人教版九年级数学上册精品专题24.1.4圆周角(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题24.1.4圆周角(原卷版+解析)，共49页。
一、单选题
1．(2023·福建·厦门实验中学二模）如图，在⊙O中，A、B、C为圆上三点，将下列命题“同弧所对的圆周角相等，且等于圆心角的一半”用符号语言表示为（ ）
A．∵AB＝AB，∠C＝∠D，∴
B．∵AB＝AB，∴∠C＝∠D，
C．∵，∠C＝∠D，∴
D．∵，∴∠C＝∠D，
2．(2023·福建·平潭翰英中学九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠AOB＝80°，则∠ACB的大小为（ ）
A．50°B．30°C．40°D．60°
3．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在中，点是上一点，若，则的度数是（ ）
A．80°B．100°C．120°D．130°
4．(2023·河南郑州·九年级期末）如图，是的直径，是上一点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河北·石家庄市藁城区第一中学九年级阶段练习）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12B．10C．4D．5
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．55°
7．(2023·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠APBB．∠ABDC．∠ACBD．∠BAC
8．(2023·黑龙江哈尔滨·九年级期末）如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中点，，在上，点，在半圆上．若，则正方形的面积与正方形的面积之和是（ ）
A．25B．50C．D．
9．(2023·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）如图，⊙O的直径AB＝2，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A．B．C．2D．1
10．(2023·福建福州·九年级期中）下列图形中，∠A＝∠B的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．(2023·江苏盐城·九年级期中）如图，△ABC内接于半径为3cm的⊙O，且∠BAC＝30°，则BC的长为______cm．
12．(2023·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E在AD的延长线上，∠CDE=82°，则∠ABC的度数是_____．
13．(2023·湖南长沙·模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是______．
14．(2023·福建·九年级竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______．
15．(2023·广东顺德德胜学校三模）如图，点是的中点，点是上的一点，若，则______．
三、解答题
16．(2023·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
17．(2023·江苏·九年级专题练习）等腰△ABC中，，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺．根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，；
（2）如图2，
18．(2023·江苏·南京师范大学盐城实验学校九年级阶段练习）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=100°，求∠ABD的度数．
19．(2023·广东·佛山市南海区石门实验学校模拟预测）如图，锐角是内接三角形，弦，垂足为．在上取点，使，连接，并延长交于点．求证：．
20．(2023·江苏·九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，P为AC，BD的交点，经过A，B，P三点．
(1)求证：AB为的直径．
(2)请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）下列命题是假命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等B．矩形的对角线相等且相互平分
C．一组邻边相等的矩形是正方形D．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
2．(2023·山西吕梁·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于，BC为直径，BD平分，若，则的度数为（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
3．(2023·安徽六安·一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，设在旋转过程中三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F．有如下结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值；④四边形AEOF有外接圆，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．(2023·全国·九年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心
二、填空题
5．(2023·湖南·长沙市北雅中学九年级阶段练习）如图，在中，AB是的直径，，，M是AB上一动点，的最小值是______．
6．(2023·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形ABCD为⊙P的内接四边形，点A，B，C均在格点上，D为⊙P与格线的交点，连接AC
（1）AC的长等于______；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，先确定圆心P，再画出弦DE（点E在上），使DE＝DC，并简要说明点P的位置和弦DE是如何得到的（不要求证明）______
7．(2023·陕西·西安工业大学附中三模）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，点O、E分别是AB、CD的中点，OH⊥BC于点H，点P是边BC上的一点，连接OP，将△OHP沿着OP所在直线翻折，点H的对应点为H′，当H′E取最小值时边CD的长为_____．
三、解答题
8．(2023·福建省福州延安中学九年级阶段练习）如图，AB是的直径，点C为的中点，CF为的弦，且．垂足为E，连接交CF于点G，连接CD，AD，BF．
(1)求证：；
(2)若，求BF的长．
9．(2023·北京·人大附中九年级阶段练习）下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．
10．(2023·北京·人大附中九年级阶段练习）点E为正方形的边延长线上一点．
(1)如图1，当时，连接，，则____________°，_____________．
(2)如图2，将射线绕着点A逆时针旋转得到射线，作于点H，在射线取点M使得，连接．
