人教版九年级数学上册精品专题24.2.1点和圆的位置关系(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题24.2.1点和圆的位置关系(原卷版+解析)，共44页。
一、单选题
1．(2023·广东珠海·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）
2．(2023·河北沧州·九年级期末）△ABC的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点．
A．三条边垂直平分线B．三条中线
C．三条角平分线D．三条高
3．(2023·江苏·沭阳县潼阳中学九年级阶段练习）若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜3B．2＜r＜8C．3＜r＜5D．r＞5
4．(2023·黑龙江黑河·九年级期末）已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是1，则这个点在（ ）
A．圆内B．圆上C．圆外D．都有可能
5．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，⊙是的外接圆，则点是的（ ）
A．三条高线的交点B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点D．三角形三内角角平分线的交点
6．(2023·江苏·九年级专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等
7．(2023·全国·九年级课时练习）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
8．(2023·广东·丰顺县东海中学九年级开学考试）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞4，则a＞2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣3B．a＝﹣2C．a＝2D．a＝3
9．(2023·福建龙岩·二模）公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派的“万物皆数”观点是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，学派中的希帕索斯发现了无理数，引发了第一次数学危机． 欧几里得《原本》中对是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么（是互质的正整数），所以，故是偶数，从而是偶数．设，则，即，从而也是偶数，这与 “是互质的正整数”矛盾，于是“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是（ ）
A．反证法B．综合法C．举反例法D．列举法
10．(2023·江苏苏州·九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果的周长是周长的4倍，那么的面积是面积的8倍
D．已知的半径为8，A为平面内的一点，且，那么点A在上
二、填空题
11．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，点是的外心，且，则________．
12．(2023·浙江·淳安县教育发展研究中心一模）如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是______．
13．(2023·浙江金华·九年级期末）已知点P在半径为r的内，．请写一个满足条件的r的值______．
14．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为_________．
15．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________．
16．(2023·北京西城·二模）用一个a的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是______．
17．(2023·河北·二模）用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有两个角小于90°”时，应先假设__________．
18．(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，∆ 外接圆的圆心坐标为________．
19．(2023·浙江·九年级单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定__个不同的圆．
三、解答题
20．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
21．(2023·湖南·长沙市北雅中学九年级阶段练习）已知：在中，，．
(1)找到的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）
(2)若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，，请求出的面积．
22．(2023·江苏·连云港市新海实验中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，
(1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，则点D与以AB为直径的⊙O的位置关系是（ ）
A．圆上B．圆内C．圆外D．不能确定
2．(2023·山东滨州·九年级期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( )
A．0个B．1个C．2个D．无数个
3．(2023·湖南长沙·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．三角形的外心是三条内角平分线的交点
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．若甲、乙两组数据中，，，则乙组数据较稳定
4．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
作线段的垂直平分线；
作线段的垂直平分线，交于点；
以为圆心，长为半径作．
结论：点是的外心；结论：
则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对
C．不对，对 D．对，Ⅱ不对
5．(2023·江苏·九年级专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆B．8个圆C．10个圆D．12个圆
6．(2023·全国·九年级课时练习）已知锐角，如图，
（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接；
（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，；
（3）连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的（ ）
A．B．若．则
C．D．
二、填空题
7．(2023·全国·九年级单元测试）已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是______．
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
9．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．
10．(2023·河南·郑州外国语中学一模）用反证法证明“若，则”是真命题时，第一步应该先假设__________．
三、解答题
11．(2023·江苏·沭阳县潼阳中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．设经过A、B、C三点的圆弧所在的圆的圆心为点M，
(1)点M的坐标为 ；
(2)点D（5，﹣2）在⊙M （填“内”、“外”、“上”）．
12．(2023·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）如图，在中，，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的取值范围．
13．(2023·浙江·温州外国语学校一模）如图，在平面直角坐标系中，点
(1)利用网格确定的外接圆的圆心坐标为______；
(2)作出的外接圆；
(3)利用直尺作出的角平分线．
14．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，点是的边上一点，，，相交于点．
(1)求证：；
(2)若．
①当时，求的度数；
②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围．
