高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第讲抛体运动学案新人教版

这是一份高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第讲抛体运动学案新人教版，共13页。
知识点1 平抛运动
1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。
4．研究方法：平抛运动通常可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
5．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有：
(1)位移：分位移x＝v0t；y＝eq \f(1,2)gt2
合位移x合＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(v0t2＋\f(1,2)gt22)，tan φ＝eq \f(gt,2v0)
φ为合位移与x轴的夹角。
(2)速度：分速度vx＝v0；vy＝gt
合速度v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋gt2)，tan θ＝eq \f(gt,v0)
θ为合速度v与x轴的夹角。
思考：上图中位移与水平方向夹角φ与速度与水平方向夹角θ相等吗？请推导出它们之间关系式。
[答案] 不相等。θ>φ。tan θ＝2tan φ。
知识点2 斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．性质：加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3．研究方法：斜抛运动可以看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合运动。
注意：斜抛运动多为斜上抛运动，可以在最高点分成两段处理：后半段为平抛运动，前半段的逆运动可以看成相等初速度的反向平抛运动。
双基自测
一、堵点疏通
1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( × )
2．平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。( × )
3．无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。( √ )
4．做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大。( × )
5．做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。( × )
6．做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长。( × )
7．从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。( √ )
二、对点激活
1．(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落。关于该实验，下列说法中正确的是( BC )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
[解析] 两球从同一高度同时开始运动，竖直方向均做自由落体运动，落地时间一定相等，为了验证平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，应改变高度多次实验才能验证猜想，故A错误，B、C正确；本实验无法说明平抛运动在水平方向的运动是匀速直线运动，D错误。
2．一个物体做平抛运动，已知重力加速度为g。根据下列已知条件，既可以确定初速度大小，又可以确定飞行时间的是( C )
A．水平位移大小
B．下落高度
C．落地时速度大小和方向
D．从抛出到落地的位移大小
[解析] 飞行时间不取决于水平位移，只取决于下落的高度，所以A错误；但初速度(水平速度)与下落高度无关，所以B错误；落地速度包括水平速度和竖直速度，水平速度即初速度，竖直速度与飞行时间有直接联系，C正确；合位移取决于初速度和飞行时间两个因素，但知合位移的大小无法确定初速度和飞行时间这两个量，所以D错误。
3．如图所示，从地面上A点以初速度v0斜抛一质量为m的小球，小球落至水平地面上的B点，不计空气阻力。则下列说法中正确的是( B )
A．若仅增加质量m，小球将落至B点左侧
B．若仅增大初速度v0的大小，小球将落至B点右侧
C．若仅增加质量m，小球在空中运动的时间将变短
D．若仅增大抛射角θ，小球一定落到B点右侧
[解析] 小球做斜抛运动，只受重力，运动情况与质量无关，故A错误；小球水平方向上做匀速直线运动，vx＝v0cs θ，x＝vxt。竖直方向上做竖直上抛运动，vy＝v0sin θ，t＝eq \f(2vy,g)＝eq \f(2v0sin θ,g)，小球在空中运动的时间与质量无关，水平位移x＝eq \f(v\\al(2,0)sin 2θ,g)，增大初速度v0的大小，小球落到B点右侧，仅增大抛射角θ，水平位移不一定变大，小球不一定落到B点右侧，故B正确，C，D错误。
核心考点·重点突破
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
考点一 平抛运动规律的应用
关于平抛运动必须掌握的四个物理量
例1 发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是( C )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
