人教A版普通高中数学一轮复习第四章第七节解三角形应用举例学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第四章第七节解三角形应用举例学案，共25页。
2．能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题．
3．通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算等数学核心素养．
自查自测
知识点 测量中的几个有关术语
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)东南方向与南偏东45°方向相同．( √ )
(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ )
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )
(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，π2．( × )
2．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为 km.
3 解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理ABsinC＝BCsinA，得AB＝BCsinCsinA＝2×1×32＝3(km)．
核心回扣
解三角形的实际应用
考向1 测量距离问题
【例1】(2024·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，然后由B地向北偏西60°骑行23 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，求A地到D地的直线距离．
解：如图，由题意知，∠ABC＝150°，AB＝2 km，BC＝23 km，∠BCD＝90°.
在△ABC中，由余弦定理得
AC＝AB2+BC2−2AB·BCcs∠ABC
＝4+12+83×32＝27(km)，
由正弦定理得sin ∠ACB＝Asin ∠ABCAC＝714．
在△ACD中，cs ∠ACD＝cs (90°＋∠ACB)＝－sin ∠ACB＝－714，
由余弦定理得
AD＝AC2+CD2−2AC·CDcs∠ACD
＝28+25+2×27×5×714＝37(km)，
所以A地到D地的直线距离是37 km.
距离问题的类型及解法
(1)类型：①两点间既不可达也不可视，②两点间可视但不可达，③两点中一点可达另一点不可达．
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦定理、余弦定理求解．
考向2 测量高度问题
【例2】如图，在热气球M上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，M到地面的距离MD＝100 m．已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为 m.
150 解析：依题意可知△AMD是等腰直角三角形，所以AM＝1002 m.
因为∠AMC＝60°，∠BAC＝60°，所以∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，∠ACM＝180°－60°－75°＝45°.
在△ACM中，由正弦定理得ACsin60°＝AMsin45°，
所以AC＝AMsin45°·sin 60°，
所以BC＝AC·sin 60°＝AMsin45°·sin260°＝100222×34＝150(m)．
测量高度问题的求解策略
(1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键．
(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
1．(2024·烟台质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为 ．
805 解析：在△ADC中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理ACsin∠ADCDCsin∠DAC，
得AC＝80sin150°sin15°＝406−24＝40(6+2)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理CDsin∠DBC＝BCsin∠BDC，
得BC＝80sin15°sin30°＝160sin 15°＝40(6−2)．
在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs ∠ACB，得AB2＝1 600×(8＋43)＋1 600×(8－43)＋2×1 600×(6+2)×(6−2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝805，
故题图中海洋蓝洞的口径为805.
2．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m.
1006 解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600，
故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，
解得BC＝3002.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006.
余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用
【例3】(2023·新高考全国Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝π3，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
解：(1)(方法一)在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝π3，AD＝1，
所以S△ADC＝12AD·DC sin ∠ADC＝12×1×12a×32＝38a＝12S△ABC＝32，解得a＝4.
在△ABD中，∠ADB＝2π3，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·AD cs ∠ADB，
即c2＝4＋1－2×2×1×−12＝7，解得c＝7，则cs B＝7+4−127×2＝5714，
sin B＝1−cs2B＝1−57142＝2114，
所以tanB＝sinBcsB＝35．
(方法二)在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝π3，AD＝1，
则S△ADC＝12AD·DC sin ∠ADC＝12×1×12a×32＝38a＝12S△ABC＝32，解得a＝4.
在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·AD cs ∠ADC，
即b2＝4＋1－2×2×1×12＝3，解得b＝3.
因为AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝π2，C＝π6．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，
于是CE＝AC cs C＝32，AE＝AC sin C＝32，BE＝52，
所以在Rt△ABE中，tan B＝AEBE＝35．
(2)(方法一)在△ABD与△ACD中，由余弦定理得
c2=14 a2+1−2×12 a×1×csπ−∠ADC，b2=14 a2+1−2×12 a×1×cs∠ADC，
整理得12a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝23.
又S△ADC＝12×3×1×sin ∠ADC＝32，解得sin ∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝π2，
所以b＝c＝AD2+CD2＝2.
(方法二)在△ABC中，因为D为BC的中点，则2AD＝AB+AC.
又CB＝AB−AC，于是4AD2＋CB2＝(AB+AC)2＋(AB−AC)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝23.
又S△ADC＝12×3×1×sin ∠ADC＝32，
解得sin ∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝π2，
所以b＝c＝AD2+CD2＝2.
