专题03 导数及其应用（八大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

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考点1：切线问题
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
4．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
考点2：单调性、极最值问题
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
8．（2023年北京高考数学真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
9．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
10．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
11．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
13．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
考点3：比较大小问题
14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
17．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
18．（2024年天津高考数学真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
考点4：恒成立与有解问题
21．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
22．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
23．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
24．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
25．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
考点5：极最值问题
26．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
27．（2023年北京高考数学真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
28．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
考点6：证明不等式
29．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
30．（2023年天津高考数学真题）已知函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)求证：当时，；
(3)证明：．
31．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
32．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
33．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
考点7：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）
34．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
35．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
36．（2022年新高考天津数学高考真题）已知，函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若和有公共点，
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：．
37．（2022年新高考浙江数学高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
38．（2024年天津高考数学真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的值；
(3)若，证明．
考点8：零点问题
39．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
40．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
41．（2024年天津高考数学真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ．
42．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
43．（2023年天津高考数学真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
44．（2022年新高考天津数学高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
45．（2024年北京高考数学真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)当时，求的单调区间.
(2)求证：不经过点.
(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
（参考数据：，，）
46．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
47．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
48．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
49．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
考点
三年考情（2022-2024）
命题趋势
考点1：切线问题
2024年全国甲卷（理）、2023年全国甲卷（文）
2024年全国Ⅰ卷、2022年全国II卷
2022年全国I卷
高考对导数及其应用的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．
考点2：单调性、极最值问题
2023年全国乙卷（文）
2022年全国乙卷（理）
2023年北京卷
2024年全国Ⅰ卷、2024年全国Ⅱ卷
2023年全国Ⅱ卷、2023年全国Ⅱ卷
2022年全国乙卷（文）
考点3：比较大小问题
2022年全国甲卷（文）
2022年全国甲卷（理）
2022年全国I卷、2024年北京卷
2024年天津卷
2023年全国甲卷（文）、2023年天津卷
考点4：恒成立与有解问题
2024年新课标全国Ⅱ卷
2023年全国甲卷（文）、2023年全国甲卷（理）
2024年全国甲卷（理）、2024年全国Ⅰ卷
考点5：极最值问题
2023年全国乙卷（理）
2023年北京卷
2024年全国Ⅱ卷
考点6：证明不等式
2024年全国甲卷（文）、2023年天津卷
2023年全国Ⅰ卷、2023年全国Ⅱ卷
2022年全国II卷
考点7：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）
2022年全国甲卷（理）
2022年北京卷、2022年天津卷
2022年浙江卷、2024年天津卷
考点8：零点问题
2024年全国Ⅱ卷
2023年全国乙卷（文）、2024年天津卷
2024年全国甲卷（文）
2023年天津卷、2022年天津卷
2024年北京卷
2022年全国乙卷（文）、2022年全国甲卷（文）
2022年全国乙卷（理）、2022年全国I卷