[解析] 发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h＝eq \f(1,2)gt2，可知两球下落相同距离h所用的时间是相同的，A错误；由veq \\al(2,y)＝2gh可知，两球下落相同距离h时在竖直方向上的速度vy相同，B错误；由平抛运动规律，水平方向上，x＝vt，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，C正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，D错误。
〔变式训练1〕如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a，b，c的运动轨迹，其中b和c从同一点抛出，不计空气阻力。则( C )
A．a的飞行时间比b长
B．b的飞行时间比c长
C．a的初速度最大
D．c的末速度比b大
[解析] 由题图知b，c的高度相同，大于a的高度，根据h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝ eq \r(\f(2h,g))，知b，c的飞行时间相同，a的飞行时间小于b，c的时间，故A，B错误；b，c的高度相同，飞行的时间相同，而b的水平位移大于c的水平位移，根据x＝v0t知，vb>vc，对于a，b，a的高度小，则飞行的时间短，而a的水平位移大，则va>vb，可知初速度最大的是a，故C正确；b，c的高度相同，落地时竖直方向的速度大小相等，而水平方向b的速度大于c的速度，则b的末速度大于c的末速度，故D错误。
考点二 平抛运动问题的常见解法
平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，求解此类问题的基本方法是：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。再结合使用推论法，全程应用动能定理等。
(一)分解速度求解平抛运动问题
对于一个做平抛运动的物体来说，若知道了某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tanθ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)(θ为t时刻速度与水平方向间夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
例2 如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点，已知球拍与水平方向夹角θ＝60°，AB两点高度差h＝1 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度大小为( C )
A．2eq \r(5) m/s B．2eq \r(15) m/s
C．4eq \r(5) m/s D．eq \f(4,3)eq \r(15) m/s
[解析] 根据veq \\al(2,y)＝2gh竖直分速度：vy＝eq \r(2gh)＝eq \r(20) m/s，刚要落到球拍上时速度大小v＝eq \f(vy,cs 60°)＝4eq \r(5) m/s，C正确，A、B、D错误。
(二)分解位移求解平抛运动问题
对于一个做平抛运动的物体来讲，若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)(α为t时刻位移与水平方向间夹角)，确定初速度v0、运动时间t和夹角α间的大小关系。
例3 (多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达
斜面经过的时间为t，重力加速度为g，空气阻力不计，则下列说法中正确的是( AB )
A．若小球以最小位移到达斜面，则t＝eq \f(2v0,gtan θ)
B．若小球垂直击中斜面，则t＝eq \f(v0,gtan θ)
C．若小球能击中斜面中点，则t＝eq \f(2v0,gtan θ)
D．无论小球到达斜面何处，运动时间均为t＝eq \f(2v0tan θ,g)
[解析] 小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(x,y)＝eq \f(2v0,gt)，即t＝eq \f(2v0,gtan θ)，A正确，D错误；小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(v0,gt)，即t＝eq \f(v0,gtan θ)，B正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L，则水平射程为Lcs θ＝v0t，下落高度为Lsin θ＝eq \f(1,2)gt2，联立两式得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，C错误。
(三)利用推论法求解平抛运动问题
平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A点和B点所示。其推导过程为tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt2,v0t)＝eq \f(y,\f(x,2))。
(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示。其推导过程为tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt·t,v0·t)＝eq \f(2y,x)＝2tan α。
例4 (2023·沈阳模拟)如图所示，斜面固定在水平面上，两个小球分别从斜面底端O点正上方A、B两点向右水平抛出，B为AO连线的中点，最后两球都垂直落在斜面上，A、B两球击中斜面的位置到O点的距离之比为( B )