1．求平面几何中的中线、角平分线问题，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角．常用的结论：(1)在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，AD2＝14(b2＋c2＋2bc cs A)．(2)若AD平分∠BAC，则S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，ABAC＝BDDC．
2．三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．
在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为23.
(1)若D是BC的中点，求AD的长度；
(2)若E是边BC上一点，AE为△ABC的角平分线，求AE的长度．
解：因为AB＝2，AC＝4，△ABC的面积为23，
所以S△ABC＝12AB·AC·sin ∠BAC＝12×2×4×sin ∠BAC＝23，
所以sin ∠BAC＝32．
又∠BAC为钝角，所以∠BAC＝2π3．
(1)因为D是BC的中点，所以AD＝12(AB+AC)，
所以AD2＝14(AB+AC)2.
又AB＝2，AC＝4，∠BAC＝2π3，
所以|AD|2＝AB2+AC2+2AB·AC4＝4+16+2×2×4×cs2π34＝3，
所以|AD|＝3，即AD＝3.
(2)因为AE为△ABC的角平分线，
所以∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC＝π3．
因为S△ABC＝S△ABE＋S△ACE，
所以12AB·AE·sin π3＋12AC·AE·sin π3＝23，
即12×2AE×32＋12×4AE×32＝23，
所以AE＝43．
解三角形与三角函数的综合问题
【例4】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bc＝a2－c2.
(1)若c＝3，且A＝π3，求△ABC的面积；
(2)求cs A＋sin C的最大值．
解：(1)由a2＝b2＋c2－2bc cs A＝b2＋c2－bc，得a2－c2＝b2－bc.
又bc＝a2－c2，所以b＝2c＝23，
故S△ABC＝12bc sin A＝332．
(2)由bc＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＞0，得a＞c，即A＞C，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cs A，得a2－c2＝b2－2bc cs A，
所以c＝b－2c cs A，即sin C＝sin B－2sin C·cs A．
又A＋B＋C＝π，
故sin C＝sin (A＋C)－2sin C cs A＝sin A cs C－sin C cs A＝sin (A－C)，
由0＜A＜π，0＜C＜π，得C＝A－C或π－C＝A－C(舍)，
所以A＝2C，则0＜A＋C＝3C＜π，即0＜C＜π3，
cs A＋sin C＝cs 2C＋sin C＝－2sin2C＋sinC＋1＝－2sinC−142＋98，
而sin C∈0，32，
所以，当sin C＝14时cs A＋sin C有最大值为98．
三角形中的范围问题的两个处理思路
(1)把目标式转化为关于边的代数式，结合基本不等式及三角形边长间的关系求解．
(2)把目标式转化为单角函数式，结合角的范围求解．
(2024·临沂模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinA+11−2csA＝sin2C1+cs2C．
(1)若B＝π6，求C；
(2)若B∈π6，π4，求sinCsinB的范围．
解：(1)由2sinA+11−2csA＝sin2C1+cs2C，得2sinA+11−2csA＝2sinCcsC1+2cs2C−1＝sinCcsC，
所以2sin A cs C＋cs C＝sin C－2cs A sin C，
即2sin A cs C＋2cs A sin C＝2sin (A＋C)＝sin C－cs C，
所以2sin B＝2sin C−π4＝22，
所以sin C−π4＝12．
因为C∈0，5π6，所以C－π4∈−π4，7π12，所以C－π4＝π6，解得C＝5π12．
(2)由(1)知2sin B＝2sin C−π4，
因为B∈π6，π4，所以A＋C∈3π4，5π6，所以C－π4∈π2−A，7π12−A，
所以B＝C－π4或B＝π－C−π4＝5π4－C，即C＝B＋π4或C＝5π4－B.
因为B∈π6，π4，所以当C＝5π4－B时，C∈π，13π12，不合题意，所以C＝B＋π4，
所以sinCsinB＝sinB+π4sinB＝22sinB+22csBsinB＝22＋22·1tanB．
因为tan B∈33，1，所以1tanB∈[1，3]，所以sinCsinB∈2，6+22．
三角形中的存在性问题
【例5】(2021·新高考全国Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积．
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)由2sin C＝3sin A及正弦定理，得2c＝3a.
又c＝a＋2，所以a＝4，c＝6，
所以b＝a＋1＝5，
所以cs A＝b2+c2−a22bc＝25+36−162×5×6＝34．
又A∈(0，π)，所以sin A＝74．
所以S△ABC＝12bc sin A＝12×5×6×74＝1574．
(2)存在．由题意知c＞b＞a,
要使△ABC为钝角三角形，需cs C＝a2+b2−c22ab＝a2+a+12−a+222aa+1＜0，即a2－2a－3＜0，
得0＜a＜3.