①依题意补全图形；
②猜想的度数，并证明．
11．(2023·福建·福州立志中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BD是弦，C是的中点，弦CE⊥AB，BD交CE，CA于点F，G，OC与BD交于点H．
(1)求证：CF＝BF＝GF；
(2)若CD＝6，AC＝8，求BD的长．
12．(2023·福建·福州华伦中学九年级阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．
(1)求证：∠CAG＝∠ABE；
(2)求证：CG＝CD；
(3)若AB＝4，BC＝2，求GF的长．
13．(2023·江苏盐城·一模）【问题背景】
在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．
教材原题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．
(1)请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）
【直接应用】
当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
(2)如图3，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F．求证：AF为△ABC的边BC上的高．
【拓展延伸】
在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
(3)在（2）的条件下连接DE、EF、FD（如图4），设∠DEF=，则∠AOB的度数为______．（用含的式子表示）
14．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，为的直径，，连接．点在上，，求证：
(1)平分；
(2)．
15．(2023·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）如图，是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧中点，垂足为E，分别与相交于点F、G，则与是否相等？为什么？
16．(2023·全国·九年级单元测试）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；
(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：中，，分别是所对的圆心角和圆周角．
求证：．
情况一：当圆心O在的一边上时，如图1．
情况二：当圆心O在内部时，如图2．
情况三：当圆心O在外部时，如图3．
24.1.4 圆周角（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·福建·厦门实验中学二模）如图，在⊙O中，A、B、C为圆上三点，将下列命题“同弧所对的圆周角相等，且等于圆心角的一半”用符号语言表示为（ ）
A．∵AB＝AB，∠C＝∠D，∴
B．∵AB＝AB，∴∠C＝∠D，
C．∵，∠C＝∠D，∴
D．∵，∴∠C＝∠D，
答案:D
分析：根据圆周角定理进行判断即可．
【详解】解：由圆周角定理知：
∵，
∴∠C＝∠D，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练用符号语言表示圆周角定理，是解题的关键．
2．(2023·福建·平潭翰英中学九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠AOB＝80°，则∠ACB的大小为（ ）
A．50°B．30°C．40°D．60°
答案:C
分析：利用圆周角与圆心角的关系，求出∠ACB的度数．
【详解】解：⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=×80°=40°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在中，点是上一点，若，则的度数是（ ）
A．80°B．100°C．120°D．130°
答案:D
分析：在优弧AC上取点D，连接AD、CD，由∠AOC= 100° 求出∠ADC= ∠AOC，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ADC+∠ABC= 180° ，即可求出∠ABC的度数．
【详解】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，
∵∠AOC= 100° ，
∴∠ADC= ∠AOC=50° ，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC= 180° ，
∴∠ABC= 180° -50° =130° ，
故选：D．
【点睛】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
4．(2023·河南郑州·九年级期末）如图，是的直径，是上一点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余计算判断即可．
【详解】∵ 是的直径，
∴
∵ ，
∴=58°，
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．(2023·河北·石家庄市藁城区第一中学九年级阶段练习）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12B．10C．4D．5
答案:B
分析：根据圆中的有关性质“90°的圆周角所对的弦是直径”．从而得到EF即是直径，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接EF，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°
∴EF是直径
∴EF＝＝＝10
故选：B．
【点睛】考查了圆中的有关性质：90°的圆周角所对的弦是直径．此性质是判断直径的一个有效方法，也是构造直角三角形的一个常用方法．
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．55°
答案:B
分析：首先根据∠B的度数求得∠BOC的度数，然后求得∠AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可．
【详解】∵OB=OC，∠B=55°，
∴∠B=∠OCB，
∴∠BOC=180°-2∠B=70°，
∵∠AOB=50°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+50°=120°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA==30°，
故选：B．
【点睛】考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得∠AOC的度数，难度不大．
7．(2023·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠APBB．∠ABDC．∠ACBD．∠BAC
答案:C
分析：根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．
8．(2023·黑龙江哈尔滨·九年级期末）如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中点，，在上，点，在半圆上．若，则正方形的面积与正方形的面积之和是（ ）
A．25B．50C．D．