A．eq \r(2)︰1 B．2︰1
C．4︰eq \r(2) D．4︰1
[解析] 设落到斜面上的位置分别为P、Q，由题意知，落到斜面上时两小球的速度与水平面夹角相等，根据平抛运动的推论知，位移AP、BQ与水平面夹角也相等，则△POA与△QOB相似，对应边成比例，B正确。
考点三 平抛运动与落点界面的综合问题
做平抛运动的物体经常落在一些特定界面上，常见的类型有：竖直面、斜面、圆弧面、抛物面、有界区域、障碍物等，解决这类问题的关键是：把特定界面的几何关系或函数方程与平抛运动规律结合。
(一)落在圆弧面上的平抛运动
如图所示，由半径和几何关系制约时间t：
h＝eq \f(1,2)gt2 R±eq \r(R2－h2)＝v0t，联立两方程可求t。
例5 (2023·江苏苏州期中)(多选)如图所示，固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，质量不等的甲、乙两个小球同时从A点水平抛出，速度分别为v1、v2，经时间t1、t2分别落在等高的C、D两点，0C、OD与竖直方向的夹角均为37°(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)，则( CD )
A．v1︰v2＝1︰3
B．t1︰t2＝1︰4
C．甲、乙两球的运动都是匀变速运动
D．甲、乙两球从抛出到下落至轨道上的速度变化量相同
[解析] 本题考查平抛运动与圆弧的结合。根据t＝eq \r(\f(2h,g))，由于甲、乙两个小球落到圆弧的等高处，故两小球落到轨道上的时间相等，B错误；根据几何关系可知，甲球的水平位移x1＝R－Rsin 37°＝0.4R，乙球的水平位移x2＝R＋Rsin 37°＝1.6R，根据x＝v0t可知，v1︰v2＝x1︰x2＝1︰4，A错误；平抛运动过程中，甲、乙两球在水平方向均做匀速运动，竖直方向均做自由落体运动，加速度恒为g，C正确；由g＝eq \f(Δv,Δt)，可得Δv＝gΔt，甲、乙两球下落时间相同，故甲、乙两球从抛出到下落至轨道上的速度变化量也相同，D正确。
方法技巧 与圆有关的平抛运动模型的求解
处理与圆有关的平抛运动问题时，要牢记求解平抛运动的三个分解思路，即分解速度、分解位移、分解加速度。同时结合圆的几何特点以及三角形的边角关系列式求解。常见的两种模型：
(1)如图甲所示，小球刚好沿圆的切线方向进入圆轨道，此时半径垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。
(2)如图乙所示，小球恰好从圆上Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。
(二)落在抛物面上的平抛运动
例6 (2023·江西师大附中月考)(多选)如图所示，一个质量为0.4 kg的小物块从高h＝0.05 m的坡面顶端由静止释放，滑到水平台上，滑行一段距离后，从边缘O点水平飞出，击中平台右下侧挡板上的P点。现以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板的形状满足方程y＝x2－6(单位：m)，不计一切摩擦和空气阻力，g取10 m/s2，则下列说法正确的是( BC )
A．小物块从O点运动到P点的水平位移为2 m
B．小物块从O点运动到P点的时间为1 s
C．小物块刚到P点时速度方向与水平方向夹角的正切值等于10
D．小物块刚到P点时速度的大小为10 m/s
[解析] 对小物块，从释放至到达O点的过程中，由动能定理得mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)－0，代入数据解得v0＝eq \r(2gh)＝eq \r(2×10×0.05) m/s＝1 m/s。小物块从O点水平抛出做平抛运动，竖直方向y＝－eq \f(1,2)gt2，水平方向x＝v0t，解得y＝－5x2；又有y＝x2－6，联立解得x＝1 m，y＝－5 m，根据y＝－eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \r(－\f(2y,g))＝eq \r(\f(2×5,10))s＝1 s，故A错误，B正确；竖直方向的速度大小vy＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，设刚到P点时速度方向与水平方向夹角为θ，则有tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(10,1)＝10，故C正确；根据速度的合成法则，小物块刚到P点时速度的大小为v＝eq \r(v\\al(2,y)＋v\\al(2,0))＝eq \r(102＋12) m/s＝eq \r(101) m/s，故D错误。
(三)落在有界区域的平抛运动
在乒乓球、排球、网球等运动中，都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，球速往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点。
例7 (2023·许昌模拟)如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为eq \f(L,6)，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是( C )
A．H＝eq \f(49,48)H B．H＝eq \f(16L＋h,15L)h
C．H＝eq \f(16,15)h D．H＝eq \f(L＋h,L)h
[解析] 将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，则有eq \f(L,6)＝v0eq \r(\f(2H－h,g))，eq \f(L,6)＋eq \f(L,2)＝v0eq \r(\f(2H,g))，联立解得H＝eq \f(16,15)h，故选项C正确。