由三角形三边关系可得a＋a＋1＞a＋2，
可得a＞1，故1＜a＜3.
因为a为正整数，所以a＝2.
故存在正整数a＝2，使得△ABC为钝角三角形．
(1)先仔细审题，明确已知的条件有哪些，供选择的条件有哪些，设问是什么．
(2)将已知的条件和设问关联，结合有关的概念、公式、定理等进行思考，采用多种方式进行推理，确定所要选择的条件具备哪些性质．
(3)观察供选择的条件有哪些，判断条件选择后是否有解题思路，进而确定所选择的条件．
在①ac＝3，②c sin A＝3，③c＝3b三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝3sin B，C＝π6， ？
解：选条件①.
由C＝π6及余弦定理得a2+b2−c22ab＝32．
由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.
于是3b2 +b2−c223b2＝32，
由此可得b＝c.
又①ac＝3，所以a＝3，b＝c＝1.
因此，选条件①时，问题中的三角形存在，此时c＝1.
选条件②.
由C＝π6及余弦定理得a2+b2−c22ab＝32．
由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.
于是3b2 +b2−c223b2＝32，
由此可得b＝c，B＝C＝π6，A＝2π3．
又②c sin A＝3，
所以c＝b＝23，a＝6.
因此，选条件②时，问题中的三角形存在，此时c＝23.
选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2+b2−c22ab＝32，
由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.
于是3b2 +b2−c223b2＝32，
由此可得b＝c.
又③c＝3b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时，问题中的三角形不存在．
外接圆、内切圆的半径问题
【例6】已知在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足b cs C＋3b sin C＝a＋c.
(1)若b＝3，求△ABC的外接圆半径；
(2)若a＋c＝43， 且BA·BC＝6，求△ABC的内切圆半径．
解：(1)因为b cs C ＋3b sin C＝a＋c，
所以b cs C＋3b sin C－a－c＝0，
所以sin B cs C＋3sin B·sin C－sin A－sin C＝0.
因为A＋B＋C＝π，所以sin B cs C ＋3sin B·sin C－sin (B＋C)－sin C＝0，
所以3sin B sin C－cs B sin C－sin C＝0.
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin B−π6＝12．
因为B∈(0，π)，所以B－π6＝π6，所以B＝π3．
设△ABC的外接圆半径为R，所以2R＝bsinB＝2.
所以R＝1.
(2)因为BA·BC＝6，由(1)可知B＝π3，所以ac＝12.
又因为b2＝a2＋c2－2ac cs B，a＋c＝43，可得b＝23.
所以S△ABC＝12ac·sin B＝33.
设△ABC的内切圆半径为r，
由S△ABC＝12(a＋b＋c)r＝33，得r＝1.
正弦定理与三角形外接圆的半径存在一定关系，是解三角形中常用策略“边角互化”的重要转化工具，往往能起到出其不意的效果．
在△ABC中，角A，B, C的对边分别为a, b, c，已知a＝2，且sinA+sinBsinC＝b−cb−a．
(1)求△ABC的外接圆半径R；
(2)求△ABC的内切圆半径r的取值范围．
解：(1)因为sinA+sinBsinC＝b−cb−a，由正弦定理得a+bc＝b−cb−a，即b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理，得cs A＝b2+c2−a22bc＝bc2bc＝12，又A∈(0，π)，所以A＝π3．
由2R＝asinA＝232＝433，则R＝233．
(2)由正弦定理得bsinB＝csinC＝asinA＝2sinπ3＝43，所以b＝43sin B，c＝43sin C.
由余弦定理，得4＝b2＋c2－2bc cs π3＝(b＋c)2－3bc，所以bc＝b+c2−43，
利用等面积法可得S△ABC＝12bc sin A＝12(a＋b＋c)r，
则r＝bcsinAa+b+c＝36·b+c2−42+b+c＝36(b＋c－2)＝3643sinB+43sinC−2
＝3643sinB+43sin23π−B−2
＝233sin B+π6－33．
因为a≠b，所以B≠A＝π3，故B∈0，π3∪π3，2π3，则B＋π6∈π6，π2∪π2，5π6，
所以sin B+π6∈12，1，故r∈0，33．
课时质量评价(二十七)
1．如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝( )
A．30° B．45°
C．60°D．75°
B 解析：依题意可得AD＝2010 m，AC＝305 m，
又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理的推论，得cs ∠CAD＝AC2+AD2−CD22AC·AD＝3052+20102−5022×305×2010＝6 0006 0002＝22．
又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
2．(2024·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)( )
A．7 350 mB．2 650 m
C．3 650 mD．4 650 m
B 解析：如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，
则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°.