15．(2023·江苏·九年级）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；
（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．
16．(2023·浙江温州·一模）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H．
(1)在图1中作出∠AHG＝∠C．
(2)在图2中作出∠AGH＝∠C．
17．(2023·福建·九年级专题练习）如图，点C是射线上的动点，四边形是矩形，对角线交于点O，的平分线交边于点P，交射线于点F，点E在线段上（不与点P重合），连接，若．
(1)证明：
(2)点Q在线段上，连接、、，当时，是否存在的情形？请说明理由．
18．(2023·全国·九年级期末）对于平面内⊙C和⊙C外一点P，若过点P的直线l与⊙C有两个不同的公共点M，N，点Q为直线l上的另一点，且满足（如图1所示），则称点Q是点P关于⊙O的密切点．已知在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为2，点P（4，0）．
(1)在点D（﹣2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于⊙O的密切点的为 ．
(2)设直线l方程为y＝kx＋b，如图2所示，
①k＝时，求出点P关于O的密切点Q的坐标；
②⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若⊙T上存在点P关于⊙O的密切点，直接写出t的取值范围．
19．(2023·福建·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，D的坐标分别是，其中．
(1)若点B在x轴的上方，
①，求的长；
②，且．证明：四边形是菱形；
(2)抛物线经过点B，C．对于任意的，当a，m的值变化时，抛物线会不同，记其中任意两条抛物线的顶点为（与不重合），则命题“对所有的a，b，当时，一定不存在的情形．”是否正确？请说明理由．
24.2.1 点和圆的位置关系（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·广东珠海·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）
答案:A
分析：首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【详解】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A
【点睛】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
2．(2023·河北沧州·九年级期末）△ABC的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点．
A．三条边垂直平分线B．三条中线
C．三条角平分线D．三条高
答案:A
分析：根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．
【详解】解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.
3．(2023·江苏·沭阳县潼阳中学九年级阶段练习）若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜3B．2＜r＜8C．3＜r＜5D．r＞5
答案:C
分析：直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外，
∴OA小于r，OB大于r，
∵OA＝3，OB＝5，
∴3＜r＜5．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
4．(2023·黑龙江黑河·九年级期末）已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是1，则这个点在（ ）
A．圆内B．圆上C．圆外D．都有可能
答案:A
分析：根据点与圆的位置关系，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点到圆心的距离1＜圆的半径3，
∴这个点在圆内．
故选：A
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内是解题的关键．
5．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，⊙是的外接圆，则点是的（ ）
A．三条高线的交点B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点D．三角形三内角角平分线的交点
答案:B
分析：根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，即可求解.
【详解】∵⊙O是三角形的外接圆，
∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点.
故选：B.
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握外心的定义是解答本题的关键.
6．(2023·江苏·九年级专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等
答案:C
分析：利用线段的性质，多边形的外角和定理，确定一个圆的条件，平移的性质等知识进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A．两点之间，线段最短，故选项错误，不符合题意；
B．多边形的外角和是360°，故选项错误，不符合题意；
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故选项正确，符合题意；
D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行或者在同一条直线上，并且相等，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】命题是表示判断的语句，判断正确的命题是真命题，判断错误的命题是假命题，熟练掌握所学知识是进行正确判断的基础．
7．(2023·全国·九年级课时练习）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
答案:D
分析：根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
8．(2023·广东·丰顺县东海中学九年级开学考试）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞4，则a＞2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣3B．a＝﹣2C．a＝2D．a＝3
答案:A
分析：根据举反例可进行求解．
【详解】解：用来证明命题“若a2＞4，则a＞2”是假命题的反例可以是：a＝﹣3，
∵（﹣3）2＞4，但是a＝﹣3＜2，
∴A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查真假命题，熟练掌握利用举反例来说明命题的真假是解题的关键．
9．(2023·福建龙岩·二模）公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派的“万物皆数”观点是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，学派中的希帕索斯发现了无理数，引发了第一次数学危机． 欧几里得《原本》中对是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么（是互质的正整数），所以，故是偶数，从而是偶数．设，则，即，从而也是偶数，这与 “是互质的正整数”矛盾，于是“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是（ ）
A．反证法B．综合法C．举反例法D．列举法
答案:A
分析：先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，这种方法叫反证法．
【详解】根据题意，假设是有理数，那么p是偶数
根据，可得q也是偶数
而p、q互质，所以假设不成立
假设是有理数推理出来的p、q之间的关系与已知条件矛盾
根据反证法的含义，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，故本题采用的是反证法．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法的概念理解，正确理解反证法的含义是解决问题的关键．
10．(2023·江苏苏州·九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果的周长是周长的4倍，那么的面积是面积的8倍
D．已知的半径为8，A为平面内的一点，且，那么点A在上
答案:D
分析：根据圆的相关概念解答即可.