答案:A
分析：连接ON，OF，根据题意可得：ON=OF=5，设CN=x，EF=y，由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，y2+(y-DO)2=25②，然后①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，从而得到y-DO=x，再代入②，即可求解．
【详解】解：如图，连接ON，OF，
∵直径，
∴ON=OF=5，
设CN=x，EF=y，
由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，
y2+(y-DO)2=25②，
①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，
因为x+y＞0，
所以x+DO-y=0，即y-DO=x，
代入②，得x2+y2=25，
即正方形的面积与正方形的面积之和是25．
故选：A
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理等知识是解题的关键．
9．(2023·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）如图，⊙O的直径AB＝2，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A．B．C．2D．1
答案:B
分析：根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，根据含30度角的直角三角形的性质得出，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝30°，
∴ACAB＝1，
∴BCAC．
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得∠ACB＝90°是解题的关键．
10．(2023·福建福州·九年级期中）下列图形中，∠A＝∠B的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:D
分析：根据圆周角定理、圆内接四边形的性质逐一判断即可得解．
【详解】A、此图形中，根据同弧或等弧所对的圆周角相等知∠A＝∠B，故该选项不符合题意；
B、此图形中，，故该选项不符合题意；
C、此图形中，根据圆的内接四边形对角互补得，故该选项不符合题意；
D、此图形中，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．熟练运用“同弧或等弧所对的圆周角相等”与“圆内接四边形的对角互补”是解此题的关键．
二、填空题
11．(2023·江苏盐城·九年级期中）如图，△ABC内接于半径为3cm的⊙O，且∠BAC＝30°，则BC的长为______cm．
答案:3
分析：连接BO，CO根据圆周角定理得到∠BOC=60°，故△OBC为等边三角形，故可求出BC的长．
【详解】连接BO，CO，
∵∠BAC＝30°
∴∠BOC=2∠BAC= 60°，
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴BC=BO=3cm，
故答案是：3．
【点睛】此题主要考查圆周角的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的运用．
12．(2023·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E在AD的延长线上，∠CDE=82°，则∠ABC的度数是_____．
答案:82°##82度
分析：根据圆内接四边形的性质，得到∠ABC＋∠ADC＝180°，再由∠ADC＋∠CDE＝180°，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ADC＋∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE，
∵∠CDE=82°，
∴∠ABC＝82°．
故答案为：82°
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形，圆内接四边形的对角互补，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
13．(2023·湖南长沙·模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是______．
答案:2
分析：连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质结合已知的垂直条件求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接OC，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠COH=2∠A=60°，
∵弦CD⊥AB于H，
∴∠OHC=90°，
∴∠OCH=30°，
∵OH=1，
∴OC=2OH=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握半径相等是解题的关键．
14．(2023·福建·九年级竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______．
答案:
分析：连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积．
【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，．
则，．
∵，
∴//，
∴
∴BE=CD，
∵
∴．
在Rt△中，AB=10，
所以，由勾股定理得，
∴．
所以圆的面积为．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键．
15．(2023·广东顺德德胜学校三模）如图，点是的中点，点是上的一点，若，则______．
答案:110°##110度
分析：根据同圆中，等弧所对的圆周角相等，即可得到∠AEC的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求得∠ADC的度数．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
∴∠AED=∠CED=35°，
∴∠AEC=70°，
∵∠AEC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=110°．
故答案为：110°
【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键．
三、解答题
16．(2023·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
答案:特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角
【详解】解： (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；
(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；
(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．
(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；
(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.