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
类平抛运动
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2．运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m)。
3．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
例8 (2023·广东实验中学模拟)如图所示的光滑斜面长为L，宽为s，倾角为θ＝30°，一小球(可视为质点)沿斜面右上方顶点A处水平射入，恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g。则下列说法正确的是( D )
A．小球运动的加速度为g
B．小球由A运动到B所用的时间为eq \r(\f(2L,g))
C．小球由A点水平射入时初速度v0的大小为seq \r(\f(g,2L))
D．小球离开B点时速度的大小为eq \r(\f(g,4L)s2＋4L2)
[解析] 本题考查类平抛运动问题。初速度方向与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线运动，根据牛顿第二定律得，物体的加速度为a＝eq \f(mgsin θ,m)＝gsin θ＝eq \f(1,2)g，故A错误；根据L＝eq \f(1,2)at2，有t＝eq \r(\f(2L,a))＝eq \r(\f(2L,gsin θ))＝eq \r(\f(4L,g))，故B错误；在B点的平行斜面向下方向的分速度为vBy＝at＝eq \f(1,2)g×eq \r(\f(4L,g))＝eq \r(gL)；根据s＝v0t，得v0＝eq \f(s,t)＝seq \r(\f(g,4L))；故物块离开B点时速度的大小为v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,By))＝eq \r(\f(g,4L)s2＋4L2)，故C错误，D正确。
2年高考·1年模拟
2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI
1．(2023·江苏单科，8)(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l.忽略空气阻力，则( AD )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C． A的初速度是B的eq \f(1,2)
D． A的末速度比B的大
[解析] 位移为初位置到末位置的有向线段，如题图所示可得sA＝eq \r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2l))2)＝eq \r(5)l ，sB＝eq \r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2l))2)＝eq \r(5)l，A和B的位移大小相等，A正确；平抛运动运动的时间由高度决定，即tA＝eq \r(\f(2×2l,g))＝eq \r(2)×eq \r(\f(2l,g))，tB＝eq \r(\f(2×l,g))＝eq \r(\f(2l,g))，则A的运动时间是B的eq \r(2)倍，B错误；平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则vxA＝eq \f(l,tA)＝eq \f(\r(gl),2)，vxB＝eq \f(2l,tB)＝eq \r(2gl)，则A的初速度是B的eq \f(1,2\r(2))，C错误；小球A、B在竖直方向上的速度分别为vyA＝2eq \r(gl)，vyB＝eq \r(2gl)，由v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))可得vA＝eq \f(\r(17gl),2)，vB＝2eq \r(gl)＝eq \f(\r(16gl),2)即vA>vB，D正确。故选AD。
2．(2023·全国卷Ⅱ，19)(多选)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v－t图像如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( BD )
图(a)图(b)
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
[解析] A错：v－t图像中图线与t轴包围的面积表示位移大小，第二次滑翔过程中所围面积大，表示在竖直方向上位移大。B对：比较身体姿态对下落速率的影响，应控制两次水平速度相同，运动员在水平方向上的运动可看成匀速直线运动，由x＝vt知运动时间长的水平位移大。C错：从起跳到落到雪道上，第一次速度变化大，时间短，由a＝eq \f(Δv,Δt)，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度小于第一次。D对：v－t图像的斜率表示加速度，速率为v1时，第二次加速度小，设阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次受到的阻力大。
3．(2023·北京石景山期末)如图所示，某同学练习定点投篮，其中有两次篮球垂直撞在竖直篮板上，篮球的轨迹分别如图中曲线1、2所示。若两次抛出篮球的速度v1和v2的水平分量分别为v1x和v2x，竖直分量分别为v1y和v2y，不计空气阻力，下列关系正确的是( A )
A．v1xv2y B．v1x>v2x，v1y