专题08 解三角形（六大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

这是一份专题08 解三角形（六大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用），文件包含专题08解三角形六大考点原卷版docx、专题08解三角形六大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

考点1：正余弦定理综合应用
1．（2023年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
．
2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
3．（2023年北京高考数学真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
4．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在中,内角所对边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
6．（2024年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求的值．
【解析】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
7．（2022年新高考天津数学高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【解析】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
考点2：实际应用
8．（2024年上海夏季高考数学真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度)
【答案】
【解析】设，
在中，由正弦定理得，
即’
即①
在中，由正弦定理得，
即，即，②
因为，得，
利用计算器即可得，
故答案为：.
9．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ．
【答案】.
【解析】因为，所以．
故答案为：.
考点3：角平分线、中线、高问题
10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【解析】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【解析】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
考点4：解三角形范围与最值问题
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
【答案】/
【解析】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.
13．（2022年新高考全国I卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【解析】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
14．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
考点5：周长与面积问题
15．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【解析】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
16．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
17．（2024年北京高考数学真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
18．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【解析】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
19．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【解析】（1）因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
20．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【解析】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
21．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【解析】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
22．（2022年新高考浙江数学高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
23．（2022年新高考全国II卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【解析】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
考点6：解三角形中的几何应用
24．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
考点
三年考情（2022-2024）
命题趋势
考点1：正余弦定理综合应用
2023年天津高考数学真题
2022年高考全国乙卷数学（文）真题
2023年北京高考数学真题
2023年高考全国乙卷数学（文）真题
2024年高考全国甲卷数学（理）真题
2024年天津高考数学真题
2022年新高考天津数学高考真题
高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主．
考点2：实际应用
2024年上海夏季高考数学真题
2022年新高考浙江数学高考真题
考点3：角平分线、中线、高问题
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题
2023年高考全国甲卷数学（理）真题
考点4：解三角形范围与最值问题
2022年高考全国甲卷数学（理）真题
2022年新高考全国I卷数学真题
2022年新高考北京数学高考真题
考点5：周长与面积问题
2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题
2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题
2024年北京高考数学真题
2022年高考全国乙卷数学（理）真题
2022年新高考北京数学高考真题
2023年高考全国甲卷数学（文）真题
2023年高考全国乙卷数学（理）真题
2022年新高考浙江数学高考真题
2022年新高考全国II卷数学真题
考点6：解三角形中的几何应用
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题