【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．
17．(2023·江苏·九年级专题练习）等腰△ABC中，，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺．根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，；
（2）如图2，
答案:见解析
分析：（1）如图1，连结AD，由于AB为直径，则，由于，所以AD平分，即，于是得到；
（2）如图2，延长CA交圆于E，连结BE、DE，与（1）一样得到，根据圆内接四边形的性质可知，所以，所以．
【详解】解：（1）如图1，DE为所作：
（2）如图2，DE为所作：
【点睛】本题考查的知识点是作图中的复杂作图，利用知识点：同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；圆内接四边形的对角互补；等腰三角形底边中线、底边上的高线、顶角的角平分线互相重合；掌握作图的一般方法是解此题的关键．
18．(2023·江苏·南京师范大学盐城实验学校九年级阶段练习）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=100°，求∠ABD的度数．
答案:∠ABD=60°
分析：首先根据圆周角定理的推论，得∠D=∠BAC，再根据三角形外角的性质即可求得∠ABD的度数．
【详解】解：∵∠BAC=40°，
∴∠D=∠BAC=40°．
∵∠AED=100°，
∴∠ABD=∠AED-∠D=100°-40°=60°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．
19．(2023·广东·佛山市南海区石门实验学校模拟预测）如图，锐角是内接三角形，弦，垂足为．在上取点，使，连接，并延长交于点．求证：．
答案:见解析
分析：连接，可得，证明，可得，结合，可得，即可得证．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
∴（HL），
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，垂直平分线的性质，HL证明三角形全等，证明是解题的关键．
20．(2023·江苏·九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，P为AC，BD的交点，经过A，B，P三点．
(1)求证：AB为的直径．
(2)请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）．
答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）根据菱形的性质可得∠APB=90°，再由90°角所对的弦为圆的直径，即可求证；
（2）延长DA交于点Q，连接PQ，则PQ即为所求，理由：连接BQ，根据AB为的直径，可得∠AQB=90°，从而得到∠BDQ+∠PBQ=90°，再由菱形的性质可得∠ABP+∠PBQ=90°，再由圆周角定理，即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠APB=90°，
∵经过A，B，P三点．
∴AB为的直径；
（2）
解：如图，延长DA交于点Q，即为所求，
理由：连接BQ，
∵AB为的直径，
∴∠AQB=90°，
∴∠BDQ+∠PBQ=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=AD，
∴∠APB=90°，∠BDQ=∠ABP，
∴∠ABP+∠PBQ=90°，
∵∠ABP+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠PBQ，
∵∠BAP=∠BQP，
∴∠PBQ =∠BQP，
∴BP=PQ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握圆周角定理，菱形的性质是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）下列命题是假命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等B．矩形的对角线相等且相互平分
C．一组邻边相等的矩形是正方形D．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
答案:A
分析：根据圆周角定理、矩形的性质、正方形的判定定理、线段垂直平分线的性质，即可一一判定．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，所以A选项为假命题；
B、矩形的对角线相等且相互平分，所以B选项为真命题；
C、一组邻边相等的矩形是正方形，所以C选项为真命题；
D、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理、矩形的性质、正方形的判定定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键．
2．(2023·山西吕梁·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于，BC为直径，BD平分，若，则的度数为（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
答案:B
分析：首先根据角平分线的定义及∠ABC的度数求得∠DBC，再根据圆周角定理推论得∠BDC=90°，然后求得∠C的度数，利用圆内接四边形的性质求得答案即可．
【详解】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠DBC=20°，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠C=90°-∠DBC=90°-20°=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=180°-∠C=180°-70°=110°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
3．(2023·安徽六安·一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，设在旋转过程中三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F．有如下结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值；④四边形AEOF有外接圆，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:D
分析：如图，连接AO，证明△EOA≌△FOC（ASA），可判断①②③的正误，根据对角和为180°的四边形有外接圆，可判断④的正误．
【详解】解：如图，连接AO，
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°，
∵∠EOA+∠AOF=90°，∠AOF+∠FOC =90°，
∴∠EOA=∠FOC，
在△EOA与△FOC中，
∵，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴EA=FC，，
∴AE+AF=AF+FC=AC，
故①正确；
∵，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∴，
故③正确；
在四边形中，
∵，，
∴四边形有以为直径的外接圆，
故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，外接圆等知识．证明△EOA≌△FOC是解题的关键．
4．(2023·全国·九年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心
答案:A
分析：根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．
【详解】解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故选A.