【详解】解：A.直径是圆中最长的弦，有无数条,故该选项不符合题意；
B.在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；
C.如果的周长是周长的4倍,那么的面积是面积的16倍,故该选项不符合题意；
D.已知的半径为8，A为平面内的一点，且OA=8，那么点A在上，故该选项符合题意.
故选：D .
【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解答本题的关键.
二、填空题
11．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，点是的外心，且，则________．
答案:
分析：根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解．
【详解】解：∵点为的外心，
∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键．
12．(2023·浙江·淳安县教育发展研究中心一模）如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是______．
答案:
分析：连接AB，BC，CD，AD，BD．根据勾股定理可求出AB，BC，CD，AD，BD的长度，根据勾股定理逆定理和圆周角定理的推论可以确定以A，B，C，D中任意三个点为顶点的三角形的外接圆是以BD为直径的圆，进而即可求出半径．
【详解】解：如下图所示，连接AB，BC，CD，AD，BD．
∵每个小正方形的边长都为1，
∴，，，，．
∵，，
∴，．
∴∠BAD=90°，∠BCD=90°．
∴点A和点C都在以BD为直径的圆上．
∴以A，B，C，D中任意三个点为顶点的三角形的外接圆是以BD为直径的圆．
∴半径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查求特殊三角形的外接圆的半径，勾股定理及其逆定理，圆周角定理的推论，综合应用这些知识点是解题关键．
13．(2023·浙江金华·九年级期末）已知点P在半径为r的内，．请写一个满足条件的r的值______．
答案:5（答案不唯一）
分析：点与圆一共有三种位置关系，点在圆内时，0Pr；根据题意即可作答．
【详解】∵点P在半径为r的内，
∴OP4
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练地掌握点与圆的各种位置关系以及不同情况下点到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．
14．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为_________．
答案:5
分析：根据圆的确定方法做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【详解】如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为5．
【点睛】此题考查了确定圆的方法，三角形的外接圆，解题的关键是根据题意确定三角形ABC外接圆的圆心．
15．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________．
答案:（2，0）
分析：连接AC，作AC的垂直平分线，交坐标轴于D，D即为圆心，根据图形即可得出点的坐标．
【详解】解：如图所示：D（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点睛】本题主要考查垂径定理、坐标与图形性质，关键是根据题意确定出圆心D的位置．
16．(2023·北京西城·二模）用一个a的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是______．
答案:（答案不唯一）
分析：根据有理数的乘方法则计算，判断即可．
【详解】解：当a=时，a2=，，而＜2，
∴命题“若a>0，则a2>”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
17．(2023·河北·二模）用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有两个角小于90°”时，应先假设__________．
答案:三角形三个内角中最多有一个角小于90°
分析：由反证法的基本步骤知应先提出与结论相反的假设．
【详解】解：用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有两个角小于90°”时应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角中最多有一个角小于90°．
故答案为：三角形三个内角中最多有一个角小于90°．
【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键．
18．(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，∆ 外接圆的圆心坐标为________．
答案:（5，2）
分析：画出三角形两边的垂直平分线的交点即可确定三角形的外心．
【详解】解：如图：画出BC和AB的垂直平分线，相交于点Q，点Q即为所求．
由图可知∶Q（5，2）
故答案为：（5，2）．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心．利用三角形两边的垂直平分线的交点确定△ABC外接圆的圆心是解题的关键．
19．(2023·浙江·九年级单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定__个不同的圆．
答案:5
分析：根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．
【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．
故答案为5．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆．
三、解答题
20．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
答案:（1）r