速度为vAx＝vA cs 60°＝3 m/s的匀速直线运动，在竖直方向做初速度为vAy＝vA sin 60°＝3 m/s的竖直上抛运动，小球恰好垂直撞到竖直墙壁的B点，可知其竖直方向的末速度为零，则小球上升的最大高度为H＝vAy22g＝0.45 m，故A错误.小球在最高点B时的速度为其水平方向的速度，即vB＝vAx＝3 m/s，故B错误.小球从A运动到B 的时间可以由竖直方向的分运动求得，即t＝vAyg＝0.3 s，故C正确.A、B间的水平距离可由水平方向的匀速直线运动求得，即x＝vAxt＝3310 m，故D错误.
7.[联系数学知识考查/2023昆明一中、银川一中联考/多选]如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为14圆弧bc，半径为R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v0沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内.空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ BD ）
A.小球落在圆弧面上的最小速度为2gR
B.小球落在圆弧面上的最小速度为3gR
C.小球的运动时间与v0大小无关
D.无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上
解析 小球做平抛运动有h＝12gt2、x＝v0t，且h2＋x2＝R2，而落点的速度v＝(gt)2＋v02，解得v＝34g2t2＋R2t2，显然当34g2t2＝R2t2时速度有最小值，代入可得最小值为v＝3gR，B正确，A错误；v0越大，水平位移越大，竖直下落距离越小，运动时间越短，C错误；由于小球落点的速度的反向延长线恰好过与抛出点等高的水平位移的中点处，若球垂直撞击在圆弧面上，落点的速度方向需沿半径，两者相矛盾，因此球都不可能垂直撞击在圆弧面上，D正确.
8.[2023新课标]将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”.要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ.为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
答案 2ghtanθ
解析 由题意可知石子接触水面前的运动可理想化为平抛运动，从距水面高度为h处水平抛出扁平石子，落到水面时其竖直方向的速度为vy＝2gh
要使扁平石子落水时的速度方向与水面的夹角不大于θ，则vyv0≤tanθ
解得v0≥2ghtanθ
即抛出速度的最小值为vmin＝2ghtanθ.
9.[2024四川成都模拟]如图所示，某次排球比赛中，球员A在离水平地面3m的高处将排球以30m/s的速度垂直球网水平击出，此时排球与球网的水平距离为9m.球网的高度为2m.对方的球员B站立在球网处，直立伸直手臂可拦到离地高度为2.3m的排球，起跳拦网可拦到离地高度为2.75m的排球，取重力加速度大小g＝10m/s2.已知球员A、B的连线与球网垂直，不计空气阻力，下列关于球员B拦排球的说法，正确的是（ A ）
A.排球运动到球网正上方的时间为0.3s
B.球员B站在球网前直立伸直手臂可拦到排球
C.若球员B未拦到排球，则排球不会出界
D.若球员B未拦到排球，则排球落地点到球网的距离约为12.6m
解析 排球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，则排球运动到球员B位置的时间t1＝Lv＝930 s＝0.3 s，故A正确；排球竖直方向做自由落体运动，该段时间排球下落的高度h＝12gt12＝12×10×0.32 m＝0.45 m，此时排球离地高度h3＝H－h＝3 m－0.45 m＝2.55 m＞h1＝2.3 m，故球员B在球网前直立伸直手臂拦不到排球，故B错误；竖直方向，由位移—时间公式得H＝12gt22，代入数据解得，排球从被击出到落地的时间t2＝155 s，排球运动的水平距离x＝vt2＝30×155 m＝615 m＞18 m，排球将出界，故C错误；排球落地点到球网的距离x'＝615 m－9 m≈14.2 m，故D错误.
10.[2024辽宁葫芦岛统考/多选]如图所示，以速度v0＝4m/s从O点水平抛出的小球，抵达光滑固定的斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，已知斜面倾角为37°（sin37°＝0.6，cs37°＝0.8），不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2.下列说法正确的是（ ACD ）
A.O点到P点的竖直距离为0.45m
B.小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大
C.撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将变小
D.撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地速度大小不变
解析 由题意可知，小球落到斜面上时速度偏向角为37°，则有tan 37°＝gtv0，解得t＝0.3s，又因为h＝12gt2，解得h＝0.45 m，A正确；小球做平抛运动时的加速度为g＝10m/s2，小球在斜面上运动时有mg sin 37°＝ma，解得a＝6 m/s2＜g，B错误；由于小球在斜面上的加速度a＝6 m/s2，则小球在斜面上运动时，在竖直方向的加速度ay＝a sin 37°＝3.6 m/s2，由此可知，有斜面时，小球在竖直方向上的加速度小于重力加速度，所以撤去斜面后，小球的下落时间变小，C正确；小球从O点抛出到落地的过程，根据机械能守恒定律得mgh＋12mv02＝12mv2，撤去斜面，h不变，则落地的速率v不变，D正确.
11.[联系娱乐活动/2024山东青岛调研检测]如图甲是某人在湖边打水漂的图片，若石块每次从水面弹起时速度与水面的夹角均为37°，每打一个水漂速率损失30％.图乙是石块运动轨迹的示意图，测得石块从打第一个水漂到打第二个水漂的时间间隔为0.6s，已知石块在同一竖直面内运动，当触水速度小于2m/s时石块就不再弹起.不计空气阻力，已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，求：
（1）石块打完第一个水漂后的速度大小；
（2）石块在湖面上打出水漂的个数.