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
二、填空题
5．(2023·湖南·长沙市北雅中学九年级阶段练习）如图，在中，AB是的直径，，，M是AB上一动点，的最小值是______．
答案:8
分析：作点关于对称点，连接，即为的最小值，利用等弦等弧等角，求出，根据圆周角定理推出为直径即可．
【详解】解：如图作点关于对称点，连接，
则即为的最小值，
∵，AB是的直径
∴，
的度数为：
，且它们的度数为：
∵对称
∴，
∴，
∴，
∴为直径，
∴，
∴的最小值是：8；
故答案为：8．
【点睛】本题考查等弦等弧等角，圆周角定理以及将军饮马问题．熟练掌握等弦等弧等角，圆周角定理是解题的关键．遇到将军饮马问题，关键是作定点的对称点，与另一个定点所连线段即为最短．
6．(2023·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形ABCD为⊙P的内接四边形，点A，B，C均在格点上，D为⊙P与格线的交点，连接AC
（1）AC的长等于______；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，先确定圆心P，再画出弦DE（点E在上），使DE＝DC，并简要说明点P的位置和弦DE是如何得到的（不要求证明）______
答案: 见解析
分析：（1）直接根据方格纸特点，利用勾股定理进行计算即可；
（2）连接格点CN并延长，交圆上一点G，连接GB，交格线与一点，即为P点；连接F与格点M，并延长，交圆上一点E点，连接DE即可．
【详解】解：（1）根据勾股定理可知：
；
（2）连接格点CN并延长，交圆上一点G，连接GB，交格线与一点，即为圆心P点；连接F与格点M，并延长，交圆上一点E点，连接DE即为所求；
∵CN⊥CB，
∴∠GCB=90°，
∴GB为圆的直径，
∴点P为圆心；
∵DF垂直平分CM，
∴CF=FM，
∴∠CFD=∠EFD，
∴，
∴CD=CE．
故答案为：（1）；（2）见解析．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
7．(2023·陕西·西安工业大学附中三模）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，点O、E分别是AB、CD的中点，OH⊥BC于点H，点P是边BC上的一点，连接OP，将△OHP沿着OP所在直线翻折，点H的对应点为H′，当H′E取最小值时边CD的长为_____．
答案:2
分析：根据题意，CD∥AB，当OE⊥AB时，OE长最短；当O、H′、E三点共线时，H′E取得最小值，过点C作CF⊥AB于点F，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵∠B=60°，∠C=120°，∴CD∥AB，
∴当OE⊥AB时，OE长最短；
根据折叠的性质，OH=OH′，
∴点H′在以O为圆心，OH为半径的一段弧上，
当O、H′、E三点共线时，H′E取得最小值，如图，
过点C作CF⊥AB于点F，
∴四边形OECF为矩形，
∴OF=CE，
∵∠B=60°，BC=6，
∴BF=BC=3，
∵点O是AB的中点，且AB=8，
∴OB=4，
∴CE=OF=1，
∵点E是CD的中点，
∴CD=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，圆的相关概念，矩形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题
8．(2023·福建省福州延安中学九年级阶段练习）如图，AB是的直径，点C为的中点，CF为的弦，且．垂足为E，连接交CF于点G，连接CD，AD，BF．
(1)求证：；
(2)若，求BF的长．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）根据弧与弦的关系证明，根据同弧所对的圆周角相等，证明，结合对顶角相等，根据AAS证明：△BFG≌△CDG；
（2）连接OF，设⊙O的半径为r,由CF=BD列出关于r的勾股方程即可求解；
（1）
证明：∵点C为的中点，
∴，
∵AB是的直径，且
∴
∴
∴
在△BFG和△CDG中，
∵△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）
如图，连接OF，设⊙O的半径为r,
Rt△ADB中，，即，
Rt△OEF中，，即，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
即，
解得：r=1（舍）或3，
∴
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
9．(2023·北京·人大附中九年级阶段练习）下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．
答案:证明见解析．
分析：情况一：当圆心O在的一边上时，如图1，由外角性质得∠AOB=∠B+∠C，再由∠B=∠C即可得证结论成立；情况二：当圆心O在内部时，连接CO并延长交于点D，由情况一知∶∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD，从而有∠ACB=∠AOB；情况三：当圆心O在外部时，由情况一知∶∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD，
∴∠ACB=∠BCD−∠ACD =∠AOB．
【详解】证明∶情况一：当圆心O在的一边上时，如图1
∵∠AOB是△BOC的一个外角，
∴∠AOB=∠B+∠C，
∵OB= OC，
∴∠B=∠C，
∴∠AOB = 2∠C，
∴∠C=∠AOB；
情况二：当圆心O在内部时，连接CO并延长交于点D，如下图，

∵由情况一知∶∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD，
∴∠ACB=∠ACD +∠BCD=∠AOD+∠BOD=∠AOB；
情况三：当圆心O在外部时，连接CO并延长交00于点D，如下图，