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000(m)，
由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，
则BC＝21 00012×sin 15°＝10 500(6−2)(m)．
因为CD⊥AB，
所以CD＝BC sin 45°＝10 500(6−2)×22＝10 500(3－1)≈7 350(m)，
所以山顶的海拔高度大约为10 000－7 350＝2 650(m)．
3．(数学与生活)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan ∠BPC＝13．已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是( )
A．2 km B．2 km
C．3 kmD．4 km
B 解析：(方法一)由题意得BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.设PD＝x km，记∠PBD＝α，∠PCD＝β，
所以tan α＝x2，tan β＝x，
所以tan ∠BPC＝tan (β－α)＝x−x21+x·x2＝xx2+2＝13，解得x＝1或x＝2.
又在Rt△PDA中，有PD＞AD，所以x＝2，即PD＝2 km.
(方法二)由题意知BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD. 设PA＝x km，则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.
由tan ∠BPC＝13，可得cs ∠BPC＝31010．
在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2x2+5·x2+2·31010，解得x2＝3，进而PD＝PA2+1＝2(km)．
4．(多选题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3(a cs C＋c cs A)＝2b sin B，且∠CAB＝π3．若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列结论正确的是( )
A．△ABC的内角B等于π3
B．△ABC的内角C等于π3
C．△ACD的面积为334
D．四边形ABCD面积的最大值为532＋3
ABD 解析：因为3(a cs C＋c cs A)＝2b sin B，
由正弦定理得3(sin A cs C＋sin C cs A)＝2sin B sin B，
所以sin B＝32，所以B＝π3，故A正确；
又因为∠CAB＝π3，所以∠ACB＝π3，故B正确；
S△ACD＝12×1×3sin D＝32sin D，由于角D无法确定，故C不一定正确；
在等边三角形ABC中，设AC＝x，x＞0，
在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cs D，
将DA＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cs D，
所以四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝12x·x sin π3＋12×1×3sin D＝34x2＋32sin D＝34(10－6cs D)＋32sin D＝3sin D−π3＋532，
所以当D＝5π6时，四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为532＋3，故D正确．
5．甲船在A处发现乙船在其北偏东60°方向上的B处，乙船正在以a n mile/h的速度向北行驶，已知甲船的速度是3a n mile/h，则甲船应沿着 方向前进，才能最快与乙船相遇．
北偏东30° 解析：如图所示，设经过t h两船在C点相遇．
在△ABC中，BC＝at，AC＝3at，B＝180°－60°＝120°.
由正弦定理BCsin∠CAB＝ACsinB，得sin ∠CAB＝BCsinBAC＝at·sin120°3at＝12．
因为0°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°，
所以∠DAC＝60°－30°＝30°，即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
6．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝6，∠BAC的平分线交BC于点D，则AD＝ ．
2 解析：在△ABC中，由余弦定理得cs 60°＝AC2+4−62×2AC，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋3.
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以12×2AC sin 60°＝12×2AD sin 30°＋12AC·AD·sin 30°，所以AD＝23ACAC+2＝23×1+33+3＝2.
7．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝2，则△BCD的面积为 ．
16 解析：设BD＝x，则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x.因为∠ADC＋∠BDC＝π，所以cs ∠ADC＝－cs ∠BDC，由余弦定理可得9x2+2−2−3x22×2×3x＝－x2+2−2−x22×2×x，解得x＝13，故AD＝1，AC＝1，所以cs A＝AD2+AC2−CD22AD·AC＝0，所以∠A＝π2，所以△BCD的面积为12×13×1＝16．
8．如图，在100 m高的山顶B处，测得山下一塔顶D与塔底C的俯角分别为30°和60°，则塔高CD＝( )
A．4003 m B．40033 m
C．20033 mD．2003 m
D 解析：由题图可知，山高AB＝100 m，∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，所以∠BCA＝60°，∠CBD＝30°.
