人教版数学九年级上册专项培优练习《圆-垂径定理与圆周角定理》（2份打包，教师版+原卷版）

人教版数学九年级上册专项培优练习

《圆-垂径定理与圆周角定理》

一              、选择题

1.下列命题中，正确的是(     )

A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 

B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C.弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 

D.在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心

【答案解析】D.

2.过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为(        )

A.9cm          B.6cm          C.3cm         D.cm

【答案解析】C.

3.⊙O半径为5，弦AB长为8，M是弦AB上一个动点，则线段OM长最小值为(  )

A.2         B.3           C.4          D.5

【答案解析】B.

4.如图所示，CD是⊙O的直径，将一把直角三角尺的60°角的顶点与圆心O重合，角的两边分别与⊙O交于E，F两点，点F是弧ED的中点，⊙O的半径是4，则弦ED的长为(    ).

A.4              B.5         C.6            D.6

【答案解析】A.

5.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸(ED＝1寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)”，问这块圆形木材的直径是多少？”

如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是(　　)

A.13寸                      B.20寸                      C.26寸           D.28寸

【答案解析】C.

6.如图，△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC大小是(   )

A.30°     B.45°      C.60°      D.70°

【答案解析】C.

7.如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(　　   )

A.40°　　　　　B.45°            C.50°　　　　　D.60°

【答案解析】A.

8.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的半径是(　　)

A. cm      B.5cm       C.6cm        D.10cm

【答案解析】B.

9.如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连结AE，BE.

则下列五个结论：

①AB⊥DE；②AE＝BE；③OD＝DE；④∠AEO＋∠ACB＝90°；⑤＝弧AEB.

正确结论的个数是(　　)

A.2          B.3           C.4             D.5

【答案解析】C.

10.如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长等于(　　)

A.8         B.10         C.11         D.12

【答案解析】A.

11.如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为(      )

A.4       B.5         C.6          D.7

【答案解析】B.

12.如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3.若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN最大值为(　    　)

A.1.6                           B.2                       C.2.4                         D.2.8

【答案解析】C.

二              、填空题

13.⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是        .

【答案解析】答案为：4≤OP≤5.

14.一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为        米.

【答案解析】答案为：2.5.

15.如图，点A、B、C在⊙O上，且∠AOB＝120°，则∠A ＋∠B＝    .

【答案解析】答案为：60°.

16.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为　　     .

【答案解析】答案为：61°.

17.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF＝      .

【答案解析】答案为：15°.

18.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为________.

【答案解析】答案为：24.

三              、解答题

19.如图，已知⊙O的半径长为R＝5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB＝6.

求：弦CD的长.

【答案解析】解: 过O向AB作垂线,垂足为E,根据垂径定理可以得到BE＝3,连接OB,

在直角三角形BOE中,根据勾股定理可以得到OE＝4.

同样过O点想CD作垂线,垂足为F,

因为弦AB和弦CD之间的距离为7,

那么OF＝3,

连接OD,在直角三角形ODF中DF＝4.

根据垂径定理可以知道点F为CD的中点,即CD＝8.

20.如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60m，拱高PD＝18m.

(1)求圆弧所在的圆的半径r的长.

(2)当洪水泛滥到跨度只有30m时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m，即PE＝4m时，是否要采取紧急措施？

【答案解析】解：(1)如图所示，连结OA.

由题意得AD＝AB＝30(m)，OD＝(r﹣18)(m).

在Rt△ADO中，由勾股定理得r2＝302＋(r﹣18)2，解得r＝34.

∴圆弧所在的圆的半径r的长为34m.

 (2)连结OA′.易知OE＝OP﹣PE＝30(m)，

在Rt△A′EO中，由勾股定理得A′E2＝A′O2﹣OE2，

即A′E2＝342﹣302，解得A′E＝16.

∴A′B′＝2A′E＝32(m).

∵A′B′＝32m＞30m，

∴不需要采取紧急措施.

21.如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长.

 【答案解析】解：∵AB是直径

∴∠ACB＝∠ADB＝90°

在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm

∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64

∴BC＝8(cm)

又CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD，

∴弧AD＝弧DB

∴AD＝BD

又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2

∴AD2＋BD2＝102

∴AD＝BD＝5(cm).

22.如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160 m.假设拖拉机行驶时，周围100 m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18 km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？

【答案解析】解：学校受到噪音影响.理由如下：作AH⊥MN于点H，如图.

∵PA＝160 m，∠QPN＝30°，

∴AH＝PA＝80 m.

而80 m＜100 m，

∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响.

以点A为圆心，100 m为半径作⊙A交MN于B、C，连结AB，如图.

∵AH⊥BC，

∴BH＝CH.

在Rt△ABH中，AB＝100 m，AH＝80 m，

∴BH＝＝60 m，

∴BC＝2BH＝120 m.

∵拖拉机的速度＝18 km/h＝5 m/s，

∴拖拉机在BC段行驶所需要的时间＝＝24(秒)，

∴学校受影响的时间为24秒.

23.如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC.

(1)求⊙O半径的长；

(2)求证：AB＋BC＝BM.

【答案解析】解：(1)连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，

∵∠ABC＝120°，

∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，

∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，

∴∠AOH＝∠AOC＝60°，

∵AH＝AC＝，

∴OA＝2，

故⊙O的半径为2.

(2)证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，

∵∠MBC＝60°，BE＝BC，

∴△EBC是等边三角形，

∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，

∴∠BCD＋∠DCE＝60°，

∵∠∠ACM＝60°，

∴∠ECM＋∠DCE＝60°，

∴∠ECM＝∠BCD，

∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，

∴∠ABM＝∠CBM＝60°，

∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，

∴△ACM是等边三角形，

∴AC＝CM，

∴△ACB≌△MCE，

∴AB＝ME，

∵ME＋EB＝BM，

∴AB＋BC＝BM.

24.如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.

(1)求证：CF﹦BF；

(2)若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径为______，CE的长是______.

【答案解析】 (1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB﹦90°

又∵CE⊥AB，

∴∠CEB﹦90°

∴∠2﹦90°﹣∠ACE﹦∠A，

∵C是弧BD的中点，

∴弧BC＝弧DC，

∴∠1﹦∠A(等弧所对的圆周角相等)，

∴∠1﹦∠2，

∴CF﹦BF；

(2)解：∵C是弧BD的中点，CD﹦6，

∴BC＝6，

∵∠ACB﹦90°，

∴AB2＝AC2＋BC2，

又∵BC＝CD，

∴AB2＝64＋36＝100，

∴AB＝10，

∴CE＝4.8，

故⊙O的半径为5，CE的长是4.8.