∵由情况一知∶∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD，
∴∠ACB=∠BCD−∠ACD =∠BOD−∠AOD =∠AOB；
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及圆的认识，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．
10．(2023·北京·人大附中九年级阶段练习）点E为正方形的边延长线上一点．
(1)如图1，当时，连接，，则____________°，_____________．
(2)如图2，将射线绕着点A逆时针旋转得到射线，作于点H，在射线取点M使得，连接．
①依题意补全图形；
②猜想的度数，并证明．
答案:(1)，
(2)①见解析，②，证明见解析
分析：（1）根据正方形的性质可得，根据，可得，可得是等腰直角三角形，则可得的度数，根据勾股定理求得；
（2）①按要求作出图形即可；
②证明，可得在以为圆心，长为半径的圆上，则三点共圆，根据圆周角定理即可求解．
（1）
解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
在中，
故答案为：；
（2）
①如图所示，
②如图，过点作于点，
∵，则，
∵，
∴，
∴，
又，
∴（AAS）,
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴三点共圆，如图，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
11．(2023·福建·福州立志中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BD是弦，C是的中点，弦CE⊥AB，BD交CE，CA于点F，G，OC与BD交于点H．
(1)求证：CF＝BF＝GF；
(2)若CD＝6，AC＝8，求BD的长．
答案:(1)见解析
(2)BD=9.6．
分析：（1）根据C是弧BD的中点，可以确定∠A=∠DBC；再根据AB是⊙O的直径，可知∠ACB=90°；据此即可确定∠A=∠DBC，即∠ECB=∠DBC，根据等角对等边得出CF=BF，然后根据∠DBC+∠CGB=90°，∠ECB+∠GCF=90°得出∠CGB=∠GCF，即可得出结论；
（2）根据C是弧BD的中点，得出BC=CD=6，根据勾股定理即可求得半径，根据垂径定理得出OC垂直平分BD，设OH=x，则CH=5-x，根据勾股定理得出，求得OH，然后根据勾股定理求得BH，进而求得BD．
（1）
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠A=∠ECB，
∵C是的中点，
∴∠A=∠DBC，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵∠DBC+∠CGB=90°，∠ECB+∠GCF=90°，
∴∠CGB=∠GCF，
∴CF=GF，
∴CF=BF=GF；
（2）
解：∵C是的中点，
∴BC=CD=6，
∵AC=8，
∴AB==10，
∴圆O的半径是5，
∵，
∴OC垂直平分BD，
设OH=x，则CH=5x，
∵，
∴，
解得x=1.4，
∴OH=1.4，
∴BH==4.8，
∴BD=2BG=9.6．
【点睛】本题是综合考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及等腰三角形的判定等；熟练掌握这些定理是解题的关键．
12．(2023·福建·福州华伦中学九年级阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．
(1)求证：∠CAG＝∠ABE；
(2)求证：CG＝CD；
(3)若AB＝4，BC＝2，求GF的长．
答案:(1)见解析
(2)见解析
(3)
分析：（1）由BC为直径得∠CAG＋∠BAG＝90°，根据AD⊥BE得∠ABE＋∠BAG＝90°，即可证得∠CAG＝∠ABE；
（2）根据同弧所对的圆周角相等可得∠D＝∠ABC＝∠ABE＋∠CBE，根据三角形外角性质得∠CGD＝∠CAG＋∠ACG，即可证得∠D＝∠CGD，进而得到CG＝CD；
（3）连接AE，CE，由∠CEB＝∠BGD＝90°得到AGCE，根据＝推出∠EAC＝∠CBE=∠ACG，可得AECG，推出四边形AECG是平行四边形，得到AF＝CF，在Rt△BAC中，勾股定理求出AC得到AF，在Rt△BAF中，勾股定理求出BF，根据等面积可知AG，再利用勾股定理求出GF．
（1）
证明：∵BC为直径，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAG＋∠BAG＝90°，
又∵AD⊥BE，
∴∠ABE＋∠BAG＝90°，
∴∠CAG＝∠ABE；
（2）
证明：∵ ＝，
∴∠D＝∠ABC＝∠ABE＋∠CBE，
又∵∠CGD＝∠CAG＋∠ACG，∠CAG＝∠ABE，∠CBE＝∠ACG，
∴∠D＝∠CGD，
∴CG＝CD；
（3）
连接AE，CE，
∵BC为直径，
∴∠CEB＝90°．
∴∠CEB＝∠BGD．
∴AGCE．
又∵＝，
∴∠EAC＝∠CBE．
又∵∠CBE＝∠ACG，
∴∠EAC＝∠ACG．
∴AECG．
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AF＝CF．
∵在Rt△BAC中，，
∴AC＝6．
∴AF＝3．
∴在Rt△BAF中，
∴BF＝5．
∴根据等面积可知AG＝．
∴在Rt△AGF中，．
∴GF＝．
【点睛】此题考查了圆周角定理，余角的性质，勾股定理，三角形外角性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各性质定理和判定是解题的关键．
13．(2023·江苏盐城·一模）【问题背景】
在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．
教材原题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．