在Rt△ABC中，BC＝ABsin∠BCA＝10032＝2003 (m)，
在△BCD中，∠CBD＝∠BCD＝30°，则∠BDC＝120°，
由正弦定理CDsin30°＝BCsin120°，得CD＝12×200332＝2003(m)．
9．(多选题)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向，距离126 海里，灯塔C在A的北偏西30°方向，距离为123 海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，下面结论正确的有( )
A．AD＝24
B．CD＝12
C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°
D．∠CDA＝60°
ABD 解析：如图，在△ABD中，B＝45°，
由正弦定理得ADsin45°＝ABsin60°，
则AD＝126×2232＝24，故A正确；
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC·AD·cs 30°，
因为AC＝123，AD＝24，
所以CD＝12，故B正确；
由正弦定理得CDsin30°＝ACsin∠CDA，
所以sin ∠CDA＝32，
故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，
因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，
所以∠CDA＝60°，故C不正确，D正确．
10．如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝3π4，cs A＝17，则BC＝ ．
4(3－1) 解析：在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cs A＝64，所以BD＝8，
所以cs ∠ABD＝AB2+BD2−AD22AB·BD＝12．
又因为AB⊥BC，所以sin ∠CBD＝cs ∠ABD＝12．
又∠CBD∈0，π4，
所以cs ∠CBD＝1−sin2∠CBD＝32，
所以sin∠BDC＝sin (∠BCD＋∠CBD)
＝sin ∠BCD cs ∠CBD＋cs ∠BCD sin ∠CBD
＝22×32－22×12＝6−24．
在△BCD中，由正弦定理得
BCsin∠BDC＝BDsin∠BCD＝822＝82，
所以BC＝82sin ∠BDC＝82×6−24＝4(3－1)．
11．如图，在△ABC中，AB＝2，3a cs B－b cs C＝c cs B，点D在线段BC上．
(1)若∠ADC＝3π4，求AD的长；
(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为423，求sin∠BADsin∠CAD的值．
解：(1)因为3a cs B－b cs C＝c cs B，
由正弦定理可得3sin A cs B＝sin B cs C＋cs B sin C＝sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A．
因为A∈(0，π)，则sin A＞0，故cs B＝13，则B为锐角，所以sin B＝1−cs2B＝223．
因为∠ADC＝3π4，所以∠ADB＝π4．
在△ABD中，由正弦定理得ADsinB＝ABsin∠ADB，所以AD223＝222，解得AD＝83．
(2)设CD＝t，则BD＝2t.因为S△ACD＝423，则S△ABC＝3S△ACD＝42，
即12×2×3t×223＝42，解得t＝2，故BC＝3t＝6.
在△ABC中，由余弦定理可得
AC＝AB2+BC2−2AB·BCcsB
＝4+36−2×2×6×13＝42，
在△ABD中，由正弦定理可得BDsin∠BAD＝ABsin∠ADB，故sin ∠BAD＝2sin ∠ADB.
在△ACD中，由正弦定理可得CDsin∠CAD＝ACsin∠ADC，故sin ∠CAD＝24sin ∠ADC.
因为sin ∠ADB＝sin (π－∠ADC)＝sin ∠ADC，
所以sin∠BADsin∠CAD＝2sin∠ADB24sin∠ADC＝42.
12．(2024·济宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a＋c)·cs (A＋C)＋b＝2b cs2C2．
(1)求B；
(2)如图，若D为△ABC外一点，且∠BCD＝7π12，AB⊥AD，AB＝1，AD＝3，求AC的长．
解：(1)由(2a＋c)cs(A＋C)＋b＝2b cs2C2，
得(2a＋c)cs(π－B)＝b2cs2C2−1，
即－(2a＋c)csB＝b cs C.
由正弦定理得－(2sin A＋sin C)cs B＝sin B cs C，
整理得－2sin A cs B＝sin C cs B＋sin B cs C，
所以－2sin A cs B＝sin (B＋C)＝sin A．
又A∈(0，π)，所以sin A＞0，所以cs B＝－12．
又B∈(0，π)，所以B＝2π3．
(2)如图，连接BD.
因为AB⊥AD，AB＝1，AD＝3，
所以BD＝AB2+AD2＝12+32＝2，tan ∠ABD＝ADAB＝3，
所以∠ABD＝π3，所以∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝π3．
又∠BCD＝7π12，所以∠BDC＝π－∠BCD－∠CBD＝π12．
在△BCD中，由正弦定理可得BDsin∠BCD＝BCsin∠BDC，即2sin7π12＝BCsinπ12，
所以BC＝2sinπ12sin7π12＝2sinπ3−π4sinπ3+π4＝4－23.
在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cs ∠ABC＝12＋(4－23)2－2×1×(4－23)×cs 2π3＝33－183，
所以AC＝33−183.
名称
图形表示
仰角
俯角
方位角
方向角
坡角θ
坡比i