高中数学4.1 指数优秀同步达标检测题

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知识点一
n次方根
(1)n次方根的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n＞1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))
(2)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，n＞1)．
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n为偶数.))
知识点二
有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：aeq \s\up12(eq \f (m,n))＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：aeq \s\up12(－eq \f (m,n))＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算．
知识点三
无理数指数幂
有理数指数幂的运算性质可以推广到实数集.
考点01 根式的化简与求值
【典例1】（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）化简：（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出.
【详解】.
故选：A.
【典例2】（2023秋·安徽·高一安徽省五河第一中学校联考阶段练习）已知a是的小数部分，则的值为（ ）
A．2B．4C．‒2D．4‒
【答案】A
【分析】先计算出，代入求解即可.
【详解】因为，故，
所以.
故选：A
【规律方法】
1.根式化简或求值的注意点
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．对eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n的进一步认识
(1)对(eq \r(n,a))n的理解：当n为大于1的奇数时，(eq \r(n,a))n对任意a∈R都有意义，且(eq \r(n,a))n＝a，当n为大于1的偶数时，(eq \r(n,a))n只有当a≥0时才有意义，且(eq \r(n,a))n＝a(a≥0)．
(2)对eq \r(n,an)的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa≥0,－aa＜0)).
(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
3.有限制条件的根式化简的步骤
考点02 整数指数幂的化简与求值
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）计算的结果为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，原式.
故选：B
【典例4】（2023·山东·校联考模拟预测）若， 则的值为（ ）
A．8B．16C．2D．18
【答案】D
【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.
【详解】解：因为，
所以.
故选：D．
考点03 分数指数幂与根式的互化
【典例5】（2023·全国·高一专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误；
对于B选项：由，所以B错误；
对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确；
对于D选项：当时，，
当时，，
显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误.
故选：C.
【典例6】【多选题】（2022秋·福建福州·高一闽侯县第一中学校考阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据根指数的性质逐个选项化简即可.
【详解】对A，当时，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：BD
考点04 分数指数幂的化简、求值
【典例7】（2023·全国·高一随堂练习）计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则化简求值即可；
（2）根据分数指数幂的运算法则化简求值即可.
【详解】（1）.
.
【典例8】（2023·全国·高一随堂练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据指数幂的运算公式和运算性质，这个计算，即可求解.
【详解】（1）解：由指数幂的运算公式，可得
.
（2）解：由指数幂的运算公式得.
考点05 指数幂的化简、求值
【典例9】（2022秋·江西·高一江西师大附中校考期中）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据指数幂的运算，准确运算，即可求解；
（2）根据题意，平方化简求得或，代入即可求解.
【详解】（1）解：由指数幂的运算公式，可得：
.
（2）解：由，平方可得，
整理得，解得或，
当时，可得；
当时，可得.
【典例10】（2022·全国·高三专题练习）化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.
（2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.
（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案.
【详解】
（1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.
【典例11】（2023·全国·高一专题练习）计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)100
(3)3
(4)
【分析】由指数幂的运算规则，化简计算各式的值.
【详解】（1）原式.
（2）原式 .
（3）原式 .
（4）原式.
【典例12】（2023·江苏·高一专题练习）化简求值：
(1)；
(2)若，求，的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用指数幂的计算公式逐步计算，即可解得本题答案；
（2）利用完全平方公式逐步计算，即可得到本题答案.
【详解】（1）；
（2），，
，
又，
.
【总结提升】
1.根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x−12)2=x+2+x−1，(x+x−1)2=x2+2+x−2，x32+x−32=(x12+x−12)(x−1+x−1)，解题时要善于应用公式变形．
2.指数幂运算的一般原则：
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
1．（全国·高考真题）如果n是正整数，那么的值（ ）
A．一定是零B．一定是偶数C．是整数但不一定是偶数D．不一定是整数
【答案】B
【分析】分别讨论为奇数、偶数即可
【详解】当时，原式；
当时，原式为偶数.
故选：B
2．（2007·山东·高考真题）设函数，则 ．
【答案】
【分析】利用指数的运算求解即可.
【详解】因为，
所以，，
所以.
故答案为：.
3．（2008·重庆·高考真题）若，则= .
【答案】
【解析】根据指数运算法则可得答案.
【详解】原式===4-27=-23.
故答案为：.
一、单选题
1.（2022秋·北京·高一校考期中）将化成分数指数幂的形式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可.
【详解】.
故选：A
二、多选题
2．（2022秋·河北衡水·高一校考阶段练习）（多选）若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为（ ）
A．B．﹣C．D．
【答案】ACD
【分析】由式，通过配方可得，已知，进而分别用a，b表示c，根据实数的性质即可得出c的范围．
【详解】由式，可得，
，则，，
所以，，
又，则，
，
，，
则c的值可能为．
故选：ACD．
3．（2022秋·山东泰安·高一泰安一中校考期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值9
B．的最小值是
C．ab有最大值
D．的最小值是
【答案】AB
【分析】根据已知等量关系，应用基本不等式及“1”的代换、二次函数性质求各式的最值，注意取值条件.
【详解】，当且仅当时等号成立，A对；
，当且仅当即时等号成立，B对；
，则，当且仅当即时等号成立，C错；
由，则，而，
所以，当且仅当时等号成立，D错.
故选：AB
三、填空题
4．（2023秋·广西柳州·高一柳州高级中学校考开学考试）若，则的值为 .
【答案】2
【分析】根据指数幂的运算可得答案.
【详解】因为，所以，，
故答案为：2.
5．（2023·全国·高一专题练习）若，则 .
【答案】
【分析】根据根式的运算求得正确答案.
【详解】由题意可知，，所以，则.
故答案为：
6．（2023秋·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）设，，求的值为 ．
【答案】
【分析】利用指数幂的运算性质即可求解.
【详解】由题意可知，．
故答案为：.
7.（2022秋·河南洛阳·高一校考阶段练习） .
【答案】
【分析】根据分数指数幂及根式的运算法则计算即可.
【详解】解：
.
故答案为：
四、解答题
8．（2023·江苏·高一专题练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)3
(2)7
【分析】根据平方关系运算求解.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
9．（2023秋·江苏南通·高一江苏省如东高级中学校考阶段练习）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由分数指数幂的运算求解即可；
（2）利用，应用完全平方公式和立方和公式找到与及的关系，整体代入求解即可.
【详解】（1）原式=
=；
（2）由，
则，
则
则，
即.
10．（2023·山东·校联考模拟预测）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；
（2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案.
【详解】（1）原式
（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，
11．（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求的值．
【答案】
【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则即可得解.
【详解】因为，
所以，
故可得.
12．（2023·全国·高一随堂练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用指数运算法则即可得解.
【详解】（1）
.
（2）
.