(1)请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）
【直接应用】
当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
(2)如图3，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F．求证：AF为△ABC的边BC上的高．
【拓展延伸】
在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
(3)在（2）的条件下连接DE、EF、FD（如图4），设∠DEF=，则∠AOB的度数为______．（用含的式子表示）
答案:(1)见解析
(2)见解析
(3)90°+
分析：（1）根据圆的定义进行解答即可；
（2）证明，由三角形内角和定理可得∠BFA＝90°，从而可得结论；
（3）由圆周角定理可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，最后根据周角可计算出结果．
(1)
点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下：
连接ME，MD，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM=
∵BD、CE是△ABC的高，
∴均为直角三角形
∴
∴
∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上;
点A、D、O、E四点在同一个圆上,理由如下：
连接AO，取AO的中点N，连接NE，ND，如图，
则AN=ON= ，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴均为直角三角形
∴
∴
∴点A、D、O、E四点在同一个圆上
(2)
连接DE，由点B、C、D、E四点共圆得∠BDE＝∠ECB
由点A、D、O、E四点共圆得∠BDE＝∠BAF
由点B、C、D、E四点共圆得∠BDE＝∠BCE
∴∠ECB＝∠BAF
∵∠BEC＝90°
∴∠ECB+∠ABF＝90°
∴∠BAF+∠ABF＝90°
∴∠BFA＝90°
∴AF为△ABC的边BC上的高
(3)
∵AF是BC边上的高，
∴
∴点B、F、O、E四点共圆
∴
∵点A、D、O、E四点共圆
∴
∵
∴
∵BD，AF是的高，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
故答案为90°+
【点睛】本题主要考查了圆的定义，圆定理以及三角形内角和定理等知识，运用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合是圆）是解答本题的关键．
14．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，为的直径，，连接．点在上，，求证：
(1)平分；
(2)．
答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）根据等弦对等弧可知，再根据等弧所对的圆周角相等即可进行证明；
（2）连接、，根据等边对等角可得，，，根据角度之间的等量代换可得，即可得到AB=AC，最后得出AB=BE，即可，则．
（1）
证明：∵，
∴，
∴，
∴平分，
（2）
连接、，
∵、、是半径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了等弦对等弧，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握同圆同的各个角度关系是解题的关键．
15．(2023·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）如图，是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧中点，垂足为E，分别与相交于点F、G，则与是否相等？为什么？
答案:；证明见解析
分析：根据圆周角定理求出∠ADE＝∠DAC，求出AF＝DF，求出∠FAE＝∠DAC，求出DF＝FG，即可得出答案．
【详解】解：AF＝FG，理由如下：
连接AD，如图所示：
∵AB是直径，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠DEB＝90°，
∴，
∴∠ADE＝∠ABD，
∵D为弧AC中点，
∴∠DAC＝∠ABD，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴AF＝DF，
∵，，
∴，
∴DF＝FG，
∴AF＝FG．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，根据等角对等边证明，DF＝FG是解题的关键．
16．(2023·全国·九年级单元测试）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；
(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
答案:(1)
(2)，因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况
分析：（1）根据垂径定理可得，勾股定理解，即可求解；
（2）在优弧上任取一点，连接根据圆周角定理可得，根据圆内接四边形对角互补即可求解．根据因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
（1）
解：，，
，
设半径为，则
在中，
解得
答：半径的长约为
（2）
如图，在优弧上任取一点，连接
，
，
，
因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：中，，分别是所对的圆心角和圆周角．
求证：．
情况一：当圆心O在的一边上时，如图1．
情况二：当圆心O在内部时，如图2．
情况三：当圆心O在外部时，如图3．