图甲 图乙
答案 （1）5m/s （2）4
解析 （1）由题意可知石块离开湖面后做斜上抛运动，则对石块从打第一个水漂后瞬间到打第二个水漂前瞬间的过程，由运动学公式有v1y＝g·t2
由图乙的几何关系有v1＝v1ysin37°
联立并代入数据解得v1＝5m/s
（2）设石块在湖面上打出水漂的个数为n（n为整数），则由题意可知石块在湖面上打第（n－1）个水漂后瞬间的速度大于等于2m/s，在湖面上打第n个水漂后瞬间的速度小于2m/s，即
（1－30％）n－2v1≥2m/s
（1－30％）n－1v1＜2m/s
联立解得n＝4.
12.[类平抛问题]如图所示，光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P水平射出，初速度v0（未知）平行于斜面，物块恰好从底端Q点离开斜面.已知重力加速度为g，求：
（1）物块由P点运动到Q点所用的时间t；
（2）物块由P点水平射入时的初速度大小v0；
（3）物块离开Q点时的速度大小v.
答案 （1）2lgsinθ （2）bgsinθ2l （3）（b2+4l2）gsinθ2l
解析 （1）沿斜面向下的方向有mgsinθ＝ma，l＝12at2
解得t＝2lgsinθ
（2）物块由P点水平射入时的初速度大小v0＝bt＝bgsinθ2l
（3）物块离开Q点时的速度大小
v＝v02＋（at）2＝（b2+4l2）gsinθ2l.
13.[平抛＋类斜抛＋极值问题/2024江西赣州大余中学校考]如图所示，某同学在游戏中模拟直升机投弹后炸弹在空中的运动情况，直升机在距离水平地面一定高度处，以速度v0＝50m/s水平向右匀速飞行，某时刻在空中O点释放一颗质量为m的炸弹，炸弹下落t1＝2.5s后到达虚线PQ上的A点，虚线PQ与水平地面间的区域有水平横风，能给炸弹水平向左的恒力F＝43mg，炸弹进入横风区域后会经过速度最小的B点（未画出），最后恰好竖直向下砸向地面.炸弹下落过程中，除了考虑重力和水平风力外，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2.求：
（1）OA间的距离；
（2）炸弹在空中运动的时间；
（3）炸弹在B点的速度大小和方向.
答案 （1）128.8m （2）6.25s （3）见解析
解析 （1）炸弹进入横风区域前做平抛运动，有x＝v0t1，y＝12gt12
则OA间的距离为xOA＝x2＋y2＝128.8m
（2）依题意，恰好竖直向下砸向地面，可得0＝v0－axt2
又43mg＝max
联立解得t2＝3.75s
炸弹在空中运动的时间为t＝t1＋t2＝6.25s
（3）炸弹进入横风区后，水平方向做匀减速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，有v＝（v0－axt）2＋（vy0＋gt）2
其中vy0＝gt1
联立解得当t＝1.5s时，炸弹速度有最小值为vmin＝50m/s
设炸弹速度与水平夹角为θ，则有tanθ＝vy0＋gtv0－axt＝43
易知θ＝53°
则有炸弹在B点的速度大小为50m/s，方向与水平方向成53°角.课标要求
核心考点
五年考情
核心素养对接
1.会用运动合成与分解的方法分析平抛运动.
2.体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想.
3.能分析生产生活中的抛体运动.
平抛运动的规律及应用
2023：全国甲T14，浙江6月T3；
2022：广东T6，全国甲T24；
2021：河北T2；
2020：北京T17，海南T11
1.物理观念：理解平抛运动相关规律；了解一般的抛体运动，拓展对运动多样性的认识.
2.科学思维：能在熟悉情境中运用抛体运动模型解决问题；能对平抛运动等问题进行分析推理，体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想；能用与抛体运动规律相关的证据说明结论并作出解释.
3.科学态度与责任：通过对生活中实际问题的分析与求解，体会物理学在实际中的应用价值.
与斜面或弧面相关的平抛运动
2022：广东T3；
2020：全国ⅡT16，浙江1月T5
平抛运动的临界和极值问题
2023：新课标T24；
2021：山东T16
斜抛运动
2023：湖南T2；
2022：山东T11；
2021：江苏T9，浙江1月T9；2020：山东T16
命题分析预测
抛体运动与斜面或弧面相关的试题经常考查，平抛运动的临界和极值问题也是高考的热点，多以选择题形式出现，难度不大.预计2025年高考可能会出现以体育运动、生产生活等实际情境命制的试题，以选择题形式出现的可能较大，也可能作为计算题第1题出现，作为计算题考查时难度相对较小.
模型
垂直打到斜面
再次落到斜面
图示
规律
分解速度，构建速度三角形：
水平速度vx＝v0
竖直速度vy＝gt
关系tanθ＝vxvy＝v0gt
分解位移，构建位移三角形：
水平位移x＝v0t
竖直位移y＝12gt2
关系tanθ＝yx＝gt2v0
总结
速度偏转角等于斜面倾角的余角
位移偏转角等于斜面倾角
模型1
小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置
由平抛运动规律和几何关系得h＝12gt2，R±R2－h2＝v0t，联立两方程可求t
模型2
小球恰好沿B点的切线方向进入圆弧轨道
速度方向垂直于半径OB，速度的偏转角等于圆心角α
模型3
小球恰好从圆柱体上Q点沿切线飞过
速度方向垂直于半径OQ，速度的偏转角等于圆心角θ